1、浅析用判别式法求函数的值域吉林省永吉县第四中学 赵丽雁判别式法是求函数值域的主要方法之一，是方程思想在函数问题上的应用.对于形如 （ 不全为零）或2yaxbcdefda,者可以转化为这种形式的二次有理型分式函数的值域，一般是要用判别式法求解的. 它的理论依据是:可将已知函数的解析式变形，化为 ，看作是以 y 为参数的2()()0adyxbeyxcfy关于 x 的二次方程, 又由于函数的定义域是非空数集,则方程一定有实数解,必须有判别式0 成立,从而求得函数的值域. 但在用判别式法求值域时经常出错，因为，别式法求函数值域的适用范围虽然广泛,但却又是有条件制约的.因此在用判别式求值域时应注意以下几
2、个问题:一、要注意判别式存在的前提条件一元二次方程，所以应注意对二次项系数进行分类讨论，否则会产生错误.（1）当 时，研究上述关于 的方程是否有解；0adyx（2）当 时，利用 解出 的取值范围；0y二、当定义域只由 限制时，在注意二次项系2xef数的同时对 时是否符合要求要进行检验.0例 1、求函数2431xy的 值 域 2x解 析 ： 函 数 定 义 域 为 且 ， 函 数 解 析 式 化 为，2y-(4)3=0yx2（ ） x当 时，方程为 即 ，由已知函数定义域知1721x，所以，此时方程无解；x当 时，12y2 2(4)()3914(3)0yy所以有 且R而当 时，方程为 即 所以2
3、3y210x1xy所以函数的值域为 123yy且例 2、求函数 的值域；2715x解析：函数的定义域为 3x且解析式变形得 2()(7)150yxyy当 时，方程为 ，由定义域知2y130， 所 以 ， x=-所以，3x2y当 时，由 得2(7)4()315)0yy，所以2(85)0yyR当 时，方程为 即 ，由定义域知2690x3x58y所以函数的值域为 528yy且以上两个问题中，判别式 时的 值，恰好不在函数的定0x义域内，所以要去掉此时的 值.y特别的， （1）当函数的定义域为全体实数时，无需验证.例 3、求函数 的值域.231xy解析：函数定义域为 ，R解析式变形为 2()()30y
4、xyx当 时，方程无解；1y当 时， ，解得2(1)4()30yy13y又 所以函数值域为 .1y，（2） 恒成立时，无需检验；0例 4、求函数 的值域2473xy解析：函数的定义域为 13x且解析式化为 2()(4)70yxyy当 时，方成为 ，方程有解 ；2y81308x当 时，恒成立，即2 2(4)()37)16370yyy时，方程总有解，所以函数值域为 .R另外，当定义域有 以外的限制时，如果要用2dxef判别式法，通常要结合韦达定理，或者一元二次方程根的分布的讨论方法，问题比较复杂，不做赘述。当然形如 （其中 ）的函数如果2yaxbcdef20ad其分子与分母中含有公因式可以用下面的处理方法：（1）首先将分子和分母因式分解，找出公因式；（2）约去公因式，并注明公因式不等于零时 的取值；x（3）利用“分离常数法”求出约去公因式的函数的值域；（4）将公因式等于零的 的值代入约去公因式的函数解析式，x求出相应的 值，并在值域中排除.y
