1、高中立体几何改革的回顾与前瞻22 中学数学教学参考2o09 年第 3 期 U 二旬)1 高中立体几何改革的回顾薛彬(人民教育出版社中学数学室)长期以来,高中立体几何教材采用“形到形“ 的推理论证方法,这样的安排对于培养学生的推理论证能力和空间想象能力十分有益.但一步一步地推理过程,很多学生掌握起来比较困难.1996 年全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)提出从 9(A)和 9(B)两个方案中选一个执行,后者引入空间向量,并利用空间向量解决立体几何问题.根据大纲编写的教材列举了许多运用向量解几何题的例子,并归纳出利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知向
2、量,然后通过向量运算进行计算或证明.关于空间向量有一个重要的定理,即空间向量基本定理.其内容如下:如果三个向量 n,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组,使 p一嬲+翘.由此可知上面所说的向量运算可以归结为三个不共面向量的运算.这样,学习 9(B)内容的学生就掌握了解决立体几何问题的两种方法“形到形“ 的推理方法与向量法.1996 年的改革把向量引进高中立体几何课程,为进一步的改革奠定了基础.2003 年普通高中数学课程标准(实验)(以下简称“ 课程标准“)在必修课程中安排了立体几何初步,在选修课程中安排了空间向量与立体几何.课程标准明确要求:能用向量语言表述线线,
3、线面,面面的垂直,平行关系;能用向量方法解决线线,线面,面面的夹角的计算问题.关于上述内容有下面一些结论:设直线 l,m 的方向向量分别为 n,b,平面 a,的法向量分别为 lI,v,则线线平行 Ill 臼 n/b,线面平行 z/a 甘 n 上 IS,面面平行口H,线线垂直 f 上 mC=a 上 b,线面垂直 z 上 aC=a/ll,面面垂直 a 上 H 上,线线夹角 z,的夹角为 (0-芸_),COS0ln?bl一_玎线面夹角 z,a 的夹角为 0(o詈),sin一 ln?lIl 一丌二面角 a,所成二面角的平面角为 0(00,ICOSol 一 (需要根据具体问题确定是ll,的夹角,还是 l
4、l,的夹角的补角).这样就把线面关系问题转化为直线的方向向量与平面的法向量的问题,进一步明确了解决问题的方向,这一点我们结合后面的问题加以说明.可以看到,高中立体几何改革是一个渐进的过程,既保留了传统推理论证的内容,又不断充实了向量的内容.保留传统推理论证的内容有助于培养学生的空间想象能力与推理论证能力.引进向量方法,可以开阔学生的眼界,对于比较困难的问题(如不容易发现需添加的辅助线),则可尝试用向量方法解决.2 高中立体几何改革的思考我们通过分析下面的问题,看看上述改革给解决立体几何问题带来哪些变化.问题(2007 年高考数学全国卷理科第 19 题)如图 1,在四棱锥 S,-ABCD 中,底
5、面 AB 一以 1.CD 为正方形,侧棱 SD 上底面ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点.(I)证明:EF 平面 SAD;(II)设 SD=2DC,求二面角 A_ED 的大小.解法 1:运用推理论证方法.(I)如图 2,作 FG/DC,交 SD 于 G 点,则 G 点为 SD 的中点.连结 AG.进而证明 EF/AG,从而证得 EF/平面 SAD.教学时空学谈教论.酷书一荸分天一1【n诹田一.教囊 0 羔|.教设单*_“|lt_论教设等(U)取 AG 的中点 H,连结DH,可证得 DH 上平面 AEF.取 EF 的中点 M,连结 MH,DM.证明 DMH 是二面角 AEF-D 的平面
6、角,并求 DMH的大小.解法 2:运用向量方法.(工)如图 3,建立空间直角坐杯系 D-xyz.设 ADa,SDb,则 A(a,0,0),E(n,号,0),F(0,a,b),商一(一 n,o,b).取 SD 的中点 G(O,0,b),则一(一圳,导 ).由商 =A-*一*一 t“一 t 一一 tr曳嚏捂崤赦氇参亳 J29 年嬖期止旬)AEB图 2得 EF AG,从而证得 EF平面 SAD.(II)不妨设 AD 一 1,SD=2,则 A(1,0,0),E(1,丢,0),F(0, 丢,1),亩一(一 1,o,1).取 EF 的中点 M(1,1,丢).由?E-=O, 得 MDJEF.由E-T;?商一
7、 o,得 EA_LEF.向量和的夹角等于二面角 AEF-D 的平面角,求出这个夹角即可.可以看到:对于第(I 问,两种解法的难点在于在平面SAD 内找到 AG.如果从直线的方向向量,平面的法向量的有关结论出发,证明 EF平面 SAD,只要证明 EF_l_平面 SAD 的法向量即可.在本题中,=(0,n,0)是平面 SAD 的法向量 .由? 商一 o,得上赢,所以 EF/平面 SAD.对于第(11)问 ,解法 l 要作出所求角 ,解法 2 要在两个平面内各找出一条与 EF 垂直的直线.如果从平面的法向量的有关结论出发,可先求出两个平面的法向量的夹角.设与,都垂直的向量的坐标为(,Y,2),则f1
8、=o,.一由此可得 z=z,一 o.卜_+1+o,取 lI 一(1,0,1) 为平面 AEF 的法向量.同样可知,一(1, 一 2,1)为平面 DEF 的法向量.在本题中,lI, 的夹角 0 等于二面角 AEF-D 的平面角,所以cos 一一2一.对于第() 问 ,解法 1 是在第(I) 问中添加辅助线的基础上进行的.如果直接从原图考虑,大致要经过以下步骤:第一步:求有关线段的长,判断有关三角形的形状,为下面的作角与求角做准备.不妨设 AD=1,SD=2,则 AE=寺,EF 一2,AF一要,DE 一,DF=等.由 AE.+EF 一 AF,DE=DF 可知 ,AAEF 是直角三角形(AE 上 E
9、F),DEF 是等腰三角形.第二步:作角.取 EF 的中点 M,连结 DM,则 MD 上 EF.在AEF 中,过点 M 作 MP_LEF,交 AF 于 P 点,则DMP 是二面角 A-EF-D 的平面角.第三步:求有关线段的长,进而求角.由 MP 上 EF,AE_lIEF 得 MP/AE.由 M 点是EF 的中点可知,P 点是 AF 的中点,所以 MP-21AE=1.在DEM 中,DM 一.由 AD.+DF 一 AF.可知, ADF 是直角三角形(AD 上 DF).连结 DP,则 DP=AlF 一.在DMP 中 ,cosDMP=旦一_一旦4.16l63.v3v1.一,24由此可以看出,运用方向
10、向量与法向量的有关结论解决一些立体几何问题,思维的难度降低了,过程简化了,因而学生容易掌握.3 高中立体几何改革的前瞻课程标准在平面解析几何初步中列出的第 4 项内容空间直角坐标系,要求通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.这项内容应该算是空间解析几何的内容,平面解析几何与空问解析几何的思想是一致的.在平面解析几何中,学生接触了许多曲线与方程的内容,为了进一步体现解析几何的思想,可以在空间向量与立体几何中增加一些曲面与方程的内容,如平面的方程.平面
11、的方程是 Ax+By+Cz+D 一 0(A,B,C 不全为 0),这是三元一次方程,是比较简单的方程.设247中学数学教学参考2009 年第 3 期 f 上旬P1(z1,Y1,1),P2(z2,Y2,2),P3(z3,Y3,)是平面内不共线的三点.fAx1+By1+Cz1+D 一 0,由 Ax2+Byz+Cz+D 一 0,解 A,B,C 的三元【Ax3+By3+Cz3+D 一 0,一次方程组,从而确定了平面的方程.另一方面,(A,B,C)?PlP2 一(A,B,C)?(z2 一 z1,Y2一1,2 一 Z1)一A(z2 一 1)+B(y2 一 y1)+C(z2 一 1)一Ax2+By2+Cz2
12、 一(Ax1+By1+Cz1)一(一 D)一(一 D)一 0.同理(A,B,c)?P2P=0.由此可知(A,B,C)是平面的法向量.这就是说,由平面内不共线的三点 P(X,Y,Z1),P2(z2,Y2,z2),P3(z3,Y3,z3),通过解三元一次方程组,确定平面的方程,从而确定平面的法向量.再者,求点到平面的距离,难点在于垂足位置的确定.例如,在图 1 中,设 AD 一 1,SD 一 2,求点 A 到平面 DEF 的距离,垂足的位置就不容易确定,需用体积法解决.设点 A 到平面 DEF 的距离为 h,则11sOEFh 一s AD 1,由此求出 h.若引进平面的 uU方程则有助于解决点到平面
13、的距离的计算问题.如图4,PQ 上平面,垂足为点 Q,PM 交平面于点 M,PQPMcos01.由此联想到,l?P 一 PMcos0,其中 n 是与平面 a 垂直的单位向量 ,是 n与 F 的夹角.,l 与商方向相同时,0 一;,l 与 P 方向相反图 4时,一 7c 一.两种情况下都有 COS0 一 ICOS01.因此,PQPMcos01 一 PMlCOS0一 fn?葡 1.如果平面口的方程是 Ax+By+Cz+D 一 0(A,B,C 不全为 O),点 P 的坐标为(z.,Y.,.),设点 M 的坐标为(z,Y,),那么PQ= n?I(A,B,c)?(x-x0,y-yo,zzo)lIJA2+
14、B.+CIIAx+By+Cz-AxoB.一 Cz0lI4A2+B.+CIJD-Ax0 一 B 一 CzollJA2+B.+CIJAx.+By.+Cz.+Dl/A.2.+.B.2.+.C.2论教谈教学学.ll_lll这样,就得到了点到平面的距离公式.有了这个公式,求点到平面的距离问题就容易解决了.例如,在图 1 中,设 AD=1,SD=2,求点 A 到平面 DEF 的距离.该问题可做如下求解:如图 3,建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),D(0,0,0),E(1,寺,0),Ff0,告,1).设平面 DEF 的方程是 Ax+B+Cz+DO(A,B,C 不全为 0),则D=0lA+
15、B+D 一 0,1B+C+D=O.由此得 B 一一 2A,CA,D 一 0.所以平面 DEF的方程是一 2y+z 一 0.由点到平面的距离公式知,点 A 到平面 DEF 的距离是.综上所述,平面方程的内容不是很难,引进它有助于学生掌握一些重要的数学思想方法,希望课程标准修订时予以关注.以上我们回顾了高中立体几何的改革过程,思考了向量方法给解决立体几何问题带来的变化,提出了在高中立体几何课程中进一步充实空间解析几何内容的想法.我们希望不断的改革能够有助于学生学好立体几何内容,解决立体几何问题.参考文献1 人民教育出版社中学数学室.高级中学课本立体几何全一册(必修 )I-M.北京:人民教育出版社
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