1、142第三篇 代数系统篇第 3-1 章 代数结构本章将从引入一般代数系统出发，研究如群、环、域等这样一些代数系统，而这些代数系统中的运算所具有的性质确定了这些代数系统的数学结构。3-1-1 代数系统的概念在计算机科学中，常用代数系统去描述机器可计算函数，研究运算的复杂性，分析程序设计语言的语义等。由非空集合和该集合上的一个或多个运算所组合的系统，常称为代数系统，有时简称为代数。在研究代数系统之前，首先考察一个非空集合上运算的概念，如将有理数集合Q上的每一个数 a 的映射成它的整数部分a ；或者将Q上的每一个数a 映射成它的相反数 -a ，这两个映射可以称为集合Q上的一元运算；而在集合Q上，对任
2、意两个数所进行的普通加法和乘法都是集合 Q上的二元运算，也可以看作是将Q中的每两个数映射成一个数；至于对集合 Q上的任意三个数x ， x2 ， x3 ，代数式 x12+x22+x32和x 1+x2+x3分别给出了 Q上的两个三元运算，它们分别将Q中三个数映射成Q中的一个数。上述这些例子有一个共同的特征，那就是其运算的结果都是在原来的集合中，我们称那些具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。相反地，没有这种特征的运算就是不封闭的。很容易举出不封闭运算的例子，设N是自然数集， Z是整数集，普通的减法是NN到 Z的运算，但因为两个自然数相减可以不是自然数，所以减法运算不是自然数集N上的闭运算。定义3
3、-1-1.1 设A和B都是非空集合，n 是一个正整数，若 是A n到B的一个映射，则称 是A到B 的一个 n元运算。当B=A时，称 是A上的n元运算（n-ary operation） ，简称A上的运算。并称该n元运算在A上是封闭的。例3-1-1.1 （ 1）求一个数的倒数是非零实数集R *上的一元运算。（2）非零实数集R *上的乘法和除法都是R *上的二元运算，而加法和减法不是。（3）S是一非空集合， SS是S到S 上的所有函数的集合，则复合运算 是S S上的二元运算。143（4）空间直角坐标系中求点（x ， y， z）的坐标在 x 轴上的投影可以看作实数集R 上的三元运算f (x，y，z)
4、= x，因为参加运算的是有序的3个实数，而结果也是实数。通常用等，等表示二元运算，称为算符。若 f：ss s 是集合 S 上的二元运算，对任意 x,y S,如果 x 与 y 运算的结果是 z, 即 f (x，y ) = z ,可利用运算简记为，x y = z 。类似于二元运算，也可以使用算符来表示 n 元运算。如 n 元运算f（a 1，a 2，a n）= b 可简记为（ a1，a 2，a n）= bn=1 时 （a 1）= b 是一元运算n=2 时 （a 1，a 2）= b 是二元运算n=3 时 （a 1，a 2，a 3）= b 是三元运算这些相当于前缀表示法，但对于二元运算用得较多的还是 a
5、1a2 = b，以下所涉及的 n 元运算主要是一元运算和二元运算。若集合 X=x1，x 2，x n是有限集，X 上的一元运算和二元运算也可用运算表给出。表 3-1-1.1 和 3-1-1.2 分别是一元运算和二元运算的一般形式。 表 3-1-1.1 表 3-1-1.2例 3-1-1.2 设集合 S0，1 ，给出的幂集 P(S）上求补运算和求对称差运算 的运算表，其中全集是 S解 所求运算表如表 3-1-1.3 和表 3-1-1.4 所示。表 3-1-1.3 表 3-1-1.4 S1 S2 SnS1S2SnS1S1 S1S2 S1SnS2S1 S2S2 S2Sn SnS1 SnS2 SnSnSi
6、 （ Si）S1S2Sn(S1)(S2)(Sn)Si （S i）010，10，110 0 1 0，1010,10 1 0，10 0，1 11 0，1 00，1 1 0 144定义 3-1-1.2 一个非空集合 A 连同若干个定义在该集合上的运算f1，f 2，f k 所组成的系统称为一个代数系统（algbraic system） 。记作A，f 1，f 2，f k。如果对集合 S，由 S 的幂集 P（S）以及该幂集上的运算“” 、 “” 、“”组成一个代数系统P （S ） ， S1P（S ） ，S 1 的补集S 1=S-S1 也常记为_1。又如整数集 Z 以及 Z 上的普通加法“+”组成一个系统Z
7、， +。值得注意的是，虽然代数系统有许多不同的形式，但它们可能有一些共同的运算。例如，考察上述代数系统Z，+。很明显，在这个代数系统中，关于加法运算，具有以下二个运算规律，即对于任意的 x， ， ，有(1) x+y=y+x (交换律)(2) (x+y)+z=x+(y+z) （结合律）又如，设 S 是集合， P（S）是 S 的幂集，则代数系统P （S） ，U 和P （S） ，中的、 都适合交换律，结合律，即他们与 Z，+有类似的运算性质。3-1-2 代数系统的运算及其性质对给定的集合，我们可以相当任意地在这个集合上规定运算使它成为代数系统。但我们所研究的是其运算有某些性质的代数系统。在前面考察几
8、个具体的代数系统时，已经涉及到我们所熟悉的运算的某些性质。这一节，主要讨论一般二元运算的一些性质。定义 3-1-2.1 设 是定义在集合 S 上的二元运算，如果对于任意的x，yS，都有 x y=y x，则称二元运算 是可交换的或称运算 满足交换率（commutative law） 。例 3-1-2.1 设 Z 是整数集， ，分别是 Z 上的二元运算，其定义为，对任意的 a， ，a ab a b，a abab，问上的运算，分别是否可交换？解: 因为 ababa = ba a a 对 Z 中任意元素 a，b 成立，所以运算是可以交换的。145又因为对 Z 中的数 0，1，01 = 010+1= 1
9、，10 = 101+0 = 1，所以，0110，从而运算是不可交换的。定义 3-1-2.2 设是定义在集合 S 上的二元运算，如果对于 S 上中的任意元素 x，y，z 都有， （xy）z=x（y z） ，则称二元运算是可以结合的或称运算满足结合律（associative law） 。例 3-1-2.2 设是有理数集合， ，分别是上的二元运算，其定义为，对于任意的 a，b，a a，aba 2b ，证明运算 是可结合的并说明运算不满足结合律。证明： 因为对任意的 a，b，cQ，（ ab） c=ac=aa(bc)=ab=a 所以 （ ab） c= a(bc)，即得运算是可以结合的。又因为对 Q 中的
10、元 0，1（00）1= 01= 02 = 20（01）= 0（2）= 02（2）= 4所以， （00）1 0（01） ，从而运算不满足结合律。对于满足结合律的二元运算，在一个只有该种运算的表达式中，可以去掉标记运算顺序的括号。例如，实数集上的加法运算是可结合的，所以表达式（ x+y） +（ u+v） 可简写为 x+y+u+v。若S，是代数系统，其中是 S 上的二元运算且满足结合律，n 是正整数，aS，那么，aaa a 是 S 中的一个元素，称其为 a 的 n 次幂，记为 a n 。关于 a 的幂，用数学归纳法不难证明以下公式aman=am+n (am)n=amn其中 m，n 为正整数。定义 3
11、-1-2.3 设，是定义在集合 S 上的两个二元运算，如果对于任意的 ， ， S，都有 x（yz）= （xy）（ xz）（y z）x= （yx）（zx ）则称运算对运算是可分配的，也称对运算满足（适合）分配律146（distributive law） 。例 3-1-2.3 设集合 A=0，1，在 A 上定义两个二元运算 和如表 3-1-2.1 和表 3-1-2.2 所示。试问运算 对运算和运算 对运算 分别是否是可分配的？表 3-1-2.1 表 3-1-2.2表 3-1-2.2解： 容易验证运算 对运算是可分配的，但运算 对运算是不满足分配律的。因1（ 01）=11=1 而 （10）（11）=
12、10=0所以，对不满足分配律。定义 3-1-2.4 设和是集合 S 上的两个可交换的二元运算，如果对任意x,yS 的都有 x( xy)=x x(xy )=x则称运算和满足吸收律(absorptive law)。例 3-1-2.4 设 P (S) 是集合 S 上的幂集，集合的并“ ”和交“ ”是P (S)上的两个二元运算，验证运算 和运算 满足吸收律。解： 对任意 A，B P (S)，由集合相等及 和 的定义可得A(A B)=A A (A B)=A因此， 和 满足吸收律。定义 3-1-2.5 设是集合 S 上的二元运算，如果对于任意的 xS，都有xx = x，则称运算 是等幂的，或称运算满足幂等
13、律 (ildempotent law)。例 3-1-2.5 设 Z 是整数集，在 Z 上定义两个二元运算和，对于任意 x , yZ， xy=max(x， y) ； xy =min(x， y)验证运算和都是幂等的解：对于任意的 x Z，有xx=max(x， x)=x ； xx =min(x， x)=x因此运算和运算都是等幂的。定义 3-1-2.6 设是定义在集合 S 上的一个二元运算，如果有一个元素 0 10 0 11 1 0 0 10 0 01 0 1147Sel，使得对于任意元素 xS 都有 xel则称 e l为 S 中关于运算的左幺元(left identiy)；如果有一个元素 r，使对于
14、任意的元 x都有 xer，则称 re为 S 中关于运算 的右幺元（right identity） ；如果 S 中有一个元素 e，它既是左幺元又是右幺元，则称 e 是 S 中关于运算的幺元(identity) 。在整数集 Z 中加法的幺元是 0，乘法的幺元是 1；设 S 是集合，在 S 的幂集 P (S)中，运算 的幺元是 ，运算 的幺元是 S。对给定的集合和运算，有些存在幺元，有些不存在幺元。例如，R *是非零的实数的集合， 是 R*上如下定义的二元运算，对任意的元素 a,bR* ，ab = b 则 R*中不存右幺元；但对任意的 aR*对所有的b R*都有 ab=b所以，R *的任一元素 a
15、都是运算的左幺元，R *中的运算 有无穷多左幺元，没有右幺元和幺元。又如，在偶数集合中，普通乘法运算没有左幺元，右幺元和幺元。定理 3-1-2.1 设是定义在集合 S 上的二元运算， le和 r分别是 S 中关于运算的左幺元和右幺元，则有 e l= e r= e 且 e 为 S 上关于运算的唯一的幺元。证明： 因为 l和 r分别是 S 中关于运算的左幺元和右幺元，所以rllee把 e l= e r记为 e，假设 S 中存在 e1，则有 e1= ee 1= e所以，e 是 S 中关于运算的唯一幺元。定义 3-1-2.7 设是定义在集合 S 上的一个二元运算，如果有一个元lS，使得对于任意的元素
16、xA 都有 lx= l，则称 l为 S 中关于运算的左零元；如果有一元素 rS，对于任意的元素 xS 都有 x r= ，则称 r为S 中关于运算 的右零元；如果 S 中有一元素 ，它既是左零元又是右零元，则称 为 S 中关于运算 的零元(zero.element)。例如，整数集 Z 上普通乘法的零元是 0，加法没有零元； S 是集合，在 S148的幂集 P (S)中，运算 的零元是 S，运算 的零元是 ，在非零的实数集 R*上定义运算，使对于任意的元素 a,bR*，有 a b=a那么，R *的任何元素都是运算的左零元，而 R*中运算没有右零元，也没有零元。定理 3-1-2.2 设 是集合 S
17、上的二元运算， l和 r分别是 S 中运算左零元和右零元，则有 l= r= 且 是 S 上关于运算 的唯一的零元。这个定理的证明与定理 3-1-2.1 类似。定理 3-1-2.3 设S, 是一个代数系统，其中是 S 上的一个二元运算，且集合 S 中的元素个数大于 1，若这个代数系统中存在幺元 e 和零元 ，则e 。证明： (用反证法) 若 e =，那么对于任意的 xS，必有 x = ex = x = = e,于是 S 中所有元素都是相同的，即 S 中只有一个元素，这与 S 中元素大于 1 矛盾。所以，e 。定义 3-1-2.8 设S，是代数系统,其中是 S 上的二元运算，e S是 S 中运算
18、的幺元。对于 S 中任一元素 x，如果有 S 中元素 y l使 y lx = e ，则称 y l为 x 的左逆元；若有 S 中元素 y r使 xy r = e，则称 y r为 x 的右逆元；如果有 S 中的元素 y，它既是 x 的左逆元，又是 x 右逆元，则称 y 是 x 的逆元 (inverse)。例如，自然数集关于加法运算有幺元 0 且只有 0 有逆元，0 的逆元是 0，其它的自然数都没有加法逆元。设 Z 是整数集合，则 Z 中乘法幺元为 1，且只有1 和 1 有逆元，分别是1 和 1；Z 中加法的幺元是 0，关于加法，对任何整数 x，x 的逆元是它的相反数 x，因为( x) x = 0
19、= x （ x） 。例 3-1-2.6 设集合 A=a1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6，定义在 A 上的一个二元运算如表 3-1-2.3 所示，试指出代数系统A，中各元素的左、右逆元的情况149表 3-1-2.3 a1 a2 a3 a4 a5a1 a1 a2 a3 a4 a5a2 a2 a4 a1 a1 a4a3 a3 a1 a2 a3 a1a4 a4 a3 a1 a4 a3a5 a5 a4 a2 a3 a5解： 由表可知，a 1是幺元，a 1的逆元是 a1，a 2的左逆元和右逆元都是a 3，即 a 2和 a 3互为逆元； a 4的左逆元是 a2，而右逆元是 a 3，a 2有两个右逆
20、元a 和 a 4，a 5有左逆元 a 3，但 a 5没有右逆元。一般地，对给定的集合和其上的一个二元运算来说，左逆元、右逆元、逆元和幺元、零元不同，如果幺元和零元存在，一定是唯一的，而左逆元、右逆元、逆元是与集合中某个元素相关的，一个元素的左逆元不一定是右逆元，一个元素的左（右）逆元可以不止一个，但一个元素若有逆元则是唯一的。定理 3-1-2.4 设S，是一个代数系统，其中是定义在 S 上的一个可结合的二元运算，e 是该运算的幺元，对于 x S，如果存在左逆元 yl 和右元素和右元素 yr ，则有yl=yr=y且 y 是 x 的唯一的逆元。证明： y l=y le =y l( xy r)=(y
21、 lx ) y r=ey r=y 令y l=y r=y，则 y 是 x 的逆元，假设 y1S 也是 x 的逆元，则有 y1=y1e =y1 （ xy ） =（ y1x ） y =ey =y所以，y 是 x 的唯一的逆元。由这个定理可知，对于可结合的二元运算来说，元素 x 的逆元如果存在则是唯一的，通常把 x 的唯一的逆元记为 x-1。例如，若 N 和 Z 分别表示自然数集和整数集，为普通乘法，则代数系统150N， 中只有幺元 1 有逆元， Z， 中只有 1 和 1 有逆元，若为普通的加法，则代数系统Z，中所有元素都有逆元。例 3-1-2.7 对于代数系统 Nk， k，其中 k 是正整数，N k
22、=0,1, k-1， k是定义在 N k上的模 k 加法运算，定义如下：对任意的 x，yN ，试问是否每个元素都有逆元？解：容易验证， k是一个可结合的二元运算，N k中关于运算 k的幺元是0，N k中每个元素都有唯一的逆元，即 0 的逆元是 0，每个非零元 x 的逆元是k x。定理 3-1-2.5 设S，是代数系统，其中是 S 上可结合的二元运算，S 有单位元 e，若 S 中的每个元有右逆元，则这个右逆元也是左逆元，从而是该元唯一的逆元。证明： 对任一元素 aS ，由条件可设 b， cS ，b 是 a 的右逆元，c 是 b的右逆元。因为 b （ ab ） =be =b，所以e=b c=(b(
23、 ab ) c=b( (ab ) c )=b( a( bc )=b( ae )=ba因此，b 也是 a 的左逆元从而由定理 3-1-2.4 知，b 是 a 的唯一逆元，由 aS 的任意性知定理成立。若S, 是代数系统，其中是有限非空集合 S 上的二元运算，那么该运算的部分性质可以从运算表直接看出，例如1 当且仅当运算表中每个元素都属于 S 中，运算具有封闭性。2 当且仅当运算表关于主对角线对称时，运算具有可交换性。.,;yxyxk若若1513 当且仅当运算表的主对角线上的元素与它所在行（列）的表头相同时，运算 具有幂等性。4 S 关于运算有幺元 e，当且仅当表头 e 所在的列与左边一列相同且表
24、中左边一列 e 所在的行与表头一行相同。5 S 关于运算有零元 ，当且仅当表头 所在的列和表中左边一列 所在的行都是 。6 设 S 关于运算有幺元，当且仅当位于 a 所在的行与 b 所在的列交叉点上的元素以及 b 所在的行与 a 所在的列交叉点上的元素都是幺元时，a 与 b 互逆元。代数系统S ， 中一个元素是否有左逆元或右逆元也可从运算表中观察出来，但运算是否满足结合律在运算表上一般不易直接观察出来。3-1-3 半群与含幺半群半群及含幺元群是特殊的代数系统，在计算机科学领域中，如形式语言，自动机理论等方面，它们已得到了卓有成效的应用。定义 3-1-3.1 设S, 是一个代数系统，是 S 上的
25、一个二元运算，如果运算是可结合的，即对任意的 x,y,zS，都有 （ xy ） z = x(yz) , 则称代数系统S, 为半群(semigroup)。半群中的二元运算也叫乘法，运算的结果也叫积。由定义易得，N,，N,是半群，其中 N 是自然数集， “” ，“”分别是普通的加法和乘法。 A 是任一集合， P (A)是 A 的幂集，则P (A)，,P (A)，都是半群。例 3-1-3.1 设 S = a,b,c, S 上的一个二元运算 的定义如表 3-1-3.1 所示，验证S, 是半群。表 3-1-3.1 a b ca a b cb a b cc a b c152解： 由表 3-1-3.1 知运
26、算在 S 上是封闭的而且对任意 x1,x2S 有21x，所以S, 是代数系统，且 a,b,c 都是左幺元，从而对任意的 x,y,zS 都有 x(yz)=xz=z=yz=(xy) z 因此，运算 是可结合的， S, 是半群。例 3-1-3.2 设 k 是一个非负整数，集合定义为 Sk = x | x 是整数且 xk，那么 ，S k ，+是半群，其中是普通的加法运算。解： 因为 k 是非负整数，易知运算在 Sk 上是封闭的，而且普通加法运算是可结合的，所以S k ，是半群。易知，代数系统Z,，R-0，/都不是半群，这里 “”和“/”分别是普通的减法和除法。定理 3-1-3.1 设S, 是半群，B
27、是 S 的非空子集，且二元运算 *在 B上封闭的，即对任意的 a,bB 有 a*bB。那么，B, *也是半群。通常称B, *是 S， *的子半群(sub-semigroup)证明： 因为运算*在 S 上是可以结合的，而 B 是 S 的非空子集且 *在 B 是上的封闭的，所以 *在 B 上也是可结合的，因此，B, *是半群。例 3-1-2.3 设表示普通的乘法运算，那么1，1，1，1， 和Z , 都是半群R，的子半群。解： 首先，运算在 R 上是封闭的，且是可结合的，所以 R , 是半群。其次，运算 在 1，1,1,1和 Z 上都是封闭的， 1，1 , 1，1和 Z 都是 R 的非空子集，由定理
28、 3-1-3.1 可知1，1， 、1，1，和Z ，都是 R ，的子半群。定义 3-1-3.2 半群S,中的任一元素 a 的方幂 a n定义为a1=a , a 1n=a a (n 是大于等于 1 的整数)可以证明，对于任意的 aS 和任意正整数 m,n 都有a ma n = a nm(a ) = a若 a 2=a，则称 a 为幂等元素 (idempotent element)。定理 3-1-3.2 设S ， *是半群，若 S 是一有限集，则 S 中有幂等元。153证明： 因为S, *是半群，对于任意 yS 的由运算*的封闭性可知，y 2=y*yS，y 3=y 2*y=y*y 2S，因为 S 是有
29、限集，所以必定存在正整数 i, j 使得 ji 且 y i=y j记 m=j-i，则有 y i=y m*y i从而对任意 ni,y n=y i*y in=y *y iy in=y *y n因为，m1,所以总可以找到 k1，使得 k m i 对于 S 中的元素 y k,就有 y = y m*y k = y *y *y= y 2*y k = y 2* (y *y km) = = y km*y 。所以 a = y m是 S 中的幂等元。定义 3-1-3.3 若半群 S, 的运算满足交换律，则称S, 是一个可交换半群。在可交换半群S, 中，有(ab) = a nb 其中 n 是正整数，a ，b S。定
30、义 3-1-3.4 含有幺元的半群称为含幺半群或独异点（monoid） 。例如，代数系统R , 是含幺半群，其中 R 是实数集，是普通乘法，这是因为R , 是半群，且 1 是 R 关于运算的幺元。另外代数系统1，1， 1，1，和Z , 都是具有幺元 1 的半群。因此它们都是含幺半群。设集合 A = 1 , 2 , 3 ， 则A，是半群但不含幺元。所以它不是含幺半群。例 3-1-3.4 设是非空有限字母表， *是中的有限个字母组成的符号串的集合，符号串中字母的个数 m 叫做这个符号串的长度，当 m = 0 是用符号表示，叫做空串。在 *上定义连接运算“ ”， ， *，则 = 。如，若 =SEMI
31、， =GROUP， =SEMIGROUP。代数系统*，是含幺半群，且幺元是。定理 3-1-3.3 设 S 是至少有两个元的有限集且S ， *是一个含幺半群，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。证明： 设 S 中的关于运算 *的幺元是 e。因为对于任意 a，b S 的且 ab是，总有154e*a=ab=e*b a*e=ab=b*e所以在运算 *表中不可能有两行和两列是相同的。定理 3-1-3.4 设 ,S是含幺半群，对于任意的 Syx,，当 yx,均有逆元时，有（1） x1)( （2） y有逆元，且 11)(xy。证明： （1）因 1x是 的逆元，所以 ex1，从而由逆元的定义及
32、唯一性得 )( 。（2）因为同理可证 eyxy)(1所以，由逆元的定义及唯一性得 11)(xyx。例 3-1-3.5 设 Z是整数集合， m是任意正整数， mZ是由模 的同余类组成的集合，在 m上分别定义两个二元运算+ m 和 m 如下：对任意的 ji, )(odjijim试证明 1时，在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不相同。证明： 考察非空集合 mZ上二元运算+ m 和 m，（1） 由运算+ m 和 m 的定义易得，运算 +m 和 m 在 Z上都是封闭的且都是可结合的，所以， ,， m,都是半群。（2）因 00mii，所以 是 m,中的幺元；因为11mi，所以 是 mZ,中的幺元。
33、由上知，代数系统 m,， ,都是含幺半群。从而由定理 3-1-3.3知， mZ中的两个运算 ， 的运算表的任何两行或两列都是不相同的。ey11)(）（155下面表 3-1-3.2 和表 3-1-3.3 分别给出 4m时， “ 4”和“ 4”的运算表，在这两个运算表中没有两行或两列时相同的。定义 3-1-3.5 设 ,M是含幺半群 ,S的子半群，且 ,S的幺元es，则 ,称为 S的子含幺半群（submonoid） 。由定义可得，子含幺半群也是含幺半群。例 3-1-3.6 代数系统 ,1， ,10， 中运算“ ”如表 3-1-3.4 所示。易得 ,10， 是含幺半群且幺元为 0；,是 ， 的子半群
34、且有幺元 1，从而是含幺半群，但不是 ,， 的子含幺半群。证明： 设 ,S是可换含幺半群且幺元为 e， |2xSxM且 ，因为 e2所以 M又因为对任意 ba,，有baba )()()(所以 从而运算 在 上是封闭的，故 ,是 ,S的子含幺表 3-1-3.2+4 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2表 3-1-3.34 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1表 3-1-3.4 0 1010111156半群。如 ,Z是含幺半群， Z中所有幂等元的集合为 1,0M，所以M是 的子含幺半群。3-1-4
35、群与子群群是一种较为简单的代数系统，只有一个二元运算。当然这一运算还应满足一定的条件。正是由于这些条件使我们能够利用这种运算系统去描述事物的对称性和其他特性。群的理论在数学和包括计算机科学在内的其他学科的许多分支中发挥了重要的作用，本节主要介绍群与子群的一些基本知识。定义 3-1-4.1 设 ,G是一个代数系统，其中 G是非空集合， 是 G上的一个二元运算，如果（1）运算是封闭的；（2）运算是可结合的；（3） ,G中有幺元 e；（4）对每个元素 a， G中存在 a的逆元 1；则称 ,是一个群(Group) 或简称 是群。由定义可得群一定是含幺半群，反之不一定成立。例 3-1-4.1 若集合 g
36、，定义二元运算为 g，则 ,G是半群。事实上，由运算的定义可得， ,G适合群定义的条件（ 1） ， （2） ，又g是 ,G的幺元， 的逆元是 ，所以 ,是群。例 3-1-4.2 有理数集 Q关于普通加法构成群 Q，幺元是 ， Qa，a的逆元是 a；类似地若 Z是整数集，则 ,Z是群；但 ,Z是只含幺元的半群而不是群。例 3-1-4.3 设 ,cbG，二元运算“”由表 3-1-4.1 给出，则是一个群。,G157表 3-1-4.1 a b ca a b cb b c ac c a b事实上， 运算在 G上是封闭的， 是单位元， c1,，但结合律是否成立不易从表上看出，验证适合结合律比较麻烦，需要
37、验证 33=27 次。但是，由于第一行、第一列分别与表头的行列相同，故有 xa，对任意的 x成立。这样，验证结合律的三个元中只要出现 ，则必然是可结合的。因此，我们只要对不包含 a的任意三个元验证可结合性即可，因而只需验证23=8 次。这里，我们只验证一个，其余留作练习。cbc)(a因此， ,G是一个群。定义 3-1-4.2 设 ,是一个群，如果 G是有限集，则称 ,G是有限群(finite group) ， 中的元素个数称为 的阶(order) 记为 ，如果 是无限集，则称 ,G为无限群(infinite group)，也称 的阶为无限。如上面例 3-1-4.1 和例 3-1-4.3 中的群
38、都是有限群，阶数分别为 1 和 3，例 3-1-4.2 中的群 ,Q和 ,Z都是无限群。下面是群的一些基本性质定理 3-1-4.1 在群 ,G中， n个元素的连乘积， na21经任意加括号计算所得的结果相同。证明： 我们证明任意加括号得到的乘积都等于从左到右依次加括号计算所得的结果，即等于 naa )(1321 采用数学归纳法，当 n时，定理显然成立。现在假设对小于或等于 k个元素的连乘积定理成立，则对 k个元素的连乘 121kap，)2(k，对 p任意加括号，不妨设最后时将 )(1ia 与 )(1i 相乘，158下面对 i分三种情况讨论。（1） k，这时按归纳假设有132111 )()( k
39、k aaap （2） i，这时利用结合律和归纳假设可得（3） 1ki 这时 )(11kia 用归纳假设，再对 p 的表达式用结合律和归纳假设，我们有 由数学归纳法原理知定理成立。由这个定理知，在群中 n个元的连乘 na21任意加括号进行计算所得最后结果是一样的，故可以将其简记为 ni而不致误解。特别当aan21时可表示为 na。由定理 3-2-4.1 的证明知，这个定理的结论在半群中成立。与定理 3-1-3.5 类似，我们有以下结论定理 3-1-4.2 设 ,G是群，则 中任意 n个元 na,21 有11121)( aaann，对群中任一元素 ，我们约定e0nn)(1为正整数我们容易得到以下结
40、果定理 3-1-4.3 若 ,G是群，则对 任一元素 a和任意整数 nm,有（1） mnna1321)(kkka 1321111)()( kii kii aaaP 159（2） nma)(定理 3-1-4.4 在群 ,G中成立消去律，即对 Gcba,，（1）若 cb，则 b，（2）若 a，则 。证明：（1）因为 ,是群， ，所以，存在 a的逆元 1，用a从左边乘 cba两边，可得 )()(11caceb所以 。（2）的证明与（1）类似。定理 3-1-4.5 设 ,G是一个群，则对任意的 Gba,有（1）存在唯一的元素 x，使 x；（2）存在唯一的元素 y，使 。证明： 因为 beaba)()(
41、11 ，所以至少有一个Gbax1是满足 x。若 是 G中另一个满足方程 bxa的元素，则 x。由定理 3-1-4.4 知 x1。因此， 1是 G中唯一满 的元素。（2）与（1）同理可证。定理 3-1-4.6 ,G是群， a，则 是幂等元当且仅当 a是 的幺元e。证明： 因为 e，所以 是 的幂等元。现设 a， ，若 a2，则 eae 111)()(与 a矛盾。由定理 3-1-4.4 知，有限群的运算表中，设有两行（或两列）是相同的。为160进一步考察群的运算表的性质，下面引进置换的概念。定义 3-1-4.3 设 S是一个非空集合，从 S到 的一个双射称为 S的一个置换(permutation)
42、。例如 对集合 ,54321， 是 到 的一个映射使得21)(S， 42)(S， 1)(S， 34)(S， 5)(S，则 是 到的一个双射从而是 的一个置换。也可用下表表示 ，5314241SS即表中上一行为按任何次序写出集合 中的全部元素，而在下一行写出上一行相应元素的象。定理 3-1-4.7 有限群 ,G的运算表中的每一行或每一列都可由 G中的元素经一个置换得到。证明： 设有限群 ,21na，由 的运算表的构造知，表中的第i行元素为 1ai， 2i， i，且集合,niiiiG是 G的子集，因为 中消去律成立，所以当lk时， liki，从而 1。作 到 的映射 kikii a)(： ， n,
43、21 。则 i是 G的一个置换，所以 ,G的运算表中的第 行可由 G的元素通过置换 i得到。对列的情形类似可证。现在介绍子群。定义 3-1-4.4 设 ,是一个群， S是 的非空子集，如果 ,S也构成群，则称 ,S是 G的子群(subgroup)。定理 3-1-4.8 设 ,是群 ,的子群，则 的幺元就是 G的幺元，S中任意元 a在 H中的逆元 1Ha 就是 在 G中的逆元 1a。证明： 设 e和 分别是 和 的幺元， He为 在 中逆元，则161eeeHHH1 11 )()(又因为对任意 a，有 1111111 )()( aeaaea HHHH 设 ,G是群， 是 的幺元，由子群的定义可得
44、， G都是 的子群，称为 的平凡子群(trivil subgroup)。若 是 G的子群且 e， ，则称为 的真子群 (proper subgroup)。例 3-1-4.4 ,Z是整数加群， ,2|ZnxZE，证明 ,E是,Z的一个子群。证明： 因为 E0，所以 E；（1） 对于任意的 Zyx,，可设 12nx， 2y， EZn21,，)(221nnyx， 1，所以， x即 在 上是封闭的；（2） 运算 在 EZ上可结合，从而在 EZ上可结合；（3） ,的幺元 0 在 E中也是 ,的幺元；（4） 对与任意 x，有 nx2， ，而 )(2nx Z所以， EZ使 0)(， 是 在 EZ中的逆元，所以,EZ是群，从而是 ,的子群。实际上，群的非空子集构成子群的条件可以简化如下。定理 3-1-4.9 设 ,G是群， S是 的非空子集，则 S关于运算 是,G的子群的充分必要条件是：（2） 对任意的 ba,，有 b；（2）对任意的 S，有 1。证明： 必要性显然成立。162充分性 条件（1）说明运算 在 S上是封闭的；由于 G中的运算 是可结合的，所以 S中运算 是可结合的；对任意 a，由条件（2）知， Sa1，再由条件（1） ae1，易得 e是 ,的单位元， 1是 在 ,中的逆元，所以 ,是群，从而是 G的子群。定理 3-1-4
