1、高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空 3 分，共 42 分）1、函数 4lg(1)yx的定义域是 ；2、设函数20() fa在点 x连续，则 a ；3、曲线 45yx在（-1，-4）处的切线方程是 ；4、已知3()fdC，则 ()f ；5、2limxx= ；6、函数 3()1f的极大点是 ；7、设 ()206)x(，则 (1)f ；8、曲线 xye的拐点是 ；9、201d= ；10、设 32,aijkbijk，且 ab，则 = ；11、lm()01xx，则 ， ；12、3ix= ；13、设 ()f可微，则 ()fxde= 。二、 计算下列各题（每题 5 分，共 20 分）1、 01lim
2、)n(x2、 arcos2yx，求 y；3、设函数 )由方程 xe所确定，求 0xdy；4、已知 sincty，求d。三、 求解下列各题（每题 5 分，共 20 分） 1、42xd2、 sec3、40x4、3201adx四、 求解下列各题（共 18 分）：1、求证：当 x时，2ln(1)x（本题 8 分）2、求由 ,0ye所围成的图形的面积，并求该图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 （本题 10 分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空 3 分，共 42 分）1、函数 24lg(1)yx的定义域是 ；2、设函数sin0()xfa在点 连续，则 a ；3、曲线 34yx在 (1,5)
3、处的切线方程是 ；4、已知2()fdC，则 (fx ；5、3lim1xx= ；6、函数 2()1f的极大点是 ；7、设 ()0)x(，则 ()f ；8、曲线 xye的拐点是 ；9、302d= ；10、设 ,2aijkbijk，且 abA，则 = ；11、2lm()01xx，则 ， ；12、3ix= ；13、设 ()f可微，则 ()2fxd= 。二、计算下列各题（每题 5 分，共 20 分）1、1limnx2、 arcs3yx，求 y；3、设函数 ()由方程 xe所确定，求 0xdy；4、已知icosnty，求d。三、求解下列各题（每题 5 分，共 20 分） 1、3xd2、2tanxd3、10
4、e4、 15x四、求解下列各题（共 18 分）：1、求证：当 0,y时，lnl()ln2xyxy（本题 8 分）2、求由 x所围成的图形的面积，并求该图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 （本题 10 分）习题 421. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数使等式成立(例如 )74(1xd: (1) dxd(ax); 解 dx a1d(ax). (2) dx d(7x3);解 dx 7 d(7x3). (3) xdx d(x2);解 xdx 1d(x2). (4) xdx d(5x2);解 xdx 0 d(5x2). (5) )1(; 解 2. (6)x3dx d(3x42);解 x3
5、dx 1 d(3x42). (7)e 2x dx d(e2x);解 e 2x dx d(e2x). (8) )1; 解 ( 22xx. (9) )3cos3sind; 解 2( 2xx. (10) |)ln5 d; 解 |( 1xx. (11) |)ln53( xdx; 解 | 1. (12)3(arctn 92xdx; 解 t 1. (13)arctn( 2xdx; 解 t1 )1. (14)( 22xdx. 解 )1 )1. 2. 求下列不定积分(其中 a, b, , 均为常数): (1)dte5;解 Cext 551. (2)3)2(; 解 Cxxddx 43)23(81)()2(. (
6、3)21;解 xxddx|21|ln)21(. (4)32;解 CxCxxdxd 323231 )(1)(1)2()(. (5)eab)(sin;解 beaxbxdeaxdx cos1)()(sin1. (6)tsin;解 Cttdtcos2sin2i. (7)x10ectan;解 d2s xx110tantta. (8)xdln;解 Cxdxdx |ln|lln1lnl1. (9)x21ta;解 dx2tn 2221cosin1tanxdxdC |cos|l1coscs. (10) xdin;解 xdx |tan|ltan1tsecosi2. (11) dxe1;解 xCedexexxarc
7、tn122. (12)de2;解 .2)(12exexx(13) )cos(2;解 Cxdxdx )sin(1)(cos22. (14) 23;解 Cxxxdxdx 2212212 3)3()3()(6. (15) 431;解 Cxxddx |1|ln43)1(4. (16) tt)sin(co2;解 Cttdt )(cos31)cos()(cos)(2 . (17)dx3cosi;解 Cxxd 223 sec1cos1csn. (18)x3osi;解 )sinco(sin1cosin33 xdxdxC 32i23)()(. (19)dx2491;解 dxdx2249491)(8)3(21x
8、Cx249132arcsin. (20)dx239;解 Cxxdxd )9ln(21)(91(2)(91 222. (21)x2;解 dxxdxd )12(2)1(212xCxCx |12|ln|12|ln|1|ln. (22)dxx)2(;解 xxdx |12|ln3|ln|(l31)21(31. (23)xd3cos;解 Cxxx322 si1is)in1(si. (24)t)(cs2;解 ttdtd )(2sin4)(2coso . (25)x3cs2in;解 Cxx cos2150)sin5(21. (26)dxcos;解 xdxx 21sin3i)21cos3(21. (27)x7s
9、in5;解 Cxdxxd 2sin41si2)cos12(7sin5. (28) ecta3;解 sectantsetas2Cxxdc31)(2. (29)x2arcos10;解 Cxdxdd xxx 10ln2)arcos2(102arcos10 arcosarcosrs2arcs. (30)x)(rtn;解 Cxxdxdd 2)(arctnarctrtn2)1(arctn2)1(arct. (31)2arcsinx;解 Cxdxd arcsin1rsi)(arcsin1)(i 2. (32)x2ln;解 xxddln1)l()ln()l(2. (33)xsicota;解 xdxdtatnl
10、sectanlln2Cx)t(l1ltal. (34) d2( 0);解 dtadttataxa 2cos1sincosinsi 22令, CxaaCtat 222rcsinsin41. (35)2xd;解 Cxtdtttxd 1arcosansec1sec12令. 或 xdxdxxd 1arcos111222. (36)32)(;解 Cttdttxd sincotan)1(an)1( 3232令 x12. (37)x9;解 tdtdttd 222 an3)sec(s39ec令CxxCtdt 3arcos93an)1cos(322. (38)x;解 CxCttdtdd )21ln()1ln()
11、1(21令. (39)2x;解 dtdttdtd )2sec1()cos1(cos1sin1令CxCttt 21arcsincos1in2an. (40)xd. 解 dttttdt cosinis2cossin12令Cttdtdt |l1)(coiCxx|1|ln2arcsi12. 习题 511. 利用定积分定义计算由抛物线 y=x21, 两直线 x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间a, b内插入 n1 个分点 ini(i1, 2, , n1), 把区间a, b分成 n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: abxi(i1, 2, , n). 第二步:
12、在第 i 个小区间x i1, xi (i1, 2, , n)上取右端点 ibxi, 作和abnafSiini )()(21i ibab22 6)12()(1)()( 2nnabnan )( 22ba. 第三步: 令 maxx1, x2, , xnab, 取极限得所求面积niibafdfS0)(lm)(16)2()(li2 nababnabb 3131)()( 2.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1) xdba(ab); (2) e10. 解 (1)取分点为 inaxi(i1, 2, , n1), 则 nabxi(i1, 2, , n). 在第 i 个小区间上取右端点bi(i1, 2, ,
13、 n). 于是niniiba abiaxxd11)lml)(21()(l)( 22bn . (2)取分点为ix(i1, 2, , n1), 则 nxi(i1, 2, , n). 在第 i 个小区间上取右端点 nii(i1, 2, , n). 于是) (1liml 2110 nniix eeede 1)(li)(li enenn. 3. 利用定积分的几何意义说明下列等式: (1) 120xd; (2) 4; (3)sinx; (4)202coscxd. 解 (1)10x表示由直线 y2x、x 轴及直线 x1 所围成的面积, 显然面积为 1. (2)2d表示由曲线 1、x 轴及 y 轴所围成的四分
14、之一圆的面积 , 即圆x2y21 的面积的 4: 41202x. (3)由于 ysin x 为奇函数 , 在关于原点的对称区间 , 上与 x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 sind. (4) 2cox表示由曲线 ycos x 与 x 轴上 2 ,一段所围成的图形的面积. 因为 cos x 为偶函数, 所以此图形关于 y 轴对称. 因此图形面积的一半为 20cosxd, 即202coscsxdx. 4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强 p(单位面积上的压力大小)是水深 h 的函数, 且有 p98h (kN/m2). 若闸门高 H3m, 宽 L2m, 求水面与闸门顶相
15、齐时闸门所受的水压力 P. 解 建立坐标系如图. 用分点 inHxi(i1, 2, , n1)将区间0, H分为 n 分个小区间, 各小区间的长为 nxi(i1, 2, , n). 在第 i 个小区间x i1, xi上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 Pi9.8x ilx i . 闸门所受的水压力为2211 8.4)1(lim8.9lim8.98.9lim HLnHLniLnnii . 将 L2, H3 代入上式得 P88.2(千牛). 5. 证明定积分性质:(1) babadxfkxf)()(; (2) d1. 证明 (1) baniiniiba dxfkxfkxfxkf )()(lm)(
16、l)( 1010. (2)abdiinii (lllm110. 6. 估计下列各积分的值: (1)412)(x; (2)54sind; (3)31arctx; (4)02de. 解 (1)因为当 1x4 时, 2x 2117, 所以)(7)()(d, 即 56412. (2)因为当 x时, 11sin 2x2, 所以)45()sin()45(5d, 即 2)i1(4x. (3)先求函数 f(x)x arctan x 在区间3 ,1上的最大值 M 与最小值 m. 21arctn)(xxf. 因为当31x时, f (x)0, 所以函数 f(x)x arctan x 在区间3,1上单调增加. 于是3
17、6arctn3)(fm, 3arctn3)(fM. 因此 )1(rt)1(63xd, 即 2arctn931x. (4)先求函数 ef2)(在区间0, 2 上的最大值 M 与最小值 m. 1)(2xef, 驻点为1x. 比较 f(0)1, f(2)e 2, 4)(f,得 41em, Me 2. 于是)0)0(241dxe, 即 412e. 7. 设 f(x)及 g(x)在a, b上连续, 证明:(1)若在a, b上f(x )0, 且 0)(badxf, 则在 a, b上 f(x)0; (2)若在a, b上, f(x )0, 且 f(x)0, 则 )(baf; (3)若在a, b上, f(x )
18、g(x), 且 xg, 则在 ab上 f(x)g(x). 证明 (1)假如 f(x)0, 则必有 f(x)0. 根据 f(x)在 a, b上的连续性, 在a, b 上存在一点 x0, 使 f(x0)0, 且 f(x0)为 f(x)在a , b上的最大值. 再由连续性, 存在c, d a, b, 且 x0c, d, 使当 xc, d时, 2)(0fx. 于是)()()()()()( 0 cffffxfxf bdcaba. 这与条件 0相矛盾 . 因此在 a, b上 f(x)0. (2)证法一 因为 f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点 x0, 使 f(x0)0, 且 f(x0)为
19、 f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, d a, b, 且 x0c, d, 使当 xc, d时, 2f. 于是baffxf )(2)()(.证法二 因为 f(x)0, 所以 bax. 假如 0(baxf不成立. 则只有 0)(badxf, 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此 0)(badxf. (3)令 F(x)g(x)f(x), 则在 a, b上 F(x)0 且0)()( bababa dxfgfd, 由结论(1), 在a, b上 F(x)0, 即 f(x)g(x).4. 根据定积分的性质及第 7 题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)102x还是 10
20、3？(2) 1d还是21x？(3)2lnx还是 )(lnd？(4)10还是 10x？(5)dxe还是 )(？解 (1)因为当 0x1 时, x 2x3, 所以 1032dx. 又当 0x1 时, x 2x3, 所以 . (2)因为当 1x2 时, x 2x3, 所以 . 又因为当 1x2 时, x 2x3, 所以 .(3)因为当 1x2 时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以 .又因为当 1x2 时, 0ln x1, ln x(ln x) 2, 所以 .(4)因为当 0x1 时, x ln(1x), 所以 . 又因为当 0x1 时, x ln(1x), 所以 .(5)设 f(x)ex1x, 则当 0x1 时 f (x)ex10, f(x)ex1x 是单调增加的. 因此当0x1 时, f( x)f(0)0, 即 ex1x, 所以 .又因为当 0x1 时, e x1x, 所以 .
