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类型高等数学(考前要点复习 下).doc

  • 上传人:dreamzhangning
  • 文档编号:2738947
  • 上传时间:2018-09-26
  • 格式:DOC
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    高等数学(考前要点复习 下).doc
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    1、 93第五章 定积分的概念教学目的与要求:1 解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿莱布尼茨公式。2 解广义积分的概念并会计算广义积分。3掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等) 。5.1 定积分概念一 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分定义 设函数 f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入若干个分点,把区间a,b分成 n 个小区间 ,记在,.max,.2,121niii xx 上任意取一点 ,作和式:ii,1i).()(1i

    2、nif如果无论a,b作怎样分割,也无论 在 怎样选取,只要iiix,1有 I (I 为一个确定的常数),则称极限 I0inixf1)(是 f(x)在a,b上的定积分,简称积分,记做 即 I=badxf)(94其中 f(x)为被积函数,f(x)dx 为积分表达式,a 为积分下badxf)(限,b 为积分上限,x 称为积分变量,a,b称为积分区间。注1 定积分还可以用 语言定义2 由此定义,以上二例的结果可以表示为 A= 和 S=badxf)(1)(Tdtv3 有定义知道 表示一个具体的书,与函数 f(x)以及区间baxf)(a,b有关,而与积分变量 x 无关,即 = =badxf)(bauf)(

    3、badtf)(4 定义中的 不能用 代替0n5 如果 存在,则它就是 f(x)在a,b上的定积分,那inixfLm10)(么 f(x)必须在a,b上满足什么条件 f(x)在a,b上才可积分呢?经典反例: 在0,1上不可积。中 的 无 理 点,为, 中 的 有 理 点,为 10,)(xf可见函数 f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。定理 1 设 f(x)在区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上可积。定理 2 设 f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则 f(x)在a,b上可积。95定理 3 设 f(x)在区间a,b上单调,则 f(x)在a,b上可积。

    4、6 几何意义当 f(x) 0 时, 表示曲边梯形的面积;当 f(x) 0 时,badxf)( 表示曲边梯形的面积的负值;一般地,若 f(x)在a,b上badxf)(有正有负,则 表示曲边梯形面积的代数和。baxf)(例 1计算 10dex解:显然 f(x)在a,b上连续,则 f(x)在a,b上可积,现将0,1分成 n 个等分,分点为 , ,ninxi ,.210,xi/1取 作和式:/1ii 1)(11)( 001010 eenLimenieLimxfLi niininii 所以: =e-10dex7按照定义52 定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知, 是当 ab 时无意义,但为了计算及应

    5、用的方便,特作两个规定:1 a=b 时, =0baxf)(2 ab 时, =-dabxf)(性质 1:和差的定积分等于它的 定积分的和差,即96bababa dxgxfdxgf )()()(性质 2:常数因子可以外提(可以推广到 n 个)babadxfkxf)()(性质 3:无论 a,b,c 的位置如何,有 bccaba xfxfdf )()()(性质 4:f(x) 则1ad性质 5:若 f(x) g(x)则,)()(babadxgxf性质 6: baxf)(性质 7:设在 , ,则,Mfmabdba性质 8:(积分中值定理)若 f(x)在a,b上连续,则a,b上至少存一点 ,使下式成立, )

    6、()(fxfba例 1利用定积分几何意义,求定积分值 4dx102上式表示介于 , , , 之间xy2面积例 2、 (估计积分值) 证明 21xd3210证:97在 上最大值为 ,最小值为 2221x49,049 32 1x10253 定积分的计算方法一变上限积分函数的导数设函数 f(x)在a,b上连续,x 为a,b上任一点,显然,f(x)在a,b上连续,从而可积,定积分为 由于积分变量与积xadf)(分上限相同,为防止混淆,修改为 ( )称tba是变上限积分的函数。)(x定理 1:设 f(x)在a,b上连续,则 在a,b上可)(xadtf)(导,且导数为 ()dtfxa证明省略定理 2:如果

    7、函数 f(x)在a,b上连续,则积分上限的函数是 f(x)在a,b上的一个原函数。)(xadtf)(注意:1 定理说明了连续函数的原函数一定存在2 此定理指出了定积分与原函数的关系二、基本定理 牛顿莱伯尼兹公式98定理 如果函数 F(x)是连续函数 f(x)在区间a,b上的一个原函数,则。 (1)证 已知函数 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,又根据前面的定理知道,积分上限的函数也是 f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数,即 。 (2)在上式中令 x = a,得 。又由 的定义式及上节定积分的补充规定知,因此,C = F(a)。以 F(a)代入(2)式中的 C,以 代入

    8、(2)式中的,可得,在上式中令 x = b,就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知,(1)式对 ab 的情形同样成立。为方便起见,以后把 F(b) F(a)记成。公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式,它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法,也称为微积分基本公式。例 1 计算定积分 。解 。99例 2 计算 。解 。例 3 计算 。解 。例 4 计算正弦曲线 y = sinx 在0, 上与 x 轴所围成的平面图形的面积。解 。例 5 求解 易知这是一个 型的未定式,我们利用洛必达法则来计算。因此。100例 6、 30x41cosx0 4sinxcollimtn

    9、dli 20x0x0x clicos2inl410x8154 定积分的换元法定理:设(1)f(x)在a,b上连续, (2)函数 在)(tx上严格单调,且有连续导数, (3) 时,.且 则有换元公式:bta)(ba)(,)(.(1)dtfdxfba注1 用换元法时,当用 将积分变量 x 换成 t 求出原函)(tx数后,t 不用回代,只要积分上下限作相应的变化即可。2 必须严格单调)(x3 可以大于4 从左往右看,是不定积分的第二换元法;从右往左看,可以认为是第一换元法。 例 1、 202202dx)1(-dx101法一 设 sin t1-x23t)dsin(12dt cot)(022 法二 设

    10、原式sinx223!48dt 8204例 2设 在 上连续,且xf,dtf2Fx0证明:若 f(x)为偶函数,则 F(x)也是偶函数。证: tdfu2xtdf2xF00 tx0例 3 奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质(1) 在-a,a连续,xf0a当 为偶数,则 a0-af(x)d2f(x)d当 为奇函数,则f-(2) , 以 T 为周期T0Taf()(x)d102说明在任何长度为 T 的区间上的积分值是相等的。例 4、 e4)dx-(x1-20原式 0-xe1-)d(20xe4例 5、 22022 dxsin1 codxsinco artii 12020 例 6、设 为连续函数,

    11、且 求xf 0dxf()sinf(x)f解: 设 则0Ad ()两边积分 00 )dx(sindx f()0Aco10312A sinxf()5.5 定积分的分部积分法定理:若 u(x),v(x)在a,b上有连续导数,则babavdxudxvu|证明:因为 ,则有 ,两边取定积分。)( vuv)(有 也可以写成:babavxxv| babadud|例 1 0de解: 1)(|1010 exxex例 2 e1)sin(l解: eee dxxxdxdx 111 )cos(lnsin)si(l|)si(l)si(l= e e1 1|coincon= ex1)s(lsi= edx1)(l2ci例 3、

    12、设 ,0dtln f1求 x解: x11dtlntl f1042x1ln1x例 4 设 在 连续, 可导,且 ,)(fb,a),a(0)(f证明在 内,有xadt1)(FxF证: 2xa)(t(ff)(bx)ax)(f在 单调减,)x0,a(故(f)0F56 定积分的近似计算57 广义积分一 无穷限的广义积分定义 1 设函数 f(x)在区间a , + )上连续,取 ba,若极限存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a , +)上的广义积分,记作,即 。 (1)105这时也称广义积分 收敛;若上述极限不存在,称为广义积分 发散。类似地,若极限 存在,则称广义积分 收敛。设函数 f(x)在区间

    13、(- ,+ )上连续,如果广义积分 和都收敛,则称上述两广义积分之和为函数 f(x)在无穷区间(-, + )上的广义积分,记作 ,也称广义积分收敛;否则就称广义积分 发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例 1:计算广义积分 dxarctg021解: =dxarctg02 8|21limli 2002 bbb xarctgxrt例 2计算广义积分 以及sindsin解: 显然发散)coli1(|cosin00 axda同理 也发散00sinsii xd106例 3: 证明广义积分 (a0)当 p1 时收敛,当 p 1 时发散。证 当 p = 1 时,,当 p1 时,因此,当 p 1 时,这

    14、广义积分收敛,其值为 ;当 p1 时,这广义积分发散。二无界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。定义 2 设函数 f(x)在(a,b上连续,而在点 a 的右领域内无界,取,如果极限 存在,则称此极限为函数 f(x)在(a,b上的广义积分,仍然记作 ,这时也称广义积分收敛。类似地,设函数 f(x)在a,b上除点 c(a0)的一拱与 x 轴所为的面积解: 222020 3)cos1()sin()co1( adtadttaA 110二极坐标的情形定理 3:设曲线 且 在 上连续,非负)(r)(,则有曲线 与射线 所围区域(称2为曲边扇形)的面积为: dA)(21证明:又微小

    15、元素法 上的面积微元是:,,所以d)(2 dA)(21例 1、 求双纽线 所围的平面图形的面积。cos2ar解: 又由图453,4,0s,2 形的对称性以及公式有: 24242 |sin1cos1aadaA例 2、求由曲线 所围图形公共部co,分的面积解:两曲线的交点 65,2,6046dcos1dsin21S+ )co(604621112136sin21i46063 体积一 平行截面面积为已知的立体体积定理一:设 V 是位于a,b间的一空间立体,A(x)( )是截bxa面积的函数,且在a,b上连续,则立体 V 的体积为 dA)(证明:在x,x+dx上的体积微元是 dV=A(x)dx,则体积为

    16、:badxAV)(例 1:求由圆柱面 所围立体的体积222,azxay解:由于对称性,我们只要求第一卦限立体体积,过 x 点()且垂直于 x 轴的平面与该立体的截面为边长为ax0的正方形,则22)(xaA30320 16|8)(8dxVa二 旋转体的体积旋转体是一种特殊的空间立体,它是一条平面图形饶平面一直线l 旋转一周所得,特别地,直线为 x 轴,一般地,设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及 x 轴所围的曲边梯形饶 x 轴旋转一周所得的一个立体,用垂直于 x 轴的平面去截立体得到截面面积为 A(x)= ,则)(2xf旋转体的体积为: dxfVba)(2例 1 例 3、过点 作抛物

    17、线 的切线,求该切0,Py线与抛物线 及 轴yx112所围平面图形绕 轴旋转而成的旋转体体积x解:设切点为 )2,(0切线方程 1x(y0 切点在切线上, )(2x100, 3切线方程: )1(2y3132x 6dx)(dx4V64 平面曲线的弧唱一直角坐标系定理 1:设 y=f(x)在a,b上连续,且有一阶连续导数,则 y=f(x) 在a,b上的弧长为这由弧微分很容易推导出来。dxfSba2例 1曲线 相应于 的一段21lny21x0解:1. 2x 1yd1s02(3,1)0 1 2 3113dx121020xln23l1二参数方程的情形当曲线以参数方程 给出时要求 t 由tyxt时的曲线弧

    18、长。由弧微分容易知道:变 化 到 dttS22)()(例 1摆线 的一拱tsinyco1xt03. dtytxS2022tt2 22cos1sin0dti20tsin02tcos48114三极坐标的情形定理 3:若曲线的极坐标方程为 ,那么相应于)(r的一段弧长为:,drS)(22例 1:心形线 的全长 cos1a0a,inr ddds 2022 cossin)cs(=8a =8a0|i(3) r65 功,压力例子 1.一锥形水池,池口直径 20m,深 15m,池中盛满瞒水,求将全部池水抽到池口外所做的功.解:如图建立坐标系,以 x 为积分变量,变化区间为0,15,重中任意取一子区间,考虑深度x,x+dx的一层水量 抽到池口处所做的功T,当 dx 很小时,抽出 中的每一体积水所做的功为 xWTT而 的体积约=Tdxx2)15(0dxd2)15(吨米)87150例 2.边长为 a 和 b(ab)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边 a 与液面平行位于深为 h 处,而薄片与液115面成 角,已知液体的密度为 ,求薄片所受的压力解:取 x 为积分变量,变化区间为h,h+bsin 从中取x,x+dx知道面积元素 sindaS压力元素 ,则sixP )sin21(n1isinsin bhaxdxbhbh

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