1、分数阶积分算子的谱半径及其应用 冯育强，朱兴，王蔚敏（武汉科技大学理学院，武 汉 430065）摘要：本文利用 Gelfand 公式和 Stirling 公式， 计算了两种情形下分数 阶积分算子谱半径。随后讨论了该结论在分数阶微分方程求解以及分数阶 Gronwall 不等式中的应用。关键词：二级学科；分数阶积分算子；谱半径；Gelfand 公式；Stirling 公式中图分类号：O175.08 文献标识码：A 文章编号：Spectral radius of fractional integral operators and its applicationsFENG Yuqiang, ZHU X
2、ing, WANG Weimin(College of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430065, China)Abstract: In this paper, Gelfand formula and Stirling formula are used to calculate the fractional integral spectral radius in two cases. Then the conclusion is applied to discuss the solvability of
3、fractional differential equations and fractional Gronwall Inequality.Key words: fractional integral operators; spectral radius; Gelfand formula; Stirling formula0 引言分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的，由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性，分数阶微积分理论被广泛应用于自然科学的各个领域，尤其是控制理论、粘弹性理论、电子化学、分形理论等领域 1。大量研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这
4、个新兴的研究领域。在分数阶模型的使用中，出现了一系列分数阶微分积分方程，因此对分数阶积分算子的研究有着十分重要的意义。分数阶积分算子本质上是一类带奇异积分核的线性积分算子，对于其谱半径的计算，有助于进行分数阶微分方程的定性研究。在以往的文献中，不论是证明分数积分方程可解性，有解性，解的渐近性质，还是推广Gronwall不等式，其实本质上都用到了分数阶积分算子谱半径的性质，但是没有明确地指出 1,3,6。本文正是从研究的需要出发，具体计算出分数积分算子的谱半径，并将所得结论用于分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式。1 预备知识本节给出文中所涉及的一些基本概念和结论。定义1 2 设
5、是Banach空间， 是 的线性子空间 到 X中的线性算子，又设XTX)(TD是一复数，若 是正则算子，即 是 到 上的一对一的线性算子，)(I)(I且它的逆算子 是 到 中的有界线性算子时，称 是 的正则点，并称1为 T的豫解算子，记为 . 不是正则点的复数 ，称为 的谱点。复平面1)(I ,R基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20134219120003）；国家自然科学基金（F030203）；湖北省自然科学基金重点项目（2013CFA131）；冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室基金（z201302）作者简介：冯育强（1975-），男，教授，主要研究方向：非线性泛函分析理论、方法与
6、应用. E-mail: 上正则点全体称为 T的正则集或豫解集，记为 ，谱点全体称为 T的谱集，记为 .)(T)(T定义2 2 设 X是Banach空间， 是 X到 的有界线性算子，则称 为)(supr算子 的谱半径。引理 12 设 为复的 Banach 空间， ，则)(B1）极限 存在且有 （Gelfand 公式） ；nTlim()limnnrT2）当 时， 是 的正则点，则 是可逆的，并且)(rTI.011)(nI引理 2（Stirling 公式 3） 当 时， .x )1(2)1(oxex引理 33 设 为一常数， ，则分数阶积分0,baLudtuta在 上几乎处处存在。进一步，该变上限积
7、分在 ,上是 可积的。,ba Lbsge定义 34 设 为一 Banach 空间， 为 X中一个非空凸集，满足条件XP1） ;0,xPx2） (0 表示 的零元)，.则称 为 中的锥。如果 为 中的锥，则可定义 中的半序“ ”为.xyx定义 44 设 为 X中的锥，1）如果存在常数 ，满足 ，则称 P是正规的；NyNxy02）如果 ，则称 P是再生的。2 主要结论本节给出了计算分数阶积分算子谱半径的详细过程，分为两种情况进行讨论。定理 1 假设 0为一常数，定义从 到 的分数阶积分算子为,baL,，,11baLudttxxTu则 .Tr证明：由引理 3 可知， ，易见 为线性算子。,:baLT
8、以下分两个步骤证明 0r.第一步：利用数学归纳法证明有下式成立：. （*）dtutxnxuTnan 11事实上，1）当 时，由题设知（*）式显然成立；n2）假设当 时， （*）式仍然成立；kn3）当 时，1dtuTtxxuTx kakk 11dtssttka 10tutxtkxak11dtststxk1tutxkkxa 11.dttxk1这里令 ，并且利用 Beta 函数的性质可得下式成立：sxztztxdtst kkks 11011 1,ktxk因此，当 时， （*）式依然成立， （*）式得证.1kn第二步，证明 .0Tr因为 dtutxnxunan 1，所以 dTbaun)(sp1 dtx
9、utxan)()(1ttnbtusp1dtubanu )()1nu(sp1.)bn由 Stirling 公式可知. enonennn lim)1(2lim)1(li于是，利用 Gelfand 公式可得.01)(li1lili1 nnnn abTTr 因此， .0定理 2 设 为一常数，定义从 到 的分数阶积分算子为,aC,，,1baCudttxxTu则 0Tr.证明：分两个步骤来证明结论。第一步，证明 .,:baC事实上，对于任意取定的 ，设 . 当 时，u,bahx0,10h有 )(xThu xaxa dtutdtut )()1)()1 11 hxxa ttxth 111()( .uK)()
10、(1对于 ，有如下估计：1xa dtxht)()(11 dsshax)1(01）如果 ，则有0.ssK101)(2）如果 ，那么haxx dtxt)()(111 dsshssax110 )(dhax12)(s.h)1(综合 1） ，2）可知 .0)(lim0xTuh同理，可以证明 时，也有 .于是知 .0)(lixTuhh ,baCTu第二步，证明 r.由定理 1 的证明过程可知dtutxnxuTnan 11，所以xanbxau tt11mspanbxadt1nxx)(.abn1类似定理 1 可知，此时也有 0Tr.3 应用利用第 2 节所获结果，可以得到一些有意义的结论，为此，首先介绍文献5
11、中定理3.2 的一个推论。引理 4 设 X为一 Banach 空间， P为 X中的正规、再生锥， “ ”是由锥 P导出的半序，如果 是 到 的增映射，且存在非负线性算子 ， ，使得T :1)(r，xyxyTx,)(则 在 中存在唯一不动点 ，且对任意 ，均有.nlim例 1（分数阶微分方程求解）考察如下分数阶微分方程的初值问题： 00)()(,utftDC其中， 连续，且存在常数 ，当 时，Rf,: 0kvut,1；)(),vutftf表示 Caputo 导数； 为常数。0C1(注意到方程的解满足积分方程：，dsfsttu)(,)()(010定义 上的算子 为1,0CT，dsufstut )(
12、,)(1)(010则 映 ,到 ,，且为增算子。T定义 10上的锥 ，则 P为 X中的正规、再生锥。,)(,txCP由于，xyXyTx,(其中，.1,0,10 Cudttxku由定理 2 知， ，因此， 在 C中有唯一不动点，即原方程有唯一解。)(r例 2（一个新的分数阶积分的 Gronwall 不等式）考察积分不等式，dsupstgtau)()()(01其中， 为 上的非负局部可积； 为 上的非负连续函数， 为常数au,R,R)1,0(对于任意的 ，定义 上的映射 T如下：0AAL.dsupstgtaT)()()(01由引理 3，则 映 ,到 ,，且为增算子。定义 ,0L上的锥 ，则 P为
13、X中的正规、,0.,)(AteatxP再生锥。由于 xyXyTx,)(，其中，.,0,10 ALpdttxMp这里 . 由定理 1 知， )(r，因此， T在 中有唯一不)(max,0tgMAt ,动点，记为 ，且有 .uuTnli由于 ，注意到 为增算子， 因此，.)(2取 为迭代的初始值，可以计算得到)(ta其中 .)(0taun)()(,)(10 atann这一结果推广了文献6的定理 1. 特别地，当 时，tpbg.dsstnbtt n011)()()( 这就是文献6推论 1.利用这些结论，可以进一步探讨分数阶微分方程解的有界性、稳定性及 Heyers-Ulam稳定性。参考文献 (Ref
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16、Nan: Shandong Science and Technology Press,1999.5 Feng Y., Wang H., Characterizations of reproducing cones and uniqueness of fixed points, Nonlinear Anal.74(2011)5759-5765.6 Ye H., Gao J., Ding Y., A generalized Gronwall inquality and its applications to a fractional differential equation, J Math Anal. Appl 328(2007)1075-1081.
