1、如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例 1、在直三棱柱 中， ,点 , 分别是 , 的中点，若1CBA09ADF1AC1B,求 与 所成的角的余弦值。1ABCDF解：取 的中点 ，连结 ， ，E且/DF四边形 为平行四边形E（或它的补角）为 与 所成的角。ACAF设 ,则 ， ，2B65E故2301FEA30arcos1二
2、、中点平移法例 2、在正四面体 中, , 分别是 , 的中点，求 与 所成的角的余弦ABCDMNBCADAMCN值。 解：连结 ，取 的中点 ，连结 ，MO、 分别 、 为的中点，ON为 的中位线，/（或它的补角）为 与 所成的角。CACN设正四面体 的棱长为 2，则有 ， , ,ABD32O72CO故2cosNOCarcs3CEFDB1A1C1C ABNOMB DCA三、特殊点平移法例 3、如图，在空间四边形 中，点 、 分别是 、 上的点，已知 ，ABCDEFBCAD4AB， ， ，求异面直线 与 所成的角。20CD7EF13解：在 上取一点 ，使得 ，连结 ，BGG、在 中， ，故 ，D
3、/E同理可证： /FA（或它的补角）为 与 所成的角。EBC，/C,故 ；14GB5同理可得：，且 ，故 ;/FA3DFG在 中，利用余弦定理可得E,222571cos 3GEA故 .10F因为 ， ，所以 与 所成的锐角等于 与 所成的角，/ECD/BGFABCD于是 与 所成的角等于 .AB60点评：作两条异面直线所成的角时,我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点（或特殊点）作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）.四、交线平移法例 4、正三棱柱 的各棱长都相等, 求 与 所成的角的余弦值。1CBA1ABC解：取 的中
4、点 ， 的中点 ， 的中点 ,1BOFE、 分别 、 为的中点，F1为 的中位线，C，1/OB同理可证： 1/EA（或它的补角）为 与 所成的角。F1BC设正三棱柱 的棱长为 2，1BCECFDABBAC1 A1B1C则有 ，2OEF215Ecos 4A所以 与 所成的角为 .1ABC1arcos点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线总是跑到图形的外面去,此时考虑两条都要平移 .如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线(如练习中 )1B、用补形法作两条异面直线所成的角例
5、5、如图所示,正方体 中,求 与 所成角的大小.1ACD1AC1D（法一）补形法解：如图，在正方体 的上方补上一个1B同样大小的的正方体 ，连结 .1212且12/AD2四边形 为平行四边形112/（或它的补角）为 与 所成的角。CAD1AC1D设正方体 的棱长为 2,则有 ， ，1B218AC20D又因为 22故 与 所成角为 .1AC1D90解：（法二）平移法连结 ，取 的中点 ， 的中点 ，O1AE的中点 , 连结 ， ，1FE、 分别 、 为的中点，E11D为 的中位线，A，1/F同理可证： 1/OECA1 B1C1A2D1B2C2D2D CBACA BEODFD1 C1B1A1（或它的补角）为 与 所成的角。FEO1AC1D连结 ，设正方体 的棱长为 2,则有 ， ，1ABCD2EF3O5F又因为 22FE故 与 所成角为 .1190点评：补形法就是在长方体或者正方体中,当我们在其中的任意一条直线所对应线段的顶点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图形的外面去 ,此时,可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体,从而作出异面直线所成的角的平面角 .
