1、引 言滤波器是一种二端口网络。它具有选择频率的特性，即可以让某些频率顺利通过，而对其它频率则加以阻拦，目前由于在雷达、微波、通讯等部门，多频率工作越来越普遍，对分隔频率的要求也相应提高；所以需用大量的滤波器。再则，微波固体器件的应用对滤波器的发展也有推动作用，像参数放大器、微波固体倍频器、微波固体混频器等一类器件都是多频率工作的，都需用相应的滤波器。更何况，随着集成电路的迅速发展，近几年来，电子电路的构成完全改变了，电子设备日趋小型化。原来为处理模拟信号所不可缺少的 LC型滤波器，在低频部分，将逐渐为有源滤波器和陶瓷滤波器所替代。在高频部分也出现了许多新型的滤波器，例如：螺旋振子滤波器、微带滤
2、波器、交指型滤波器等等。虽然它们的设计方法各有自己的特殊之点，但是这些设计方法仍是以低频“综合法滤波器设计”为基础，再从中演变而成，我们要讲的波导滤波器就是一例。通过这部分内容的学习，希望大家对复变函数在滤波器综合中的应用有所了解。同时也向大家说明：即使初看起来一件简单事情或一个简单的器件，当你深入地去研究它时，就会有许多意想不到的问题出现，解决这些问题并把它用数学形式来表示，这就是我们的任务。谁对事物研究得越深，谁能提出的问题就越多，或者也可以说谁能解决的问题就越多，微波滤波器的实例就能很好的说明这个情况。我们把整个问题不断地“化整为零”，然后逐个地加以解决，最后再把它们合在一起，也就解决了
3、大问题。这讲义还没有对各个问题都进行详细分析，由此可知提出问题的重要性。希望大家都来试试。1-1 滤波器的基本概念图 1图 1 的虚线方框里面是一个由电抗元件 L 和 C 组成的两端口。它的输入端 1-1与电源相接，其电动势为 Eg，内 阻为 R1。二端口网络的输出端 22 与负载 R2 相接，当电源的频率为零（直流） 或较低时，感抗 jL 很小，负载 R2 两端的电压降 E2 比较大（当然这也就是说负载 R2 可以得到比较大的功率）。但是，当电流的频率很高时，一方面感抗 jL 变得很大，另一方面容抗j/C 却很小，电感 L 上有一个很大的压降，电容 C 又几乎把 R2 短路，所以，纵然电源的
4、电动势 Eg 保持不变，负载 R2 两端的压降 E2 也接近于零。换句话说，R2 不能从电源取得多少功率。网络会让低频信号顺利通过，到达 R2，但阻拦了高频信号，使 R2 不受它们的作用，那些被网络 A（或其他滤波器）顺利通过的频率构成一个“通带”，而那些受网络 A 阻拦的频率构成一个“止带”，通带和止带相接频率称为截止频率。什么机理使网络 A 具有阻止高频功率通过的能力呢？网络 A 是由电抗元件组成的，而电抗元件是不消耗功率的，所以，高频功率并没有被网络 A 吸收，在图一所示的具体情况中，它有时贮存于电感 L 的周围，作为磁能；在另一些时间，它又由电感 L 交还给电源。如果 L 和 C 都是
5、无损元件（即它们的电阻等于零），那么，高频功率就是这样在电感与电源之间来回交换，丝毫不受损耗，这就是电抗滤波器阻止一些频率通过的物理基础。从这个意义来说，我们可以认为滤波器将止带频率的功率发射回电源去，同时也是因为这个关系，在止带内滤波器的输入阻抗是纯电抗性的。图一的网络 A 是一个很简单的滤波电路，它的滤波效能是比较低的，在许多场合下，往往不能满足技术上的要求，而不得不采取更复杂的电路结构。然而，不管电路结构如何复杂，滤波作用的物理根源还是和前面所说的完全一样。滤波作用是滤波网络所具有的内在特性，但滤波网络所能起到的作用还受外界因素（电源内阻 R1 和负载电阻 R2）的影响。滤波效能首先决定
6、于滤波器的内在特性（这是主要的），同时还决定于滤波器的外加阻抗（这也是不可忽略的）。那么，滤波器效能是用什么来衡量的呢？图二(a) 表示一个电源，它的电动势为 Eg，内阻为R1。设负载为 R2，则当负载直接与电源相接时，它所能吸收的功率P02 为：现在我们将滤波器 A 接于电源与负载之间，如图二(b) 所示，由于滤波器的特性，当电源频率变化时，出现于 R2 两端的压降 E2 是不同的，即 R2 从电源所取得的功率 在不同频率上是不等的。用分贝来表示的 P02 与 P2 的比值称为插入损耗 Li：(1)(a) (b)图 2插入损耗 Li 是衡量滤波器效能的一个参数。根据上面的讨论，显然可见，一个
7、良好的滤波器的插入损耗在通带内应该比较低，而在止带内应该比较高。理想的滤波器的插入损耗在通带内应该等于零，而在止带内应该是无穷大。插入损耗是普通滤波器常用的参数。滤波网络具有的阻抗变换特性不难使负载 R2 在整个通带内与电源达成匹配。这时，负荷所吸收的功率将超过 P02，而使 Li 取得负值。根据 R1 和 R2 的比值不同，Li的这个负值也不一样。因此，插入损耗 Li 并不是一个很方便的比较基准。为了避免这种困难，人们还提出另外一个参数，它以电源所能供给的最大功率 P0 为基准。从电工基础我们知道：P2 与 P0 的比值，如以分贝来表示，称为变换器损耗LA（Transducter Loss)
8、:根据以上给出的种种关系，可以算出：(2)从上式显然可见，当 R2R1 时，变换器损耗就是插入损耗。有些参考书上，这两者是混为一谈的。必须注意，在(2) 式中，当频率变化时，P2 是跟着变化的。在理想的情况下，滤波器的变换器损耗 LA 在通带内应该是零，而在止带内则应该具有比较大的数值。根据滤波器的具体电路结构，变换器损耗与频率保持有各种不同的关系。图三给出四种典型关系，在这些图中，横坐标表示频率 ，纵坐标表示变换器损耗 LA。(a)表示有关器件顺利通过低于 1 的频率，而阻碍高于 1 的频率通过；这样的器件称为低通滤波器（LPLow Pass）。(b)的情况正好相反，称为高通滤波器（HPHi
9、gh Pass）。(c) 表示有关器件顺利通过1 至 2 之间的频率，对于低于 1 或高于 2 的频率都阻碍它们通过；这样的器件称为带通滤波器（BP-Band Pass）。(d)是(c)的对立面，它阻止 1 至 2 之间的频率通过，称为带阻滤波器（BSBand Suppress）。这些不同的频率特性取决于电路的具体结构，图四给出以上四种滤波器的基本结构形式，各个元件的数值是和变换器衰减的频率特性以及所接负载密切联系着的。骤然看来，这四种电路结构是很不相同的，似乎各自应有各自的设计方法。其实不然，通过一些数学方法，人们可以把这四种滤波器电路结构完全统一起来，这里用到的数学方法叫作“频率变换”。应
10、用频率变换法，其它三种滤波器都可以看作低通滤波器；在设计时，先从它对应的低通滤波器着手（因为这样简单得多），在获得低通滤波器的设计数据以后，再用频率变换法，求得所要设计的滤波器的数据。因为这个关系，满足设计技术要求的低通滤波器称为“母型滤波器”或“原型滤波器”（prototype)。图 3图 4上面提出了衡量滤波器效能的参数变换器损耗 LA，但是，效能好坏的准则又是什么呢？在实际滤波器中，变换器损耗的频率特性往往不像图三那样理想。首先，从通带过渡到止带，LA 是慢慢增加的，所以，衡量滤波器效能好坏的有关标准是：从通带过渡到止带时，LA 曲线的上升要陡峭。其次在通带内，变换器损耗不是完全不存在的
11、，一方面因为构成滤波器的元件多少总带有一点损耗，如电感中的电阻，电容中的漏阻等。另一方面，由于设计上的考虑，有时故意要 LA 在通带内不能完全为零。故衡量滤波器效能的另一准则是：在 LA 曲线从通带过渡到止带的上升程度相同的情况下，LA 在通带内的大小究竟怎样。对以上两点的要求越高，滤波器所需用的元件越多，这将带来生产工作和造价的增加。所以，对于实际设计，应根据具体情况进行全面的考虑，只要滤波性能能够满足所提出的要求，那便没有追求 LA曲线上升过分陡峭的必要。问题在于能够完成任务，这也就是我国老话“杀鸡用不着牛刀”的意思。1-2 滤波器设计的两种出发点滤波器的设计当前有两种不同的出发点。一种称
12、为镜象参数法。它以滤波网络的内在特性为根据。是人们一向用来设计滤波器的老办法。这种方法的特点是: 根据滤波网络的具体电路, 用分析的方法推算出变换器损耗的特性。然后再将这些具体电路拼凑起来, 使总的 LA 特性满足所需要的技术要求。用这种方法设计出来的滤波器一般为 K 式滤波器和 m 式滤波器等。这种方法的优点是理论根据简单。它的缺点是在分析过程中没有考虑外接负载的影响, 故在具体的设计要求提出后, 需要反复试探, 才能得到设计结果; 这对于缺乏经验的工作人员来说, 是颇费时间的。 另一种方法从插入损耗入手, 它是近年来应用的很多的设计方法。这种方法的特点是: 根据所提出的技术要求, 决定插入
13、损耗 Li(在R2=R1 时也就是娈换器损耗 LA)与频率 的函数关系, 然后根据这个函数关系, 应用网络理论综合出具体的电路结构。所以这种方法和前面的一种方法正好是相反的; 这种方法根据要求推求电路, 而镜象参数法则是应用已知的特性电路拼凑出满足要求的结构。这种方法的优点是设计准确, 而且设计是已经考虑到外接负载的影响, 无需经过多次试探的手续。它的缺点是需要用到比较难深的网络理论。但是, 这个缺点是可以弥补的, 因为只要一当把满足各种要求的母型滤波器设计出来以后, 后来的设计手续变成了简单的查表读图和应用浅近数学方法换算数据, 从实用角度来说比镜象参数法还要简单得多1-3 综合法滤波器引言
14、-恩格斯说过:“没有分析就没有综合”。要讨论综合法滤波器就需要从 分析滤波器入手。综合法滤波器设计又名插入损耗法。这就是说插入损耗是该设计法的核心。现在需要弄清楚什么是网络分析和什么是网络综合? 网络分析-给出一个具体网络, 要我们求出这个网络的传递函数。 网络综合-它是网络分析的逆过程。给出一个具体的传递函数, 要我们求出这个网络的电路形式和各种元件的数值。 网络综合的确比分析一个具体电路要复杂得多。而且涉及的数学公式又多又难。但是它又是一个把数学用于工程问题的一个极好例子。所以我们还是决定详细地讲一讲。我们相信这会对同学们有好处的。(一) 二端对网络的电压传递函数 工程设计中遇到的实际电路
15、, 大多可以用图五所示的二端对网络来表示。图五的左方代表一个实际的电压源, Eg 是它的电动势, R1 是它的内阻。右边的 R2 代表负载。根据问题的不同 R1 和 R2 可以取得种种不同的数值, 因为人们需要解决的实际问题是多种多样的。图 5这样的两端对网络主要是用作传输系统。既然如此, 人们首先注意的问题是: 它在外力作用下, 输出端会产生什么效果。譬如说, 当输入端 1-1加上激励电压 Eg,或送进激励电流 I1 时, 接于网络输出端 2-2的端载 R2 上的电压 E2 或流过 R2 上的电流 I2 都是很重要的响应, 我们把 Eg/E2 之比称为传递函数。学过两端对网络理论, 我们当然
16、就希望用网络理论来推导这个电压传递函数。考虑到网络内元件的复杂性, 我们就用通用矩阵a来推导这个传递函数。 图五所示结构用a矩阵的参数来表示: 根据a矩阵的定义: 先求 2-2端接上负载 R2 时, 1-1端的输入阻抗 Zin:这样图五所示的网络就转化为图 6 那样。该电路的电压和电流的关系式是很容易求得的。图 6当 R1R21 时，(3)因为, 对于纯电抗网络, 当频率 j 时, 只有 B 和 C 是纯虚数, 而A 和 D 是实数。所以, 就是一个复数。于是又可以把它表示为:这个公式(3)是极其重要的一个关系式, 它所要满足的条件在我们一般要讨论的问题中, 很容易达到 R1 = R2 。这是
17、因为: 作为一个传输系统总是希望把大部分功 率传到负载上去的, 所以总是想尽办法使电流和负载匹配。这里要提的另一个问题是: 为什么在公式的推导中, 用的是 R1 = R2 =1, 而不是具体值。R1 = R2 = 300,25,75 呢? 回答是: 这样可以简化我们的讨论。这也 是网络分析的一个极重要的结论-阻抗归一化。 (二) 电压传递函数的阻抗归一化人们对大量的具体电压传递函数进行分析后, 总结出一个重要的特性。 如果网络中的每个独立的阻抗乘上一个常数因子 A 后, 那么, 这个网络的电压传递函数保持不变。考虑到以后的实际情况, 我们用带撇“”的 R、C和 L 来表示已归一化的元件值, 单
18、位分别是欧姆、法拉和亨利, 而用不带撇的R、C 和 L 表示实际电路的元件值。具体来说: 这个结论可以用实际例子来说明: 给我们两个如图 7(a)(b)所示的网络, 要我们分别求出其各自的电压传递函数, 按照电工原理, 我们可以求出它们的电压传递函数:对于图 7(a)所示的网络, 我们先求出其回路电流 I1: 图 7 对于图 7(b)所示的网络, 由于其 R1=R2=1, 数简单, 所以计算起来更加简洁: 由此可见这两个电路的电压传递函数是一样的。图 7(b)的电路的各元件值只 是图 7(a)的电中各元件的阻抗值扩大了 50 倍的反映。所以, 这两个电路只有绝对 阻抗大小的差别, 而对电压分配
19、比是一样的。这样, 我们就可以把阻抗之间的相对比例一样的网络归为一类。仅仅研究它的归一化后的电路的特性, 别的阻抗值的电路, 都可以从它导出。 (三) 电压传递函数的频率归一化 受到上述的好处以后, 我们很自然地会想到不同的频率工作的电路, 其电压传递函数是否也能归类, 研究的结果是可行的。其结论如下:如果把工作频率从 =1 弧度/秒升高到 =B 弧度/秒, 让该网络的所有电阻保持不变, 而把网络中的所有电感 L 和电容 C 都除以 B, 那么, 变换后的电路的电压传递函数没有变化。 这是很自然的, 它好像物理量的单位换算, 其基本的道理仍然是使网络各元件的阻抗之比保持不变。 对于电阻，因为它
20、和工作频率无关, 所以工作频率变化, 不影响它的值。 对于电容的电感, 则有: 这个结论也可以用实际例子来说明:让我们仍以图 7(b)为例: 设 =1 弧度/秒 , 则有接着我们来看看, 若把 =2 弧度/秒代入, 又要保持其电压传递函数不变, 只有改变电路中的电感值, 它该是多少呢? 图 7(b)的电压传递函数为 于是, 满足保持电路的电压传递函数不变的可能, 只是 , 这正好就是从原来电感 L除以频率提高的倍数 2, 其最后的具体结构如图 8 所示。 图 8 阻抗归一化和频率归一化的概念在网络理论中极为重要。因为, 今后列表中的各种元件值都是以阻抗归一化和频率归一化后的元件值。各种具体阻抗
21、和工作频率时的具体都由它们导出。 人们能把这两个法则合在一起, 从而能一下子同时去掉这两个归一化。因此, 对于一个已归一化的电路, 要让它们阻抗提高 A 倍, 频率提高 B 倍, 那么人们就有: 每个网络中的电阻乘上 A 每个网络中的电感乘上 A/B 每个网络中的电容乘上 1/AB 如果一个设计有大量的元件, 这个最后式是有用的。但是, 我们推荐大家研究这两个基本概念。如果大家理解了这个原理, 从这两个基本法则是很容易推论出像上式那样的公式。因为, 上列的特定的结构是很容易忘记或记错的。 (四)各种频率特性的滤波器的归一化 在引言中, 我们曾谈到有各种不同衰减特性的滤波器: 低通、高通、带通和
22、带阻, 而且通过数学上的变量代换, 可以把它们归并为一个低通归一化原型滤波器。若从数学变换的角度看, 上述的电压传递函数的频率归一化也属频率变换。这里要讲的实际就是从母型滤波器的数据推求实际滤波器网络的具体结构。 (1) 频率扩展(频率归一化)母型低通滤波器的截止频率c=1。假如需要设计的低通滤波器的截止频率不等于 1, 而是 c, 则从数学角度说相当于将原来的频率轴 倍乘了 c。故 =c亦即 =/c图 9(a)表示两个频率轴之间的关系, (b)表示母型低通滤波器的LA关系, (c) 表示换算后 LA 之间的关系。在(b)和(c)的图形上, 我们还把负频率部分画上。负频率实际上当然不是客观存在
23、的, 但从数学的观点来说, 它还是可以和 LA 保持一定的函数关系。这两个图形表明 LA 和频率保持有偶函数的关系, 这是由上面所提到的可实现性决定的。进行这种频率变换时, 设计电路的元件也跟着改变, 其变化规律前小节已经说过了。 图 9(2) 低通转高通-如需要设计一个高通滤波器(参看图 10), 它的截止频率是c, 人们使新的频率变量 与原来的 保持下列关系: 图 10 在频率轴上表明这种转换关系。应用数学上的手法人们设计高通滤波器时, 实是利用了母性低通滤波器的负频率部分。所以要用这一部分也可实现性决定的数学方法的运用必须切合实际, 绝不能脱离实际进行数学游戏。 由母型低通滤波器换算到高
24、通滤波器时, 电路元件当然要改变: 母型滤波器电感应改为电容, 其数值 母型滤波器的电容应改为电感, 其数值 以后可以知道, Lk 和 Ck+1 都是表上查得的母型低通滤波器的元件参数。 (3) 低通转带通-如果要根据低通滤波器设计一个带通滤波器(参看图 11), 的截止频率是 1 和 2, 人们需要进行更复杂些的频率变换, 使母型滤波器的频变量 与带通滤波器的频率变量 保持以下关系: (4)式中 2 为带通滤波器的高端截止频率, 1 为低端截止频率, 0称为中央频率;通常令 2-1 为带通滤波器的通频带, 称为滤波器的相对通频带 W: W 通常以百分比表示, 故(4)式可以改写成 (5)由式
25、(5)求 , 经过演算和分析, 人们可以得到母型滤波器的频率轴与新频率轴的关系(见图 11)。 根据母型低通滤波器换算带通滤波器, 电路元件变得更加复杂。母型滤波器的电感应改为 LC 串联电路, 它的电感 Lk 和电容 Ck 与母型的电感 Lk 保持以下关系: 母型滤波器的电容应改为 LC 并联电路, 它的电容 Ck+1 和电感 Lk+1与母型的电容 Ck+1 保持以下关系: Lk 和 Ck+1 都可以从母型低通滤波器的元件表上查得。低通带止的问题, 这里不再赘述了。我们把以上各种转换关系综合在表 1 上, 表内还列出了低通转带止所用到 的关系。 1-4 低通滤波器的定量分析经过上一节的学习,
26、 我们已经了解到对于某些具体电路的分析。 可以通过它们的归一化低通滤波器来进行。下面, 我们来分析一到三节归一化低通滤波器。 (一) 一节低通滤波器 图 12 示出了它的结构, 用电路分析, 很快就可以求出:回路电流 I1为: 图 12 若用通用矩阵a来求, 此电路的通用矩阵为 和电路分析求出的结果完全一样。不过, 从过程中可以看出: 后一种方法简洁很多。而且, 当元件数目越多就越显出矩阵法的优越。我们在这里还要定义一个归一化幅度函数 A(): 这主要是因为传递到负载的功率, 不是指电源总的输出功率, 而是指最大输出功率 , 而不是 , 这样就差了一个系数。所以一节低通滤波器的幅度函数 A()： (二) 二节低通滤波器 图 13 图 13 示出了它的结构, 用电路分析解, 就比较复杂了, 如何解, 留给同学们作练习, 我们下面用通用矩阵来解它: (三) 三节低通滤波器 图 14 示出了它的结构, 我们仍用用矩阵a来求它的电压传递函数,而把电路法求解留给同学来完成。 图 14 这时网络可以看成三个小两端对网络的节联, 则有 (4) 对偶电路 上述一列三节低通滤波电路都有其对偶电路。我们把它们都画在图15 上。它们各自的电压传递函数、幅度平方函数也可以求出如下: 一节对偶低通滤波器：二节对偶低通滤波器 ：三节对偶低通滤波器 ：
