1、 1 / 342014 高考复习数学一 集合与简易逻辑 一、学习指导1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x 2，表示非负实数集，点集(x，y)|y=x 2表示开口向上，以 y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+=0，1，2，3，；描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用 或 表示；（2）集合与集合的关系，用 ， ，=表示，当 A B 时，称 A 是 B 的子集；当 A B 时，称 A 是 B 的真子集。3、集合运算
2、（1）交，并，补，定义：AB=x|xA 且 xB，AB=x|xA，或 xB，C UA=x|xU，且 x A ，集合 U 表示全集；（2）运算律，如 A（BC）=（AB）（AC） ，C U（AB）=（C UA）（C UB） ，CU（AB）=（C UA）（C UB）等。4、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p 且 q，p 或 q，非 p；（3）复合命题的真假：对 p 且 q 而言，当 q、p 为真时，其为真；当 p、q 中有一个为假时，其为假。对p 或 q 而言，当 p、q 均为假时，其为假；当 p、q 中有一个为真时，其为真；当 p 为真时，非 p
3、为假；当 p为假时，非 p 为真。（3）四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非 p 则非 q”，逆命题为“若 q 则 p“，逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。1、充分条件与必要条件（1）定义：对命题“若 p 则 q”而言，当它是真命题时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，当它的逆命题为真时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件，两种命题均为真时，称 p 是 q 的充要条件；（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充
4、分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A，满足条件 q 的所有对象组成集合 q，则当 A B 时，p 是 q 的充分条件。B A 时，p 是 q 的充分条件。 A=B 时，p 是 q 的充要条件；（3）当 p 和 q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想。2、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题例 1、已知集合 M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求 MN。解题思路分析：在集合运算之
5、前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M=y|y=x 2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1说明：实际上，从函数角度看，本题中的 M，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合2 / 34y|y=f(x)，xA应看成是函数 y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合（x，y）|y=x2+1，xR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线 y=x2+1 上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例y|y1=x|x1。四、同步
6、练习（一）选择题1、设 M=x|x2+x+2=0，a=lg(lg10)，则a与 M 的关系是A、a=M B、M a C、a M D、M a2、已知全集 U=R，A=x|x-a|0 时，f(x)1，且对任意的 a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R 上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。分析：（1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2 f(0)0 f(0)=1（2）令 a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) )x(f1由已知 x0 时，f(x)1
7、0当 x0，f(-x)0 0)(f又 x=0 时，f(0)=10 对任意 xR，f(x)0（3）任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 )(f)(f)(f1 f(x 2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数（4）f(x)f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增 由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 0bc B、acb C、bca D、cba2、方程 （a0 且 a1）的实数解的个数是x)2(logA、0 B、1 C、2 D、33、 的单调减区间是|x1)yA、 （-，1） B、 （1，+） C、
8、（-，-1）（1，+） D、 （-，+）5、函数 的值域为)4(log2A、 （-，3 B、 （-，-3 C、 （-3，+） D、 （3，+）（二）填空题6、已知定义在 R 的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，且当 0x1 时，f(x)=x，则 =_。)215(f7 已知 y=loga(2-x)是 x 的增函数，则 a 的取值范围是_。8 函数 f(x)定义域为1，3，则 f(x2+1)的定义域是_。9、函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)，且 f(0)=3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是_。10 已知 f(x)=log3x+3，x1，9，则
9、 y=f(x)2+f(x2)的最大值是_。三 -数 列一、复习要求6、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式及性质；2、一般数列的通项及前 n 项和计算。二、学习指导1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。研究数列，首先研究对应法则通项公式：a n=f(n)，nN +，要能合理地由数列前 n 项写出通项公式，其次研究前 n 项和公式 Sn：S n=a1+a2+an，由 Sn定义，得到数列中的重要公式： 。2S1a
10、1一般数列的 an及 Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求 Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列（1）定义，a n为等差数列 an+1-an=d（常数） ，nN + 2an=an-1+an+1（n2，nN +） ；（2）通项公式：a n=an+(n-1)d，a n=am+(n-m)d；前 n 项和公式： ；2)a(d2)1(Sn11（3）性质：a n=an+b，即 an是 n 的一次型函数，系数 a 为等差数列的公差；Sn=an2+bn，即 Sn是 n 的不含常数项的二次函数；若a n，b n均为等差数列，则a nnn, ,kan+c（k，c 为常数）均为等差数列；k
11、1i当 m+n=p+q 时，a m+an=ap+aq，特例：a 1+an=a2+an-1=a3+an-2=；当 2n=p+q 时，2a n=ap+aq；当 n 为奇数时，S 2n-1=(2n-1)an；S 奇 = a 中 ，S 偶 = a 中 。13、等比数列（1）定义： =q（q 为常数，a n0） ；a n2=an-1an+1（n2，nN +） ；n1（2）通项公式：a n=a1qn-1，a n=amqn-m;前 n 项和公式： ；1q)(116 / 34（3）性质当 m+n=p+q 时，a man=apaq，特例：a 1an=a2an-1=a3an-2=，当 2n=p+q 时，a n2=
12、apaq，数列ka n， 成等比数列。ki4、等差、等比数列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；（3）若a n为等差数列，则 为等比数列（a0 且 a1） ；na若a n为正数等比数列，则log aan为等差数列（a0 且 a1） 。三、典型例题例 1、已知数列a n为等差数列，公差 d0，其中 ， ， 恰为等比数列，若1ka2nkak1=1，k 2=5，k 3=17，求 k1+k2+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手设a n首项为 a1，公差为 d a 1，a 5，a
13、 17成等比数列 a 52=a1a17（a 1+4d） 2=a1(a1+16d) a 1=2d设等比数列公比为 q，则 3ad41n5对 项来说，nk在等差数列中： 1k2k)(an在等比数列中： n 321n n)31(2)3()13()2( 11n0n1 注：本题把 k1+k2+kn看成是数列k n的求和问题，着重分析k n的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法” 。例 2、设数列a n为等差数列，S n为数列a n的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75,Tn为数列 的前 n 项S和，求 Tn。解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设a n首项为 a1，公差为 d
14、，则 75d214a5S671 d21 )(S 25n此式为 n 的一次函数 为等差数列 4a1T2法二：a n为等差数列，设 Sn=An2+Bn 75BAS2157解之得： ，下略n注：法二利用了等差数列前 n 项和的性质例 3、正数数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，求：1a2n（1）数列a n的通项公式；（2）设 ，数列b n的前 n 项的和为 Bn，求证：B n .1ab 2解题思路分析：（I）涉及到 an及 Sn的递推关系，一般都用 an=Sn-Sn-1（n2）消元化归。 4S n=(an+1)2 4S n-1=(an-1+1)2（n2）7 / 34 4(S n-Sn-1)=(a
15、n+1)2-(an-1+1)2 4a n=an2-an-12+2an-2an-1整理得：(a n-1+an)(an-an-1-2)=0 a n0 a n-an-1=2 a n为公差为 2 的等差数列在 中，令 n=1， a1=11S2 a n=2n-1（II） )1n2()n(b 21a)a1(2a(aaB nn321 注：递推是学好数列的重要思想，例本题由 4Sn=(an+1)2推出 4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用 n-1，n+1 等去代替 n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于 n 的恒等式，代换就是对 n 赋值。例 4、等差数列a n中
16、，前 m 项的和为 77（m 为奇数） ，其中偶数项的和为 33，且 a1-am=18，求这个数列的通项公式。分析：利用前奇数项和和与中项的关系令 m=2n-1，nN +则 3a)1n(S72n偶 n=4 m=7 a n=11 a 1+am=2an=22又 a1-am=18 a 1=20，a m=2 d=-3 a n=-3n+23例 5、设a n是等差数列， ，已知 b1+b2+b3= ，b 1b2b3= ，求等差数列的通项 an。na)21(b8解题思路分析： a n为等差数列 b n为等比数列从求解b n着手 b 1b3=b22 b 23= 8 b 2= 471 或 32b81 或 n31
17、n)(5n214 a2b log a n=2n-3 或 a n=-2n+5注：本题化归为b n求解，比较简单。若用a n求解，则运算量较大。例 6、已知a n是首项为 2，公比为 的等比数列，S n为它的前 n 项和，1（1）用 Sn表示 Sn+1；（2）是否存在自然数 c 和 k，使得 成立。2ck解题思路分析：（1） )21(4nn （2） （*）0Sc)23(cSkk1 )(8 / 34 0S21)S23(kk 式（*） c S k+1Sk 1又 Sk0，d= l a n是递减数列，且 Sn必为最大值设 0k )2lg(0 .134 k=14 (S n)max=S14=14.35四、同步
18、练习（一）选择题1、已知 a，b，a+b 成等差数列，a，b，ab 成等比数列，且 01 B、18 D、082、设 a0，b0，a，x 1，x 2，b 成等差数列，a，y 1，y 2，b 成等比数列，则 x1+x2与 y1+y2的大小关系是9 / 34A、x 1+x2y 1+y2 B、x 1+x2y 1+y2C、x 1+x2y1+y27、已知 Sn是a n的前 n 项和，S n=Pn（PR，nN +） ，那么数列a nA、 是等比数列 B、当 P0 时是等比数列C、 当 P0，P1 时是等比数列 D、不是等比数列8、a n是等比数列，且 an0，a 2a4+2a3a5+a4a6=25，则 a3
19、+a5等于A、5 B、10 C、15 D、209、已知 a，b，c 成等差数列，则二次函数 y=ax2+2bx+c 的图象与 x 轴交点个数是A、 0 B、1 C、2 D、1 或 210、 设 mN +，log 2m 的整数部分用 F(m)表示，则 F(1)+F(2)+F(1024)的值是A、 8204 B、8192 C、9218 D、8021四 -三角函数一、复习要求11、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。二、学习指导1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于 3600的
20、角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在 x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同） 。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边 相同的角，都可以表示成 k3600+ 的形式，特例，终边在 x 轴上的角集合|=k180 0，kZ，终边在 y 轴上的角集合|=k180 0+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|=k90 0，kZ。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|R，扇形面积公式 ，其中
21、 为弧所对圆心角的弧度数。|R21S2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设 P(x，y)是角 终边上任一点（与原点不重合） ，记 ，则 ， ，2yx|OPrrysinrxcos， 。xytancot利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即 与 之间函数值关系（kZ） ，其规律是t2k“奇变偶不变，符号看象限” ；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2=2
22、cos 2-1=1-2sin 2，变形后得 ，可以2cos1sin,2co1cs22 作为降幂公式使用。三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T 为非零常数，若对 f(x)定义域中的每一个 x，均有 f(x+T)=f(x)，则称 T 为 f(x)的周期。当 T 为 f(x)周期时，kT（kZ，k0）也为 f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法（1）等价变换。熟练运
23、用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；（2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；（3）分类讨论。三、典型例题例 1、 已知函数 f(x)= )xcos(inlog21（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性。分析：10 / 34（1）x 必须满足 sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及 ，kZ45k2x4k2 函数定义域为 ，kZ)45k2,( xsincosin 当 x 时，,4k2 1)4xsin(0 xi0 1lgy21 函数值域为 ）,（3） f(x)定义域在数轴上对应 的点关于原点不对称 f(
24、x)不具备奇偶性（4） f(x+2)=f(x) 函数 f(x)最小正周期为 2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分 sinx-cosx 的符号；以、象限角平分线为标准，可区分 sinx+cosx 的符号，如图。例 2、 化简 ，（，2）)cos1(2sin1分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 222 )cos(in2incisin1 cos4)1os1()co(2 原式= | （，2） ),( 02cs当 时，234902cossin 原式= in当 时，,3 原式= )artni(5cos 原式= 23)2artni(52注：1、本题利用了“1”的逆代技
25、巧，即化 1 为 ，是欲擒故纵原则。一般地有2cossi， ， 。|csin|si |cs1 |sin|12、三角函数式 asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为 （取)xsin(ba2）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的 sincosx，sinx cosx，要熟练掌握变形结abrct 3论。例 3、 求 。00202 1sin)4cos1sin3(分析：原式= 4o160sin21680cosin28ii10sin2i( )43(002 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例 4、已知 000，0） ，在一个周期
26、内，当 x= 时，y max=2；当 x= 时，y min=-2，则885此函数解析式为A、 B、)42xsin(y )4x2sin(yC、 D、 4、已知 =1998，则 的值为ta1ta2secA、1997 B、1998 C、1999 D、200012 / 345、已知 tan，tan 是方程 两根，且 ， ，则 + 等于04x32)2,(A、 B、 或 C、 或 D、3232五 -平面向量一、复习要求13、 向量的概念；2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用二、学习指导1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法有向线段表
27、示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义共线；定比分点基本图形起点相同的三个向量终点共线等。14、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言+ =OABC- =记 =(x1,y1)， =(x1,y2)OAB则 + =(x
28、1+x2,y1+y2)- =（x 2-x1,y2-y1）加法与减法+ =实数与向量的乘积= aR记 =(x,y)a则 =(x,y)两个向量的数量积 =| | |abcos记 =(x1,y1), =(x2,y2)b则 =x1x2+y1y215、 运算律加法： + = + ，( + )+ = +( + )ababcabc实数与向量的乘积：( + )= + ；(+) = + ，( )=() aaa两个向量的数量积： = ；( ) = ( )=( )，bb( + ) = + c说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(
29、 )2=ab2a16、 重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果 + 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 ，1ea有且只有一对数数 1， 2，满足 = 1 + 2 ，称 1 + 2 为 ， 的线性组合。ee1e2根据平面向量基本定理，任一向量 与有序数对( 1, 2)一一对应，称( 1, 2)为 在基底 ， 下a a1e2的坐标，当取 ， 为单位正交基底 ， 时定义( 1， 2)为向量 的平面直角坐标。eij a向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则=（ x,y） ；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标
30、，即若 A（x 1,y1） ，B（x 2,y2） ，OAAB则 =(x2-x1,y2-y1)B（2）两个向量平行的充要条件符号语言：若 ， ，则 =ab0ab坐标语言为：设 =（x 1,y1） ， =(x2,y2)，则 (x1,y1)=(x 2,y2)，即 ，或 x1y2-21yx2y1=0在这里，实数 是唯一存在的，当 与 同向时，0 ；当 与 异向时，0 ，0则 = +O | |=| |=1AB =| |，=| |EDOEC 中，E=60 0，OCE=75 0，由 得：00045sin|C6i|O75sin|6)23(56sin7C| 4| ,)23(5 B3OAO说明：用若干个向量的线性
31、组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例 2、已知ABC 中，A（2，-1） ，B（3，2） ，C（-3，-1） ，BC 边上的高为 AD，求点 D 和向量 坐标。A分析：用解方程组思想设 D（x，y） ，则 =（x-2， y+1）14 / 34 =（-6，-3） ， =0BCADBC -6(x-2)-3(y+1)=0，即 2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， D -6(y-2)=-3(x-3)，即 x-2y+1=0 由得： 1yx D（1，1） ， =（-1，2 ）例 3、求与向量 = ，-1）和 =（1， ）夹角相等，且模为 的向量 的坐标。 a3
32、(b32c分析：用解方程组思想法一：设 =（x，y） ，则 = x-y， =x+ yccc =ab | 33即 )2(又| |=c x 2+y2=2 由得 或 （舍）13y213yx = ),(法二：从分析形的特征着手 | |=| |=2ab =0 AOB 为等腰直角三角形，如图 | |= ，AOC=BOCOC2 C 为 AB 中点 C（ ）13,说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析 图中的几何性质可以简化计算。例 4、在OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N，使| |=13 ，| | |=14，设线段OMAONBAN 与 BM 交于点P，记 = ， = ，用 ， 表示向量 。a
33、babOP分析： B、P、M 共线 记 =s a)s1(3bsA)s1(3ss1s同理，记PNtA = Ob)t(4a , 不共线b 由得 解之得：)t1(s338t29 218说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如 s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于 s，t 的方程。例 5、已知长方形 ABCD，AB=3，BC=2，E 为 BC 中点，P 为 AB 上一点（1）利用向量知识判定点 P 在什么位置时，PED=45 0；（2）若PED=45 0，求证：P、D、C、E 四点共圆。分析：利用坐标系可以确定点 P 位置如图，建立平面直角坐
34、标系则 C（2，0） ，D（2，3） ，E（1，0）设 P（0，y） =（1，3） ， =（-1，y）E |P,| 215 / 34 =3y-1EDP代入 cos450= |E|解之得 （舍） ，或 y=221y 点 P 为靠近点 A 的 AB 三等分处（3）当PED=45 0时，由（1）知 P（0，2） =（2，1） ， =（-1，2） =0ED DPE=90 0又DCE=90 0 D、P、E、C 四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论。四、同步练习（一） 选择题1、平面内三点 A（0，-3） ，B（
35、3，3） ，C（x，-1） ，若 ，则 x 的值为：ABCA、 -5 B、-1 C、1 D、52、平面上 A（-2，1） ，B（1，4） ，D（4，-3） ，C 点满足 ，连 DC 并延长至 E，使| |= |21 C41|，则点 E 坐标为：DA、 （-8， ） B、 （ ） C、 （0，1） D、 （0，1）或（2， ）353,8 312、点（2，-1）沿向量 平移到（ -2，1） ，则点（-2，1）沿 平移到：a a3、A、 （2，-1） B、 （-2，1） C、 （6，-3） D、 （-6，3）4、ABC 中，2cosBsinC=sinA，则此三角形是：A、 直角三角形 B、等腰三角形
36、 C、等边三角形 D、以上均有可能5、设 ， ， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：abc( ) -( ) =0ab| |-| |b bb，bc，则 ac；（3）可加性：ab a+cb+c，此法则又称为移项法则；（4）可乘性：ab，当 c0 时，acbc；当 cb，cd，则 a+cb+d；（2）正数同向相乘：若 ab0，cd0，则 acbd。特例：（3）乘方法则：若 ab0，nN +，则 ；nba（4）开方法则：若 ab0，nN +，则 ；1n（5）倒数法则：若 ab0，ab，则 。a掌握不等式的性质，应注意：16 / 34（1）条件与结论间的对应关系，如是“ ”符号还是“ ”符号；（2
37、）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得 a2+b22ab（a，bR） ，该不等式可推广为a2+b22|ab|；或变形为|ab| ；2ba当 a，b0 时，a+b 或 ab .在具体条件下选择适当的形式。3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。4、 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式
38、的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。三、典型例题例 1、 已知 f(x)=ax2-c，-4f(1)-1，-1f(2)5，试求 f(3)的取值范围。分析：从条件和结论相互化归的角度看，用 f(1)，f(2)的线性组合来表示 f(3)，再利用不等式的性质求解。设 f(3)=mf(
39、1)+nf(2) 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c 1nm94 385 f(3)= )2(f -4f(1)-1，-1f(2)5 , 5)(f038)(f340 -1f(3)20说明：1、本题也可以先用 f(1)，f(2)表示 a，c，即 a= f(2)-f(1)，c= f(2)-4f(1)，然后代入 f(3)，131达到用 f(1)，f(2)表示 f(3)的目的。2、本题典型错误是从-4a-c-1，-14a-c5 中解出 a，c 的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c 的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不
40、等价变形。17、 本题还可用线性规划知识求解。例 2、 设 a0，b0，求证： 。ab分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= ab)()a1b)(baba 0)(2 左右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 baa2 两式相加得： ba例 3、 设实数 x，y 满足 y+x2=0，00，y0，a0 由 0 得 y-b0ba x+y 2当且仅当 ，即 时，等号成立1yxabxy途径二：令 ， ， （0， ）2cos2sinb2 ，2eac x+y= 2cotbtn)t()tn(
41、 ab2当且仅当 时，等号成立说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。例 5、已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b（1）解关于 a 的不等式 f(1)0；（2）当不等式 f(x)0 的解集为（-1，3）时，求实数 a，b 的值。分析：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a 2+6a+b-3 f(1)0 a 2-6a+3-b0 的解集为 ；当 b-6 时， 6b3a6b3 f(1)0 的解集为 a|x（2） 不等式-3x 2+a(6-a)x+b0 的解集为（-1，3） f(x)0 与不等式(x+1)(x-3)1-(|a|+|b|)1-1=0f(-1)=1-a+b1-(
42、|a|+|b|)0又 00 |a 时，设 m=a+x（x0） ，乘坐起步价为 10 元的出租车费用为 P(x)元，乘坐起步价为 8 元的出租车费用为 Q(x)元，则 P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) 当 x0 时，P(x)Q(x)，此时选起步价为 8 元的出租车比较合适当 x=10 时，此时两种出租车任选七 -直线和圆的方程一、复习要求直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。、直线和圆位置关系的研究。二、学习指导2、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借
43、助于平面直角坐标系，形和数可以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。当曲线 C 和方程 F(x， y)=0 满足如下关系时：曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x，y)=0 的解；以方程 F(x，y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上，则称曲线 C 为方程 F(x，y)=0 表示的曲线；方程 F(x，y)=0 是曲线 C 表示的方程。从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线 C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法。2、
44、直线的倾斜角 和斜率 k 是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan，0， ，当 = 时，直线斜率不存在，否则由 求出唯一的 k 与之对应。),2()2当已知 k，求倾斜角 时：k0 时，=arctank；k0 或 Ax0+By0+C0（或0。圆方程常见形式：（1）标准式：(x-a) 2+(y-b)2=R2（R0） ，其中（a，b）为圆心，R 为半径；（2）一般式：x 2+y2+Dx+Ey+F=0；（3）参数式：(x-a) 2+(y-b)2=R2（R0）的参数式为：x=a+Rcos，y=b+Rsin，其中 为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。求圆方程的原理与求
45、直线方程完全类似。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（法） 。6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上，理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。7、本章主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。三、典型例题例 1、已知定点 P（6，4）与定直线 1：y=4x，过 P 点的直线与 1交于第一象限 Q 点，与 x 轴正半轴交于点 M，求使OQM 面积最小的直线方程。分析：直线是过点 P 的旋转直线，因此是选其斜率 k 作为参数，还是选择点 Q（还是 M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选 k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设 Q（x 0，4x 0） ，M（m，0） Q，P，M 共
