1、1第 1 章 机械系统的理论建模目前，对机械结构动态性能的研究主要有三种基本方法，即理论建模及分析方法、实验建模及分析方法和二者相结合的方法。所谓理论建模及分析方法是基于结构动力学原理，根据结构的设计方案、图样、先验知识和资料等建立起模拟机械结构动力特性的动力学模型，而无需依赖于已有的机械设备。通过对该动力学模型的分析计算，即可获得该机械结构各种模拟的动力特性。这不仅可以检验其动力特性是否满足设计目标，是否需要对结构进行修改，还可以通过对理论模型的计算机仿真，预估结构设计及其改进后的动力特性或对其进行动态优化设计。所以，理论建模及分析方法，可以在机械结构设计方案具体实施之前，建立其动力学模型，
2、利用计算机进行模拟仿真，对各种设计方案反复进行比较、修改，使其动态特性逼近设计目标函数的要求。从而可经济、迅速地达到优化设计的目标，把提高机械结构动态性能的问题解决在方案及图样设计阶段。理论建模及其分析方法的不足，在于建立能够确切模拟机械结构动力特性的动力学模型较为困难，就目前的各种理论建模方法而言，都存在一些难以确定的因素，如难于对机械结构各种工况下的边界条件考虑和处理得与实际工况完全吻合，也难于把机械结构中各种结合部来的误差，影响了所建动力学模型的模拟精度。所以，提高理论模型对机械结构动态性能的模拟精度，使之满足工程实际的需要，是机械结构动态性能理论分析方法必须解决的首要问题。目前，对一般
3、机械结构的理论建模，除应慎重使用集中参数法或传递矩阵法建模外，最主要的建模方法是有限元法。因此，本章首先讨论有限元及其建模方法，包括静态有限元法和动力学问题官限单元法。然后讨论在机械结构动力分析中常用的另外两种理论建模及分析方法：集中参数法和传递矩阵法。有限单元法是 20 世纪 50 年代初期根据变分原理发展起来的一种强有力的数值近似解法。该方法以计算机为手段，采用分割近似，进而逼近整体的研究思想求解数学物理问题。目前，有限元法已在许多领域成为分析、解决工程和数学物理问题的有力工具。由于弹性力学问题静态有限元法的理论与方法均已成熟，有着丰富的书籍和资料，因此，本章只讨论静态有限元方程的建立，以
4、其说明弹性力学和变分2法等通用力学、数学原理与有限元法的关系，并简述静态有限元法的分析过程，直接给出常用单元的位移模式及计算公式。若要对此部分内容作详细了解，可参见有关书籍。本章还将讨论动力学问题有限单元建模方法。顺便指出，本章所讨论的变分法及其近似解法，也是后续内容“机械系统动态性能的最优控制”和“动态优化”的理论基础。11 有限单元法的预备知识1908 年，瑞士科学家里兹首先提出用变分法处理弹性薄板问题，开创了弹性力学中直接求解泛函极值问题的近似解法。后经人们的长期努力，形成了变分问题直接解法中最重要的里兹法。里兹法不从微分方程出发，而是根据某个物理问题建立其泛函表达式，并根据某种泛函驻值
5、条件，直接求解泛函极值的近似解，从而使变分解法具有了重要的实用意义。因为人们发现并在数学上得到证明：在连续介质问题中，许多物理、力学问题既可以转化为微分方程的定解问题，也可以归结为变分极值问题，它们的表达形式不同，但却是等价的。例如，图 1-1 所示等截面梁的横向弯曲平衡方程可用材料力学方法建立，也可由变分法求得。设梁的抗弯刚度为 EJ，受分布载荷 q(x)作用产生下弯变形 w(x)，两端固定的边界条件为w(0)=w(0)=0，w(l)w( l)0 (a) 图 1-l 梁的横向弯曲简图由材料力学知，等截面梁挠曲线的近似微分方程为d2w(x)/dx2M(x)/( EI) (b)式中，M (x)为
6、梁横截面上的弯矩。若梁横截面上的剪力为 Q(x)，则有如下关系dQ(x)/dxq(x) ； dM(x)/dxQ(x )或 d2M(x)/dx2dQ(x)/dx q(x) (c)将式(c)代人式(b)，即可得等截面梁的横向弯曲平衡方程EId4w(x)/dx4- q(x)0 (d)用变分原理导出梁的平衡方程如下：在梁达到平衡时，梁和载荷作为整体的势能达到最小值。梁的势能是梁在弯曲时所取的弯曲能，其值为3(e)l dxwEIU021另外裁荷 q(x)的势能在梁弯曲变形 w(x)的位移中降低(f)lq02所以，梁和载荷作为整体时的总势能为(g)l dxwdxEIU0221平衡条件为总势能达到最小值，即
7、 U0 (h)式(g)的变分为 (i)l dxqdxI02通过分部积分，并利用固定端点条件 d(w)/dxx=0,l0，w x=0,l0，得(j)(04l dwqxEIU根据变分法基本原理，即得梁的平衡方程为EId4w(x)/dx4- q(x)0 (k)可见，两种方法获得完全相同的结果。这说明满足微分方程及其边界条件的函数将使泛函取极值或驻值，反过来，使泛函取极值或驻值的函数恰是满足微分方程及其边界条件的解答。所以，就某个物理问题所建立的泛函极值问题的解和就该问题所建立的微分方程边值问题的解是一致的。而且，从求近似解的角度出发，求泛函极值的近似解常常要比求微分方程的近似解更为方便 1，2 。这
8、就为我们实际求解工程及数学物理问题提供了一条重要途径：直接从某个物理问题的泛函变分求其近似解，或者把微分方程的定解问题转化成相应的泛函变分求其近似解。里兹法就属于这一类数值近似解法。需要特别指出，我们在这里反复强调的是求解泛函极值的近似解，这是因为，从变分法出发，求解泛函极值归结为求解欧拉方程，这又回到了微分方程的求解问题。变分法和欧拉方程代表同一个物理问题，从欧拉方程求解和从变分法求解具有相同的效果。但欧拉方程的求解常常是困难的，甚至是不可能的，而从泛函变分求近似解往往并不困难，这也正是变分法备受重视的原因。里兹法正是从泛函变分求极值近似解的有效方法之一。4目前常用的有限单元法均与泛函变分问
9、题直接解法中的里兹法或伽辽金法有着紧密的联系。里兹法和伽辽金法具有可以直接求出结构解析解的近似表达式，便于作理论分析等优点，但它们都是以结构整体为研究对象的近似计算方法，必须预先给定待求结构一个变形允许的坐标函数(基函数)，而对于边界形状比较复杂的结构、要想找到合适的坐标函数却非常困难，即使找到，也需用到相当高次的多项式或某些函数的特殊结构。因此，这种方法只能对很简单的结构求解，而对于由板梁组合而成且形状复杂的机械结构，是无能为力的 2，3 。有限元法则与此不同。虽然有限元法是在求解泛函变分问题的里兹法基础上发展起来的数值近似解法，但有限元法是建立在结构离散并使之单元理想化基础上的近似方法，具
10、有结构上的分割近似性质。因此，有限元法的基础是变分原理和剖分插值。即首先把复杂连续结构离散为有限个形状简单的单元，如梁、三角形、四边形单元等，再对每一个单元选择一组简单的坐标函数，便可方便地将里兹法或伽辽金法应用于这些单元；然后，根据变形协调条件把这些单元重新组合，便可求得整体结构的数值解。有限元法的数学基础是变分原理，而力学基础则是能量原理。根据弹性力学最小势能原理，变形弹性体在受到外力作用而处于平衡状态时，在很多可能的变形允许曲线中，使总势能为最小的那条曲线是真正的变形曲线。而弹性体的总势能是一个以位移为自变量函数，以坐标 x，y ，z 为自变量的泛函表达式。根据变分原理，这条真正的变形曲
11、线就是泛函的极值曲线。有限元法把复杂连续结构离散为有限个形状简单的单元，因此很容易将这些单元的假设变形曲线设置得很好，利用里兹法求解这些单元，便可获得这些单元真正的变形曲线，再根据各单元变形协调条件，把各单元变形曲线装配成整个弹性体的初始变形曲线，并用里兹法求解，便可获得整个弹性体的真实变形曲线。这就是基于弹性力学能量原理，把连续弹性体的变形求解问题转化为泛函的变分极值问题求里兹解的有限元法的形成过程。111 变分法简介有限元法的数学基础是变分法。变分法是研究泛函极值的一种经典方法 4，5 。有限元法是在弹性力学能量原理的基础上发展起来的一种数值计算方法，而弹5性体的能量表达式是一个泛函，因此
12、，求解弹性体的能量表达式问题可以归结为求泛函极值的问题。1函数与泛函我们知道，对于变量 x 的某一变化域中的每一个 x 值，若 y 都有一值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y=f(x)。如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数 y(x)，因变量 J 都有一个确定的值与之相对应，则称因变量 J 是函数 y(x)的泛函数，简称泛函，记为 JJ y(x)。因此可以说，函数是变量与变量的关系，泛函是变量与函数的关系。例如，图 1-2 所示的平面中有两固定点 A(xa，y a)和 B(xb，y b)，连接这两点的曲线弧长 l 是曲线函数 yy (x)的泛函。图 l-2 求弧长的变分问题由弧长的
13、微分知(dl)2(dx) 2+(dy)2dl/dx1+(dy/dx) 21/21+y 21/2所以 dxylxba21A、B 两点间的连线可以是各种曲线形式。显然，对不同的曲线 y(x)，就有不同的长度 l 与之对应。所以，A、B 间连线的弧长 l 是曲线函数 y(x)的函数，即泛函。记为 dxyLxyxyJbaba)(1)(2式中，L(y)(l+y )2。一般情况下，L 也是 x、y 的函数，因此可写成6(1-1)dxyLJxba),(两点间的最短弧长是直线 y*(x)，见图 1-2。即lminJ*minJ y(x)Jy*(x)我们把式(1-1)这种建立在函数 L 和变量 J 之间的关系叫做
14、泛函关系。满足此泛函关系式的任一函数 y(x)均称为泛函 Jy(x)的容许函数。2泛函的极值与变分求泛函的极大值或极小值问题均称为变分问题。对于泛函 Jy(x)，其自变函数 y(x)的增量是指两个不同的 y(x)值之差 y(x)- y0(x) y。当这种增量很小时称为变分，用 y(x)或 y 表示。即y(x)y (x)- y0(x)对于自变函数 y(x)的变分 y(x)所引起的泛函的增量可表示分 1，4Jy(x)+ y(x)- Jy(x)Ly(x)，y (x)+Ry(x)，y(x )maxy (1-2)式中，Ly( x)，y( x)是 y 的线性连续泛函；R y(x)，y(x)是 y(x)的高
15、阶无穷小项。当 maxy0 时，Ry(x) ，y(x)0 ，则 Ly(x)，y(x)就称为泛函 Jy(x)的变分。即JLy (x)，y (x) (1-3)由此可见，泛函的变分是泛函增量的线性主部。若泛函有变分，而且增量J 可用式(1-2)表达时，则称泛函是可微的。泛函的变分也可定义为JJy (x)+ y(x)/=0 (1-4)式中， 为一正的小量。根据式(1-4)，利用函数的微分法则可方便地进行泛函变分的计算。变分规则：设 L1 和 L2 是 x、y、y的函数，则有如下变分规则 6：(1)(L1+L2)L 1+L2(2) (L1L2)L 1L2+L1L2(3) L(x，y，y)dxL(x，y
16、，y)dx(4) y dy/dx如果泛函 Jy(x)在任何一条与 y0(x)接近的曲线上所取的值不小于 Jy0(x)，7即JJy (x)-Jy0(x)0 (1-5)则称泛函 Jy(x)在 y0(x)曲线上达到极小值。反之，若JJy (x)-Jy0(x)0 (1-6)则称泛函 Jy(x)在 y0(x)曲线上达到极大值。事实上，所谓泛函极值问题就是在泛函的容许函数集中寻求一个容许函数y*(x)，使泛函 Jy(x)在其上的值达到极大或极小 5，7，8 。根据泛函变分原理，若可做泛函 Jy(x)在函数 y0(x)上达到极值时，则泛函在 yy 0(x)上的一阶变分等于零，即J0 (1-7)考虑(1-1)
17、 xbadxyLJ),(在自变量的取值区间xaaxx bb 内确定一个函数y(x)，使其满足边界条件 xa，y；xb，y 并使泛函取极值。 图 1-3 端点固定的极值设曲线 y(x)如图 1-3 所示。y*(x )为极值曲线。并使泛函取极值。设曲线 y(x)如图 1-3 所示。y*(x )为极值曲线。在它的附近有一容许曲线y*(x)+(x)，其中 (x)y(x )是任意给定的连续可微函数。则y(x)y*(x)+( x) 0 1代表了在 y*(x)与 y*(x)+(x)之间所有可能的曲线。式(1-1)即为此问题数学模型的一般形式。因为对变量没有约束，故称为无约束变分问题。取 y(x)的变分为 y
18、(x)，由式(1-4)得泛函 J(y)的变分为(1-8)xbadxLyJ已知L( y)/ydxLd(dy )/dx/ydx，利用分部积分公式对式(1-8)的第二项积分，得(1-9) xba xbaxbaxba yLdyLdyyLyJ 8两端状态固定时，y (xa)，y(x b) ，因此y(xa)0，y (xb)0，L (y)/yxa xb0于是式(1-9)变为(1-10)xbaydxLyJ当 yy*(x) 时，J 为最小值， J(y*)0。在 xa 到 xb 区间内，y(x )是任意的。因此 y*(x)应满足下述二阶微分方程：(1-11)yLd(1-12)0xba式(1-11)就是无约束泛函极
19、值必要条件，由欧拉和拉格朗日两人独立推导得出，简称欧拉(Euler) 方程。它与式(1-12) 一起，通常就可以求解出 y*(x)。可见，欧拉方程把泛函的极值问题转化成了微分方程的边值问题。式(1-12)为边界条件。若待求函数的边界值是已知的，即边界值是固定不变的，如式(1-12)中的 y(xa)，y(x b)，则有 y(xa)0，y(x b)0，边界条件自然满足。这种边界条件称之为本质边界条件；若待求函数的边界值是变动的，则 y(xa)、y (xb)均不为零，边界条件必须由式(1-11)和式(1-12) 联立确定。这种边界条件称为自然边界条件。这时边界条件亦称为横截条件。利用以上对泛函极值问
20、题的讨论，很容易推导出多元泛函的极值条件。设 yy 1 y2 ynT 为 n 维变量，y(x a)，y(x b)。求下列目标泛函的极值轨线。(1-13)dxyLJ nnxban ;,;, 212121 式中，L 是 yi 及其一阶导数 yi(i=1，2，n)的标量函数。为寻求使目标泛函 J(y1，y 2， ，y n)取极值的必要条件，可令y1，y 2， ，y n 中之一，例如 yi(1 i n)，进行变分，其余 n-1 个变量保持不变，或其变分为零。于是 n 元泛函极值问题就变为求 n 个一元泛函极值的问题，J取极值的必要条件当然就是满足欧拉方程(1-14)iyLdxii ,210或写成下列方
21、程组的形式9(1-14a)niyxyxLdbiai nn,21,011写成向量形式为(1-14b)baxyLdx,0其中，y 应有连续的二阶导数，而 L 至少应二次连续可微。对于自由端点情况，边界条件可由下列横截条件确定：y(xa) ，L/y xb0 =0 终端自由 (1-15)L/yxa0 =0 y(xb) 始端自由 (1-16)由以上对泛函极值曲线 y*(x)的讨论可见，求泛函极值问题归结为在给定始端 xa 和终端 xb 的边界条件下，求解欧拉方程的问题。特别是在两端状态 y(xa)和 y(xb)自由时，求解欧拉方程所需的边界条件由横截条件来补足。这说明，横截条件是欧拉方程求解时必须满足的
22、端点边界条件。事实上，相对于端点状态y(xa)和 y(xb)固定的情况而言，自由端点问题因其一个端点 y(xa)或 y(xb)，或两个端点自由，因此泛函表达式(1-1)的容许曲线类就被扩展了。所求的极值曲线类y*(x)除满足端点固定的情况外，还必须在自由端点情况下的所有容许曲线中取极值。对于含有高阶导数的泛函(1-17)xbandxyyLJ)(,“,;的极值问题，认为函数 L 对所有的自变函数而言都是(n+2) 阶可微的，并且假定端点上有边界条件y(xa)y a，y (xa)y a，y (n-1)(xa)y (n-1)a；y(xb) yb，y (xb)y b，y (n-1)(xb)y (n-1
23、)b (1-17a)亦即，在端点上不仅给出函数的值，而且还给出它的直至 n-1 阶导数的值。再假定，极值在 2n 阶可微的曲线 y=y(x)上达到。用与上面相同的求泛函变分 J 的方法，可以证明(1-17b) xba ndxyLyLyJ )()(“ 对式(1-17b)右端第二项分部积分一次，得10 xbaxba ydxLyLdxyL对式(1-17b)右端第三项分部积分两次，得 xbaxba ab yxdydxyxdy “ 22如此连续应用分部积分公式，则最后一项经 n 次分部积分后，得 xbannabxba abnn ydxLxyLxyLxyL )()2()()1()( )1(考虑到式(1-1
24、7a) 的条件，在 xx a，xx b 时， yyyy (n-1)0，根据变分的极值条件 J0，则由式(1-17b)得(1-17c)abnabnnabnnxba nn xyLxyLdxyLdx xydxLyLdxyLJ )1()()(2)3( )(1)(2)( )(“ 根据变分基本原理，得(1-18)0)1(“ )(2 nnydxydxy这个 2n 阶微分方程叫作欧拉泊桑方程，它的积分曲线就是所论变分问题的解极值曲线。方程所含的 2n 个待定常数，由下列 2n 个端点条件决定在 xx a，xx b 处，y 已知，或 0)1( )(1nnyLdxyLdxy已知，或 (1-18a) )(2)3(y
25、(n-1)已知，或 0)(nyL以上为仅含有一个自变量的泛函变分问题。对于含有多个自变量的函数的泛函问题，可作如下推导：研究下列泛函11(1-19)s dxywyxLyxwJ,极值问题。函数 w(x，y )区域 s 的边界 c 上的值已经给出，即在边界 c 上w=w1，w 1 为已知值。为把上述问题化为微分方程的边值问题，求 J 的一阶变分 dxywLxwLdxyLLJ s ys yx (1-19a)式中 wx=w/x，w y=w/y由于， (a)xxx wLL yyy wLL因此式(1-19a) 可改写为 dxwxdywJ s ysx (1-19b)根据格林公式，对于 f(x，y )，g(x
26、，y) 两个连续函数有(b)cs gdxfyd所以有(1-19c) cyxs yx wdxLxwLwL 在边界 c 上， w(x，y)的变分恒等于零，因此式(1-19c)的右侧的曲线积分恒等于零。(1-19d)0cyxwdxL于是式(1-19a) 化为(1-19e)yJs yx令 J0，根据变分基本原理知，欲使泛函 J 取极值，必须有(1-19f)0yxwLwL这就是决定 w(x,y)的微分方程，也称为欧拉方程。式(1-19d) 构成了此微分方程的边值问题。3条件极值的变分问题12前面所讨论的泛函极值问题，因其自变函数的选择除使给定的泛函有意义和必须满足给定的边界条件外，再没有其他限制，因此称
27、为无约束或无条件泛函极值问题。这里所论的条件极值问题，是指除上述两种条件以外另有其他约束条件的情况。如具有定积分约束条件和微分方程约束条件的泛函极值问题。与无条件的泛函变分问题不同，这里的诸函数变分之间不是独立的，而是由已知条件联系着的。虽然，某些情况下，条件变分可以转化为无条件变分，但这种转化往往非常困难。因此，求解泛函的条件极值问题，更常用的方法是拉格朗日乘子法 1。为了说明该方法，首先考虑寻找下列函数L =L(x，y) (a)在自变量受如下约束(x，y )=0 (b)1)用大家熟知的代如消去法，有：函数 L L(x，y) 的极值条件可以写成dL( L/x)dx+(L/y)dy0 (c)因
28、自变量受到式(b)的约束，故式(c)中的 dx，dy 不是独立的，还必须满足式(b)的微分关系式：(/x)dx+(/y)dy0 (d)假定/y0 ，由式 (d)得dy/dx-(/x )/(/y) (e)而式(c)可化为dLL/x+ (L/y)(dy/dx) L/x-(L/y)(/x)/(/y)0 (f)将式(f)与式(b) 联立，即得求解极值 x，y 的两个方程式。2)应用拉格朗日乘子法，有：L*(x，y， )L(x，y)+ (x，y) (1-20)函数 L*的极值条件为dL*(L/x+/x )dx+(L/y+/y)dy+(x，y) 0 (1-21)式中，x，y， 均视为独立的任意变量，则从式
29、(1-21)可得L/x+/x0， L/y+/y0，(x，y )0 (l-22)消去 得13L/x-(L/y)(/x)/(/y)0，(x，y )0 (1-23)可见，拉格朗日乘于法所得结果式(1-23)与代人消去法所得结果式(g)完全相同。这种把原函数的条件极值问题转化为求另一个新函数的无条件极值问题的方法，称为拉格朗日乘子法。它适用于各种函数的条件极值问题。拉格朗日乘子法还可以推广应用于自变量多于两个，约束条件多于一个的情形。如函数L=(xl，x 2，x n) (1-24)约束1(xl，x 2， ，x n) =02(xl，x 2， ，x n) =0 (1-24a)k(xl，x 2， ，x n)
30、 =0设有拉格朗日乘子 1， 2， k，并构造如下函数(1-24b)ki ninxL12,* 把 L*作为 xl，x 2，x n， 1， 2， k 等变量的函数求极值 0,121 ii nijkijjij dxdxd xj 和 i 均为独立的任意变量，故得(1-24d)kixjLnikijij ,21(0), )21 112 弹性力学基本方程本节将简要介绍一些弹性力学的基本概念 9,10。1应力及力平衡方程为了描述弹性体内某点 A 的应力，从 A 点割取一微小的平行六面体，设其边长分别为 dx，dy ，dz，如图 1-4 所示。作用在每一平面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力，并分别与三
31、个坐标轴平行。为了表明各应力的大小、方向及其作用面，通常在应力符号右下方注有下标。由于正应力 各分量i， i (x y z)的方向已定，所以只需一个下标即可。如 x 表示作用在垂直于 x 轴的平面上，且沿 x 轴方向作用。切应力 各分量 ij，i ，j (x y z)则注有两个下14标，前一个下标 i 表示作用面，第二个下标 j 表示其作用方向。如 xy 是作用在垂直于 x 轴的平面上且沿 y 方向作用。图 1-4 单元体截面上的应力状态应力的正负方向采用如下的符号规定：如果正应力是拉应力则为正，是压应力则为负。切应力的符号与正应力的正、负方向有关。如果正应力的正方向与坐标轴的正方向相同，则与
32、另外两个坐标轴的正方向相同的切应力规定为正的切应力。同理，如果正应力的正方向与坐标轴方向相反，则正的切应力方向也应与其他两个坐标铀的方向相反。考虑到通过弹性体中的一点总可以作出三个互相垂直的坐标平面，所以总共可以得到 9 个应力分量，即x， xy， xz， y， yz， yx， z， zx， zy。这 9 个应力分量也可写成如下形式(a)zyzxxzyx32311作用在弹性体上的外力可分为如下两类：(1)面力一分布在物体表面上的力为面力。如加在梁上的载荷、流体静压力等。面力在三个坐标轴方向上的投影分别用 X1、Y 1、Z 1 表示。它们是单位面积上的力。(2)体力一分布在物体体积中的力为体力，
33、如重力、离心力、惯性力等。体力在三个坐标轴方向上的投影分别用 X、Y、Z 表示。它们是单位体积上的力。设图 1-4 所示微小六面体在 x0 的微小面积上，应力分量为 x， xy， xz，在 xdx 的微小面积上，由于 x 改变了 dx，因此，应力分量也有一相应增量，15如精确到一阶微量，则分别为 x+(x/x)dx、 xy +(xy /x)dx、 xz +(xz /x)dx。按完全相同的理由，可写出其他四个微面积上的应力分量。由于微小六面体处于平衡状态，根据静力平衡条件可求得直角坐标系中三维静力平衡微分方程式为x/x+yx /y+zx /z+X=0y/y+xy/x+zy/z+Y=0 (1-25
34、)z/z+xz /x+yz /y+Z=0若考虑物体运动的情况，则方程式(1-25)的右边不为零。按牛顿第二定律，应等于x/x+yx /y+zx /z+X=2u/t2y/y+xy/x+zy/z+Y=2v/t2 (1-25a)z/z+xz /x+yz /y+Z=2w/t2式中， 为物体的密度， 2u/t2、 2v/t2、 2w/t2 是物体内任一点加速度向量在三个坐标方向的分量。式(1-25a)称为运动方程。由材料力学的切应力互等定理知，6 个切应力是两两相等的，即xy yx， yz zy， zx xz (b)于是，弹性体某一点应力状态的 9 个应力分量实质上可用 6 个来表示。这 6 个应力分量
35、可写成一个列向量的形式( x y z xy yz zx)T (1-25b)若在三维应力状态的一般情形下，如果己知某点的应力分量 ，则作用在任一平面上该点的应力分量可由下式表示XN=lx+mxy+nxzYN= lyx+my+nyz (1-25c)ZN= lzx+mzy+nz式中，X N、Y N、Z N 分别为作用在任一平面上的沿 x、y、z 轴方向的应力分量。该任意平面的法线为 N，方向余弦为 lcos(N，x)，mcos(N ，y)，ncos(N ， z)，如图 1-5 所示。 图 1-5 弹性体任意平面的几何表示在整个物体内上述应力分量是变化的，而在物体的外表面或边界上，这些16应力分量必与
36、作用于该处的外力相平衡，因为，物体在外力作用下处于平衡状态时，物体内各点的应力分量都必须满足平衡微分方程式。所以，只需把式(1-25c)中的应力分量 XN、Y N、Z N 分别改为 X1、Y 1、Z 1，就得到物体在平衡状态下力的边界条件。X 1、Y 1、Z 1 就是边界某点处单位面积上的面力分量， l、m 、n则是边界法线的方向余弦。则有X1=lx+mxy+nxzY1= lyx+my+nyz (1-25d)Z1= lzx+mzy+nz2应变与位移弹性体受到外力作用后，将发生位移和形变，也就是相对于受力前位置的移动和形状的改变。设弹性体内任意点 A 的坐标为 x，y ，z，形变后 A 点在三个
37、坐标方向上产生了位移 u，v， w，并以沿坐标轴方向为正，称之为该点的位移分量。为了描述弹性体内某点 A 的应变，从 A 点割取微小的平行六面体ABCD，如图 1-6 所示。设其为平面应变。形变前单元体 ABCD 的边长为dx、dy，形变后，它移到新位置 ABCD。可见，单元体产生两种基本变形，即：形变前直线的长度在某一方向上的变化，称为线应变，并定义线应变为直线段的变化量与其在形变前的长度之比，用 表示；形变前两直线间夹角的变化，称为切应变并定义切应变为变形前为直角的角度改变量，用 表示。17图 1-6 弹性体形变前后相应点的坐标变化单元体形变后，点 A 移到点 A。点 A 的位移分量为 u
38、、v 。因为 u、v 是逐点变化的，所以将其展开成泰勒级数，并略去高阶微量，则点 B 到点 B的位移可写成 u+(u/x)dx 和 u+(v/x)dx。于是，线段 AB在 x 轴上的投影为dx+(u/x)dx，在 y 轴上的投影为( v/x)dx。线段 AB长度的平方为(AB)2dx+ (u/x)dx2+(v/x)dx2 (a)定义 x 方向上的线应变分量 x 为单元体在 x 方向上的线应变，则x(AB- AB)/AB或 AB(1+ x)AB(1+ x)dx (b)将式(b)代入式 (a)，并用(dx) 2 除全式，得2x +x22(u/x)+ (u/x)2+ (v/x)2略去二阶微量，得 x
39、 u/x (c)同理可得 y 方向上的线应变分量 y 为 yv/y (d)弹性体内某点 A 的切应变 xy，等于线段 AB 与 AD 间夹角的变化量。B 点在y 方向上的位移为 v+(v/x)dx，D点在 x 方向上的位移为 u +(u/y)dy。由于直线 AB 在形变后成为 AB，它与原来方向的微小转角为v/x，同理，A D与 AD方向的微小转角为u/y 。所以，线段 AB 与 AD 间的直角 DAB 在形变后的改变量为u/y+ v/x，即xy u/y+v/x (e)式(c)，(d)，(e)即为平面应变情况下，弹性体内某点的应变分量。用同样方法可求得三维一般情况下，弹性体内某点的应变分量为x
40、 u/x， yv/y ， zw/zxy u/y+v/x， yzv/ z+w/y， zxw/ x+u/z (1-26)式(1-26)称为几何方程，它给出了位移分量 u、v、w 与应变分量之间的关系，即 6 个应变分量可以用 3 个位移分量表示。当 是 x、y 、z 的已知函数时，由式(1-26)便可求得位移分量 u、v 、w。上述 6 个应变分量可写成一个列向量的形式( x y z xy yz zx)T (1-26a)由几何方程式(1-26)可见，当弹性体的位移分量 u、v、w 完全确定时，应变分虽 也完全确定，但反之则不然。当应变分量 完全确定时，位移分量18u、v、w 却不能完全确定。因为，
41、若给各位移分量 u、v 、w 再分别加上一个量u1u 0-y+z；v 1v 0+x-z；w 1w 0+y-x，并不会引起应变分量的变化。其中的 u0、v 0、 w0、 、 是常数。u 0、v 0、w 0 表示物体的移动，而由 -u1/yv 1/x ，-v 1/z w1/y，-w 1/xu 1/z 可知，、 表示物体绕各坐标轴的转动。所以这些常数反映了物体的刚体位移，说明描述应变状态所需的独立变量数比描述位移的要少些，所少的变量数目就是反映单元体刚体运动的变量。因此，在设定位移函数时，要考虑反映刚体运动的参数。当用式(1-26)来确定位移 u、v 、w 时，由于 3 个未知函数有 6 个方程式，
42、所以，当任意给定应变分量 时，方程组是不会有解的。因此，必须给各应变分量附加某些限制条件，以便由这 6 个方程式得到一组 3 个位移分量的单值连续解。这些附加的限制条件就是“变形协调条件” ，可用协调方程式表述。当一个弹性体被分解为许多微小六面单元体后，若每个单元体在受力后的变形都是任意的，则这些微小六面单元体将不能被重新组合成一个变形连续的弹性体。物体在变形前是一个连续体，变形后仍然应该是连续体，这就要求各单元体的应变分量之间满足一定的关系，以保证变形后的各单元体之间既不发生互相重叠，也不发生互相分离。这个关系就是变形协调条件。对于二维平面问题，只要把位移分量 u、v 从式(e)中消去即可得
43、平面问题的变形协调条件。把式(e)对 x、y 微分，得2xy/xy( 2/xy)(u/y)+ (2/xy)(v/x) (f)因为 u、v 都是单位连续函数，所以上式可改写为2xy/xy( 2/y2)(u/x)+ (2/x2)(v/y) (g)因 xu/x， yv/y ，所以上式可改写为2xy/xy 2x/y2+2y /x2 (1-26b)式(1-26b)即为应变分量必须满足的变形协调条件，称为协调方程或相容方程。对于三维问题，只要把位移分量 u、v、w 从式 (1-26)中消去，就得相应的变形协调条件。把 xy 对 x、z 微分， zx 对 y、x 微分，并将所得结果相加，得2xy/xz+2zx/yx( 2/xz)(u/y+v/x)+ (2/yx)(w/x+u/z) (h)因为 u、v、w 都是单值连续函数，所以上式可改写为2(2/yz)(u/x)+ (2/x2)(v/z+w/y)=22x/yz +2yz/x219因此有2xy/xz+2zx/yx2 2x/yz +2yz/x2或22x/yz( 2/x)(- yz/x+zx/y+2xy/z) (i)利用循环轮换法即可得到其余的类似关系式。于是，应变分量之间必须满足的变形协调条件为如下的
