1、第 1 节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。1几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知 abc, A D aB E bC F c可得 等.EDAFEABCDFEBCA 或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由 DEBC 可得： .此推论较原定理应用更加广ACEADBC或或泛,条件是平行.（3）推论的逆定
2、理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边 ,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。比例线段：四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a， b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段。badc2比例的有关性质比例的基本性质：如果 ，那么 ad=bc。如果 ad=bc（a ，b，c，
3、d 都不等于 0） ，那么 。dcba图2AB CDE合比性质：如果 ，那么 。dcbadcba等比性质：如果 = = (b+d+ +n0) ，那么nmbandbmcab 是线段 a、d 的比例中项，则 b2ad.典例剖析例 1： 在比例尺是 1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约 7cm，则它的实际长度约为_Km. 若 ba= 32 则 =_. 若 = 59 则 a：b=_.3相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。（3）三边对应成比例的两个三角形相似。补充：相似三
4、角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为 A 型，X 型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【基础练习】（1）如图 1，当 时，ABC ADE（2）如图 2，当 时， ABC AED。（3）如图 3，当 时， AB
5、C ACD。AB CDE AB CDE图1AB CD E图3AB CD小结：以上三类归为基本图形：母子型或 A 型（3）如图 4，如图 1，当 ABED 时，则 。 （4）如图 5，当 时，则 。小结：此类图开为基本图开：兄弟型或 X 型典例剖析例 1：判断所有的等腰三角形都相似 （ ）所有的直角三角形都相似 （ ）所有的等边三角形都相似 （ ）所有的等腰直角三角形都相似 （ ）例 2：如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于 E,交 BC 的延长线于 F求证： ABF CAF. E FDCBADCBACBEADCBDAE例 3：如图：在 Rt ABC 中，
6、ABC=90，BDAC 于 D，若 AB=6 ；AD=2 ； 则AC= ； BD= ；BC= ；例 3：如图：在 Rt ABC 中， ABC=90，BDAC 于 D ，若 E 是 BC 中点，ED 的延长线交 BA 的延长线于 F，求证：AB : AC=DF : BF第二节：相似三角形的判定(一)相似三角形：定义1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形温馨提示：当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个) 三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个) 三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；对应中线之
7、比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。2、相似三角形对应边的比叫做相似比温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如ABCABC 的对应边的比，即相似比为 k，则ABCABC 的相似比 ，当且仅当它们全等时，才有 k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形4
8、、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似温馨提示：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABC ADE ；FDE CBA这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等
9、，两三角形相似判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似温馨提示：有平行线时，用上节学习的预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理 1 或判定定理 2；已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等例 1.如图三角形 ABC 中，点 E 为 BC 的中点，过点 E 作一条直线交 AB 于 D 点，与AC 的延长线将于 F 点，且 FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似温馨提示：由于直角三角形有一个角为
10、直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定理 3 判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛如图，可简单记为：在 RtABC 中，CDAB，则 ABCCBDACD直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显
11、的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边( 或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：(1)“平行线型” 相似三角形，基本图形见上节图 “见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型” 相似三
12、角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角 “见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型” 相似三角形，如图若图中1=2，B= D( 或C= E)，则ADE ABC，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的第三节 相似三角形中的辅助线一、作平行线例 1. 如图， 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与ABCBC 延长线相交于 F，求证： BEB D A C F E例 2. 如图，ABC 中，ABAC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：AB DF=
13、ACEF。二、作垂线例 3. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E、F，求证： 。2AFDAEBBCDE三、作延长线例 4. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC ，若BCD 的平分线 CHAB 于点H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的面积。例 5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F，FG AB 于 G，求证： FG =CF BF2四、作中线例 6 如图， 中，AB AC，AEBC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求
14、ABCAC。五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明1、 等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例 1：如图 3，ABC 中，AD 平分BAC， A
15、D 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于E求证：DE 2BECE 2、 等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例 2：如图 4，在ABC 中，BAC=90 ，ADBC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于点 F求证： ABDFC3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三
16、角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例 3：如图 5，在ABC 中，ACB=90 ，CD 是斜边 AB 上的高，G 是 DC 延长线上一点，过 B 作 BEAG，垂足为 E，交 CD 于点 F求证：CD 2DFDG六、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”( 必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明例 1 如图 5 在ABC 中，AD、BE 分别是 BC、AC 边上
17、的高，DF AB 于 F，交 AC图 5AEFB DGCH的延长线于 H，交 BE 于 G，求证：(1)FG / FAFB / FH (2)FD 是 FG 与 FH 的比例中项例 2 如图在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 的中点，CM 的延长线交 AB于 N求：AN：AB 的值； 例 3 如图过ABC 的顶点 C 任作一直线与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和 E过点D 作 DMFC 交 AB 于点 M (1)若 SAEF：S 四边形 MDEF 2：3，求 AE：ED；(2)求证：AEFB2AFED 第四节 相似三角形难题集一、分类讨论：例 1 如图在正方形 AB
18、CD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，Q 在线段 BC 上，当 BQ 为何值时，ADP 与 QCP 相似？例 2 如图在梯形 ABCD 中，ADBC，A90 0，AB7，AD 2，BC 3试在边AB 上确定点 P 的位置，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似 BE ACDMN图CEDA F M BPA DB Q C图图 12A DB CP1P2P3二：相似三角形中的动点问题：1.如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=3 ，BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E
19、从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB 于 H，过点 E 作 EFAC 交射线 BB1 于F，G 是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值2.如图，在ABC 中， ABC90，AB=6m ，BC=8m ，动点 P以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1） 当 t=2.5s 时，
20、求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当 CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 RtABC 中， ACB90 ，AC6，BC8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E，EMBD，垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 ADCD 时，求证：DEAC；（2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？4.如图所示，在ABC 中，BABC20cm ，AC 30cm ，点 P从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点Q 从 C 点出发，沿 CA 以
21、每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为 x（1）当 x 为何值时，PQBC？（2）APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0 t 6） 。（1）当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点 Q、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？三
22、、构造相似辅助线 双垂直模型 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1) ，正比例函数y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式7.在ABC 中，AB= ，AC=4，BC=2，以 AB 为边在 C 点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长8.在ABC 中，AC=BC， ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点求证： MC：NC=AP ：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点
23、 B 的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么D 点的坐标为（）A. B.C. D.10已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点以AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使 得矩形的两边之比为 12。求 C、D 两点的坐标。四、构造相似辅助线 A、X 字型 11.如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证：12.四边形 ABCD 中，AC 为 AB、AD 的比例中项，且 AC 平分 DAB。求证：13.在梯形 ABCD 中，AB CD，ABb，CDa，E 为 AD 边上的任意一点，EFAB，且 EF交 BC 于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当 时，EF= ；(2) 当 时，EF= ；(3)当 时，EF= 当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示EF 的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC上的两点，且 BEEFFC。求 BN：NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例
