1、求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax +bx+c (a0)。22、顶点式：y=a(xh) +k (a0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为 x=h。3、交点式：y=a(xx )(xx ) (a0)，其中 x ,x 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。1212求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设
2、顶点式。3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离，通常可设交点式。探究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点 和 求这个二次函数的解析式)4,0(5,11,(分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式 y=ax +bx+c (a0)。2解：设这个二次函数的解析式为 y=ax +bx+c (a0)2依题意得： 解这个方程组得：145cba 43cba这个二次函数的解析式为 y=2x +3x4。2例 2、已知抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ，求这条抛物线cxy)1,(y)3,0(的解析式。分析：此题给出抛物线 的顶点坐标为 ，最好抛开题目给出的ba2
3、),4(，重新设顶点式 y=a(xh) +k (a0)，其中点(h,k)为顶点。cbxay2 2解：依题意，设这个二次函数的解析式为 y=a(x4) 1 (a0)2又抛物线与 轴交于点 。y)3,0(a(04) 1=3 a=241这个二次函数的解析式为 y= (x4) 1，即 y= x 2x+3。242例 3、如图，已知两点 A（8，0） ， （2，0） ，以 AB 为直径的半圆与 y 轴正半轴交于点 C。求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式。分析：A、B 两点实际上是抛物线与 x 轴的交点，所以可设交点式 y=a(xx )(xx ) (a0)，12其中 x ,x 是抛物线与 x 轴的交点
4、的横坐标。12解：依题意，设这个二次函数的解析式为 y=a(x+8)(x2)又连结 AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC =ACBC=82 OC=42即 C(0,4)。a(0+8)(02)=4 a= 41这个二次函数的解析式为 y= (x+8)(x2)，即 y= x x+4。4123变式练习，创新发现1、在图的方格纸上有 A、 B、 C 三点（每个小方格的边长为 1 个单位长度） （l）在给出的直角坐标系中分别写出点 A、 B、 C 的坐标；（2）根据你得出的 A、 B、 C 三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式2、已知抛物线的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ，求这条抛物线的解析式。)1,2(y)5,0(3、已知抛物线过 A（2，0） 、B（1，0） 、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。 ）参考答案：1、 （1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y= x 4x+9。2、y=(x2) +1，即 y=x 4x+5。23、y=(x+2)(x1)，即 y=x x+2。
