1、2017 年全国高中数学联赛 A 卷 一试一、填空题1.设 是定义在 上的函数，对任意实数 有 .又当 时，)(xfRx1)4()3(xff 70x，则 的值为_.)9log2)10(f2.若实数 满足 ，则 的取值范围是_.yx,cosyyxcos3.在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 为 的上焦点， 为 的右顶点，OC109:2FCAC是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为 _.P4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。5.正三棱锥 P-ABC 中，AB=1，AP=2，过 AB 的平面 将其体积平分，则棱
2、PC 与平面 所成角的余弦值为_.6.在平面直角坐标系 中，点集 .在 中随机取出三个点，则这三点中存在两xOy,0,)(yxKK点之间距离为 的概率为_.57.在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点.若 ， 的面积为 ，则ABCMNBM3ABC3的最小值为_.N8.设两个严格递增的正整数数列 满足： ，对任意正整数 ，有nba, 201710ban， ，则 的所有可能值为_.nna12 nb211二、解答题9.设 为实数，不等式 对所有 成立.证明： .mk, 2mkxbax,2ab10.设 是非负实数，满足 ，求 的最小值和最大值.321,x1321x )53)(53(21321 xx1
3、1.设复数 满足 ， ，且 （其中 表示复数 的实21,z0)Re(1z0)e(2z2)Re()(21z)Re(zz部）.（1）求 的最小值； （2）求 的最小值.)Re(21z 2121zz2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试一.如图，在 中， ， 为 的内心，以 为圆心， 为半径作圆 ，以 为圆心，ABCIABCB1I为半径作圆 ，过点 的圆 与 , 分别交于点 （不同于点 ）.设 与 交于点 .证I2I,312QP, IPQR明： R二.设数列 定义为 ， .求满足 的正整数 的na1,21,naann 20173rar个数.三.将 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小
4、方格的个数相等.若相邻连个小方3格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设 均是大于 1 的整数， ， 是 个不超过 的互不相同的正整数，且nm, nmna,21 m互素.证明：对任意实数 ，均存在一个 ，使得 ，这里 表na,21 x)(ixxai)1(2y示实数 到与它最近的整数的距离.y2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7. 8. 9.10.11.2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试答案一.二.三.四. 2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共 8 个小题,每小题 8 分,共 64 分.1.在
5、等比数列 中， ， ，则 的值为 .na23a1207a2.设复数 满足 ，则 的值为 .z910zi|z3.设 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，则 的值为 .()fxR2()fx()2xf(1)f4.在 中，若 ，且三条边 成等比数列，则 的值为 .ABCsin2iC,abccosA5.在正四面体 中， 分别在棱 上，满足 ， ，且 与平面 平行，D,EFAB3E4FEBCD则 的面积为 .EF6.在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，则这三个点两xOy(,)|1,0KxyK两之间距离均不超过 2 的概率为 .7.设 为非零实数，在平面直角坐标系 中，二次曲线 的
6、焦距为 4，则 的值为 .a 220xaya8.若正整数 满足 ，则数组 的个数为 .,bc01701abc(,)bc二、解答题 （本大题共 3 小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.设不等式 对所有 成立，求实数 的取值范围.|2|5|xxa,2a10.设数列 是等差数列，数列 满足 ， .nanb21nna1,（1）证明：数列 也是等差数列；b（2）设数列 、 的公差均是 ，并且存在正整数 ，使得 是整数，求 的最小值.n 0d,ststab1|a11.在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ，经过 上一点 作一条xOy21:4Cyx22:(4)8Cxy1CP倾斜
7、角为 的直线 ，与 交于两个不同的点 ，求 的取值范围.45l2,QR|PR2017 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、 （本题满分 40 分）设实数 满足 ，令 ，证明：,abc0cmax,dbc 2(1)()1abcd二、 （本题满分 40 分）给定正整数 ，证明：存在正整数 ，使得可将正整数集 分拆为 个互不相交的子集 ，mkNk12,kA每个子集 中均不存在 4 个数 （可以相同） ，满足 .iA,abcdabcdm三、 （本题满分 50 分）如图，点 是锐角 的外接圆 上弧 的中点，直线 与圆 过点 的切线分别相交于点DABCBCDA,BC， 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，
8、 与 的交点为 ，求证： 平分线段,PQXPAYQPTA.XY四、 （本题满分 50 分）设 ， ，集合120,1,5a 120,1,b ，求 的元素个数的最大值.()()ijijXijijaX一试试卷答案1.答案： 解：数列 的公比为 ，故 .89na32aq12012066718()9aaqq2.答案： 。解：设 ，由条件得 ，比较两边实虚部5,zbiR(9)bibi可得 ，解得： ，故 ，进而 .102ab1,2a1zi|5z3.答案： 。解：由条件知， ， ，74 2()()(1)fff1()2()ff两式相加消去 ，可知： ，即 .(1)f137144.解：由正弦定理知， ，又 ，于
9、是 ，从而由余弦定理得：sin2aAcCbac:2:bc.22()cos 41bA5.解：由条件知， 平行于 ，因为正四面体 的各个面是全等的正三角形，故EFBABCD， .47ADE由余弦定理得， ，2cos6049162837同理有 .37F作等腰 底边 上的高 ，则 ，故 ，EH12EF2DHE于是 .123DFSA6.解：注意 中共有 9 个点，故在 中随机取出三个点的方式数为 种，KK3984C当取出的三点两两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况，（2）三点是边长为 的等腰直角三角形的顶点，有 种情况，1, 416（3）三点是边长为 的
10、等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于 的有 4 个，直角顶点2 (0,)位于 ， 的各有一个，共有 8 种情况.(1,0)(,)综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 ，进而所求概率为 .618303058417.解：二次曲线方程可写成 ，显然必须 ，故二次曲线为双曲线，其标准方程为21xyaa，则 ，注意到焦距 ，可知 ，又221()(yxa222()(c24c24a，所以 .078.解：由条件知 ，当 时，有 ，对于每个这样的正整数 ，由201c1c02bb知，相应的 的个数为 ，从而这样的正整数组的个数为10baa2，210()()57b当 时，由 ，知， ，进而 ，c
11、201b20b2017a故 ，此时共有 2 组 .2,a(,)ac综上所述，满足条件的正整数组的个数为 .5749.解：设 ，则 ，于是 对所有 成立，由于xt,4t|tt2,t， ，22|5|()()taa()(0a对给定实数 ，设 ，则 是关于 的一次函数或常值函数，注意 ，5ft ftt 2,4t因此 等价于 ，解得()0ft(2)1)(043fa35a所以实数 的取值范围是 .a510.解：（1）设等差数列 的公差为 ，则nd221231()()nnnnba2311()()()nnna21aadAA2213dA所以数列 也是等差数列.b（2）由已知条件及（1）的结果知： ，因为 ，故
12、，这样23d032()nnnnnaaa29nda若正整数 满足 ，则,ststabZ1122()()99ststabasdatd.1239a记 ，则 ，且 是一个非零的整数，故 ，从而stl l183()lst 1|8|a.1|8又当 时，有 ，a1378abZ综上所述， 的最小值为 .|11.解：设 ，则直线 的方程为 ，代入曲线 的方程得，2(,)Ptl 2yxt2C，2(4)8x化简可得： ，2(4)()80txt由于 与 交于两个不同的点，故关于 的方程的判别式 为正，计算得，l2C2222(4)()()()16()16ttttt，2884因此有 ，(,0)2,t设 的横坐标分别为 ，
13、由知， ， ，,QR1x21xt212()8xt因此，结合 的倾斜角为 可知，l452224111|()()()PxttxtxtAA2 4()8t332488t，42()t由可知， ，故 ，从而由得：,(,14)2()0,4(,196)t2|()8PQRtA注 1：利用 的圆心到 的距离小于 的半径，列出不等式 ，2Cl2C2|t同样可以求得中 的范围.t注 2：更简便的计算 的方式是利用圆幂定理，事实上， 的圆心为 ，半径为|PQRA 2C(4,0)M，故 .2r222242|(4)()8PQRMrtttA加试试卷答案一、证明：当 时，不等式显然成立1d以下设 ，不妨设 不异号，即 ，那么有
14、0,ab0ab(1) 1abcd因此 222()1()1c二、证明：取 ，令 ，km(mo),iAxixN,1im设 ，则 ，,iabcd0dabcd故 ，而 ，所以在 中不存在 4 个数 ，满足11i ,abcdabcd三、证明：首先证明 ，即证/YXBCAXYB连接 ，因为 ，,BDAQCQBCPASS所以 ， 111sinsinsin222AQCBP由题设， 是圆 的切线，所以 ， ，又,BPCQC（注意 是弧 的中点） ，于是由知 ADBAPDABQCP因为 ，所以 ，于是 1sin2ABQCPQSACP而 si1n2BQCPBS由，得 ，ABQCPS即 ABQCPS又 ，ABCQXS
15、APBCSY故 Y设边 的中点为 ，因为 ，M1XBYA所以由塞瓦定理知， 三线共点，交点即为 ，故由 可得 平分线段,ACT/YXBCATXY四、解：考虑一组满足条件的正整数 120120(,)ab 对 ，设 中取值为 的数有 个，根据 的定义，当 时， ，因此1,25k 120,a kkt ija(,)ij至少有 个 不在 中，注意到 ，则柯西不等式，我们有1ktC(,)ijX5120kt555522 2111120()()(1)35ktkkkkttt从而 的元素个数不超过X203906C另一方面，取 （ ） ， （ ） ，43241kkkkaa,2 6iiba1,20则对任意 （ ） ，有,ij1ij 2()()()()ijijijijijbaa等号成立当且仅当 ，这恰好发生 次，此时 的元素个数达到ij24530CX2036C综上所述， 的元素个数的最大值为 160.X四、
