1、1. 一边长为 2a 的载流正方形线圈，通有电流 I。试求： (1)轴线上距正方形中心为 r0处的磁感应强度；(2) 当 a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或 10cm 时，B 等于多少特斯拉？解 （1）沿轴向取坐标轴 OX，如图所示。利用一段载流直导线产生磁场的结果，正方形载流线圈每边在点 P 产生的磁感应强度的大小均为: ,式中:由分析可知，4 条边在点 P 的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中 AB 边在 P 点的 B1 方向如图所示。由对称性可知，点 P 上午 B 应沿 X 轴，其大小等于 B1 在 X 轴投影的 4 倍。设 B1 与 X 轴夹角为 则:把 r0=10cm
2、 , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得 B=3.910-7(T)。把 r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得 B=2.810-7(T)。可见，正方形载流线圈中心的 B 要比轴线上的一点大的多。2. 将一根导线折成正 n 边形，其外接圆半径为 a，设导线栽有电流为 I，如图所示。试求：(1)外接圆中心处磁感应强度 B0；(2) 当 n时，上述结果如何？解: （1）设正 n 边形线圈的边长为 b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆心处的感应强度大小相等，方向相同，即：所以，n 边形线圈在 O 点产生的磁感应强度为：因为 2=2/n,=/n，故有：
3、由右手法则， B0 方向垂直于纸面向外。（2）当 n 时， 变的很小，tan ，所以： 代入上述结果中，得：此结果相当于一半径为 a，载流为 I 的圆线圈在中心 O 点产生磁感应强度的结果，这一点在n时，是不难想象的。 3. 如图所示，载流等边三角形线圈 ACD，边长为 2a，通有电流 I。试求轴线上距中心为 r0 处的磁感应强度。解:由图可知，要求场点 P 的合场强 B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边 P 点产生的磁感应强度 Bi ，再将三者进行矢量叠加。由有限长载流导线的磁场公式可知，AC 边在 P 点产生的磁 感应强度 BAC 的大小为：由于ACP 为等腰三角形，且 PC 垂直 AC
4、，即： 代入上述结果中，得：由右手螺旋定则可知，BAC 的方向垂直于 ACP 平面向外，如图所示。由对称性可知，AC，CD，DA 三段载流导线在P 点产生的磁感应强度 BAC、 BCD、BDA 在空间方位上对称，且它们在垂直于 Z 轴方向上的分量相互抵消，而平行于 Z 轴方向上的分量相等，所以：根据等边三角形性质，O 点是ACP 的中心，故: ，并由EOP 可知sin= ,所以 P 点的磁感应强度 BP 的大小为：磁感应强度 BP 的方向沿 Z 轴方向。4. 一宽度为 b 的半无限长金属板置与真空中，均匀通有电流 I0。P 点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为 d。如图所示。试求 P 点
5、的磁感应强度 B。解: 建立坐标轴 OX，如图所示， P 点为 X 轴上一点。整个金属板可视为无限多条无限长的载流导组成，取其任意一条载流线，其宽度为 dx，上载有电流dI=I0dx/b，它在 P 点产生的场强为：dB 的方向垂直纸面向里。由于每一条无限长直载流线 P 点激发上的磁感应强度 dB 具有相同的方向，所以整个载流金属板在 P 点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生的 dB 的代数和，即：BP 方向垂直纸面向里。5. 两根导线沿半径方向引到金属环上的 A、C 两点，电流方向如图所示。试求环中心O 处的磁感应强度。解: 由毕 -萨定律可知，两载流直线的延长线都通过圆心 O，因此她们在
6、O 点产生的磁感应强度为零。图中电流为 I1 的大圆弧在 O 点产生的 B2 的方向垂直纸面向里。应用载流圆线圈在中心处产生磁场的结果 B=0I/2r，可知 B1、B2 的大小为:则 O 点的磁感应强度的大小为:设大圆弧和小圆弧的电阻为 R1、R2，则:有: , 因大圆弧和小圆弧并联，故 I1R1 = I2R2，即: ,代入表达式得B0=0。6. 如图所示，一条无限长导线载有电流 I，该导线弯成抛物线形状，焦点到顶点的距离为 a，试求焦点的磁感应强度 B。解: 本题采用极坐标。用毕-萨定律得电流元 Idl 在焦点 P 处产生的磁感应强度为:, 由于 Idl 与 r 的夹角为 ，由图可知，Idl
7、sin=Ird,所以 dB 的大小为: , 方向由右手螺旋定则可知，垂直纸面向外。由于所有电流元 Idl 在 P 点产生的磁感应强度方向相同，所以 P 点的总产生的磁感应强度为: ,因抛物线的极坐标方程为:, 因此: 7. 如图所示，两块无限大平行载流导体薄板 M、N，每单位宽度上所载电流为 j，方向如图所示，试求两板间 Q 点处及板外 P 点处的磁感应强度 B。解: 无限长载流直导线产生磁感应强度的公式B=0Ir0/2r 可知，M 板 Q 点激发的磁感应强度 BM的大小为： , dBx = -dBcos，dBy = dBsin 由对称性可知：, 设 Q 点到 M 板的垂直距离为a，则：由几何
8、关系可知：a/r=cos,x=tan,dx=ada/cos2，代入上式：BM 的方向沿 X 轴方向，因此，Q 点的磁感应强度 BM+BN=0，采用同样的方法得，M 板在 P点产生磁感应强度为：N 板在 P 点产生磁感应强度为： ,表明在 P 点两块板产生磁感应强度相同，所以 P点的 B 为 B = BM+BN= -0ji， B 的方向沿 X 轴负向。8. 如图所示，通有电流强度为 I 的细导线，平行的、紧密的单层缠绕在半个木球上，共有 N 匝，设木球的半径为 R，试求球心 O 点处的磁感应强度。解: 由图可知，绕有载流导线的木球可看成是有无限多个不同半径的同心载流圆线圈组成，球心 O 在载流圆
9、线圈的轴线上，则球心 O 点的磁感应强度 B0 是各个载流圆线圈在该点激发的磁感应强度的矢量和。如图坐标系OXY，在 X 轴线上距原点 Ox 处任取一弧宽为 dl 的圆环，半径为 y，圆环上绕有 dN 匝导线，即：通过该圆环上的电流 dI=IdN=2INd/ ,由载流线圈在轴线上任意一点产生的磁感应强度公式，可知 dI 在 O 点激发的磁感应强度 dB 大小为：dB 的方向沿 X 轴正向。由几何关系：x=Rsin,y=Rcos,带入上式得：由于所有载流线圈在 O 点激发的 B 方向相同，故 O 点总的磁感应强度可由矢量积分简化为标量积分，即：B0 的方向沿 X 轴正向。 9.均匀带电的球面绕着
10、它的某一直径作匀速旋转。试求在该球面上各点的磁感应强度 B.解: 如图所示，均匀带电的球面绕沿 X 轴的直径以角速度 旋转。球面上任意面元所带电荷因旋转而形成电流。将球面分成许多环状球带，每一球带因旋转而形成的电流在 X 轴上任意一点P 处都将产生磁感应强度 dB。设球面半径为 R，面电荷密度为 ，绕沿 X 轴的直径以角速度为 旋转，球心在原点 O。取从 到（+d）的环状球带，其面积为 dS=2rdl=2rRd，所带电量为 dQ=dS=2Rrd，由于旋转，该球带上电荷形成沿环状带流动的电流，电流强度为 dI=dQ/T ,T 为旋转周期，故：dI=dQ/2=2Rrd/2=Rr d设该环状球带的中
11、心位于 x 处，则：x=Rcosdx= -Rsind = -rd因此，dI 可表为 dI = -Rdx，该环状球带 dI在直径上任意一点 P 点产生的 dB 为：, 式中 i 是 X 轴方向的单位矢量，式中的 r 为 r2 = R2 x2，把 r2 和 dI 的表达式带入，得： , 因 取值从 0 到，相应的 x 从 R 到-R，故式中 dx 为负值，若 0 则 dB 与 I 同方向。场点 P 总的磁感应强度为：式中： , 故： , 由于 BP 与直径上各点 P 的位置无关，所以在作为转轴的直径上磁感应强度 B 处处相同。10. 真空中有两点电荷q，相距为 3d ，她们都以角速度 绕一与两点电
12、荷连线垂直的轴转动，+q 到轴的距离为 d。试求转轴与电荷连线交点处的场强 B。解: 设转轴与电荷连线交点为 O。根据运动电荷产生磁场公式，可知+q 在 O 处产生的磁感应强度为：, 方向由右手法则可知与 相同。同理，-q 在 O 处产生的磁感应强度为： , 方向由右手法则可知与 相反，则由场叠加原理，得 O 点的总磁感应强度为： , B 的方向与 相同。11. 一边长为 a=0.1m，带电量为 q=1.010-10C 的均匀带电细棒，以速度 v=1.0m/s 沿 X轴正方向运动。当运动到与 Y 轴重合时，细棒的下端到原点 O 的距离为 l=0.1m，如图所示。试求此时坐标原点 O 处的磁感应
13、强度 B。解: 均匀带电细棒运动时，将产生磁场。在均匀带电细棒上，纵坐标为 y 处取一线元dy，该线元上的带电量为 dq=dy=qdy/a,根据运动电荷产生磁场公式可知，dq 在 O 点产生的磁感应强度的大小为:方向垂直于纸面向里。带电细棒在 O 点产生的磁感应强度的大小为:方向垂直于纸面向里。12.如图（a）所示的电缆，由半径为 r1 的导体圆柱和同轴的内外半径为 r2 和 r3 的导体圆桶构成。电流 I0 从导体圆柱流入，从导体圆桶流出，设电流都是均匀分布在导体的横截面上，以 r 表示到轴线的垂直距离。试求 r 从 0 到的范围内各处的磁感应强度。 解: 取电缆的中央轴为 Z 轴，把电缆中
14、的电流分解为一系列与 Z 轴平行的无限长直流导线。这些载流导线在空间各点产生的磁场均无 z 分量，因此电缆电流在空间的磁场也无 z 分量。若电缆电流的磁场有径向分量 Br，则由对称性，在任意以 Z 轴为中央轴，以 r 为半径的柱面上各点的 Br 应相同。取相应的柱形高斯面，如图（b）所示，则有:因 B 无 z 分量，故等式右边前两项为零，于是: ，由高斯定理可知:，h 所以 Br=0。即电缆电流的磁场无径向分量。在半径为 r 的周围上各点的 B 大小相同，记为 B(r),B(r)的方向沿切向，如图（c）所示。去积分环路 L，由安培环路定理可知 : ，若 0rr1,则: 故: ；若 r1rr2,
15、则: ；若 r2rr3,则: ; 若 r r3,则:结果表明，在电缆电流的外部，磁感应强度 B 为零，磁场被约束在电缆内部。13. 如图所示，为均匀密绕的无限长直螺线管的一端，半径为 R，O 点为该端面的中心，已知螺线管单位长度上的线圈匝数为 n，通过电流为 I。试求；端面近中心处的磁感应强度 B 的轴向分量和径向分量。解: 取坐标系如图。螺线管中心轴线上靠近端面中心的 P 点，设 OP=z0）的磁感应强度 B2 。解: 根据题意选择坐标系，如图所示。设无限大载流平面在其两侧激发的磁感应强度分别为 B1和 B2，由于系统具有面对称性，由安培环路定理可知: , B1 的方向沿 Y 轴负方向，B2 的方向沿 Y 轴正方向。设原来匀强磁场的磁感应强度为:B1=B0+B1,所以:B0=B1-B1=B1k+1/20j0j0,同理可得，载流平面下方（z0）的磁感应强度为:B2=B0+B2=(1/20j0+1/20j0)j+B1k=0j0j+ B1k,代入相应数值，得：B2 与 Y 轴夹角为：
