1、 高等数学试卷（同济六版上）一一、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、若函数 ，则xf)()(lim0xfA、0 B、 C、1 D、不存在12、下列变量中，是无穷小量的为（ ）.A、 B、 C、 D、1ln(0)xln()xcos(0)x2()4x3、满足方程 的 是函数 的（ ）.f fyA、极大值点 B、极小值点 C、驻点 D、间断点4、函数 在 处连续是 在 处可导的（ ）.)(xf0)(xf0A、必要但非充分条件 B、充分但非必要条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）.A、 B、 C、 D、0sinxddxe02 dx0
2、1dx01二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）6、当 k= 时， 在 处连续.2,0()xefkx7、设 ,则 .xyln_dy8、曲线 在点（ 0，1）处的切线方程是 .ex9、若 ， 为常数，则 .Cdf2sin)( ()_fx得分 评卷人得分 评卷人10、定积分 =_.dx54231sin三、计算题（本题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分）11、求极限 .xx2sin4lm012、求极限 .co120litxed13、设 ，求 .)ln(5xyy14、设函数 由参数方程 所确定，求 和 .)ftarcn)1l(2dyx215、求不定积分 .21sin3dx
3、x16、设 ，求 .,0()1efx20(1)fx四、证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）17、证明： = ( ).dxnm)1(0dxmn)1(0Nn,18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当 时， .0ablnaba五、应用题（本题共 2 小题,第 19 小题 8 分，第 20 小题 10 分,共 18分）19、要造一圆柱形油罐，体积为 V，问底半径 r 和高 h 各等于多少时，才能使表面积最小？20、设曲线 与 所围成的平面图形为 A，求2xy2y（1）平面图形 A 的面积；（2）平面图形 A 绕 轴旋转所产生的旋转体的体积得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人高等数学
4、试卷（同济六版上）二1、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1. )(0),sin(co)( xxf .（A） 02 （B） (01f（C） )f （D） (fx不可导.2. 13)1)( .（A） x与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） ()x与 是等价无穷小；（C） ()是比 ()高阶的无穷小； （D） ()x是比 高阶的无穷小. 3. 若 02xFtftd，其中 ()fx在区间上 1,二阶可导且 ()0f，则（ ）.（A）函数 ()必在 处取得极大值；（B）函数 x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0处没有极值，但点 (0,)F为曲线 ()yFx
5、的拐点；（D）函数 ()F在 处没有极值，点 也不是曲线 的拐点。4. ) ,2)( 10fdtfxff （A）2x（B）2x（C） （D） .2、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. xxsin20)31(lim.6. ,(co f xfdcos)( .7. li(scoscs2221n nn.8.2121ari dxx.3、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 9.设函数 ()yx由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y.得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人10.d)1(7x 11.1 32 )(0dxfxef12.设函
6、数 )(xf连续，10()()gftd，且 0limxA， 为常数. 求 ()gx并讨论 g在 0处的连续性.13.求微分方程 2lnyx满足1()9y的解.4、 解答题（本大题 10 分）14.已知上半平面内一曲线 )0()xy，过点 (,)1，且曲线上任一点 Mxy(,)0处切线斜率数值上等于此曲线与 轴、 轴、直线 x0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.5、 解答题（本大题 10 分）15.过坐标原点作曲线 xyln的切线，该切线与曲线 xyln及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V.6、
7、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16.设函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00(qfdqd.17.设函数 )(xf在 ,上连续，且0)(0xdf，0cos)(dxf.证明：在,内至少存在两个不同的点 21,，使 .(21（提示：设dfF0)()(）得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人高等数学试卷（同济六版上）三一、填空题（每题 3 分）1、 ，则 ， 。xf)()(xf )(xfxf 11)(1xfxf )()(2、已知 ，则 。311lim30xkx k 1311)(3limli 3200 kkxxxx3、若 在 可导，且 = ，则 。
8、)(ffafli0)(40xfa34)(li)(lim0000 fxaf xx4、 ，则 = 。112f f 3221)(1)( xfx5、设 ，则 = 。)ln()(20xdtfx f 256)()1(4)(122 fxxff6、若 满足 ，且 ，则 = 。)(xf)0(gff0lim0gxf1)(li)(li0 xgfxx7、 sin5xd8、方程 的通解是 。0)(xqyp dxpdxpeqCy)()(9、在极坐标下，由曲线 ， （ ）围成的平面图形)(,),(1),(2)(21的面积 。dA)(212110、 ，则 。atxxe)(lim得分 评卷人因为 ， ，所以 2axxe)1(l
9、imaatatt eed)1( 2、计算题（每题 7 分）1、 ，且 ，求12xfy2sin)(xfdy解 因为： 。所以：22 )1(3)1( xff dxdy22sin)(32、求曲线 在点 的法线方程。teyxtcos2in)1,0(解 ， ， ，)(ittt )sin(coteyt 210tdxy1xy3、 Cdedxexxx12)1(14、 1100010 eexeexex x5、 43123,ma 4311423432 xxdd6、 解 1 arcsin2)()( 0020 xxd解 2 ，令 ， ， ，1010)(dtx121tdtdx2)1(所以： 4arctn2)()1( 0
10、020220 tttxd7、求 的通解y解 原方程化为： ， ，所以原方程的通解为：ydxxd)(21)(2yxdCy28、求二阶方程 的通解xey24解 特征方程为 ，特征根为 ， 齐次方程的通解为 ，设原方程的一02r2,1r xxeCY221得分 评卷人个特解为 ， ， ，代入方程得 ，所以原方程的通解为：xaey2xey2)1( xeay2)1(4 41a。xxC22143、已知曲线 与 在点 处有公切线，求)0(,axyxyln),(0y（1）常数 与切点 。 （5 分） （2）曲线与 轴所围的几何图形的面积。 （4 分）a),(0yxx（3）该图形饶 轴旋转所成的旋转体的体积。 （
11、5 分）解 （1）因为 ， ， ， ， ，所以 ，由此得2x1a21aayln1e， 。20ex10y（2） 263)1(222 eedyeAy（3） ln)(210 dxxV高等数学试卷（同济六版上）四1、填空题（每题 2 分，共 18 分）1、函数 在 上连续，则 。 0 ,1sin)(xxaf ),(1a2、 。 因为：xi3lm0 3limsin31l00xxx3、当 时， 是关于 的 阶无穷小。12x因为 ，所以 是关于 的 2 阶无穷小。12limli020 xxx 12xx4、已知 ，则 = 。)(0f hffh)(li00 4)(22)(li2)2li 00000 xfhxfx
12、fxfxf hh5、 = 。2324sn(dx得分 评卷人得分 评卷人5642)sin(02324 xdx6、已知 则 。,)(02dtexf)f因为 ， ，则2(xe2)(xef )(f7、 xfxfd)()(8、微分方程 ，称为 三阶线性 微分方程。5y9、方程 的通解为 。042 xeCy212、填择题（每题 2 分，共 10 分）1、设 则 是 的（ A ）0, 0)1()(1xxf x)(f（A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）连续点 （D）跳跃间断点解 因为 )0(2lim)(li00 ffxx 2、函数 在点 处的导数是（ D ）2（A）1 （B）0 （C）1 （D）不存在3
13、、已知 的一个原函数是 ，则 （ C ）)(xf 2xedxf)(（A） （B） （C） （D）2e2e)12dxfxf)(解 因为 ，所以22)(xxef Cedxfxfdf 21()( 24积分中值定理 ，其中（ B ） 。baabfdf)()(（A）是 a，b 内任一点 （B ） 是a，b内必存在的某一点（C）是a，b内唯一的某一点 （C ） 是a，b内中点5方程 是（ B ）0)ln(lyxy（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）齐次方程 （D）以上都不对3、解答题（每题 4 分，共 40 分）1、求极限 )1(3lim31lisinarctlm202030 xxxxxx 得分
14、评卷人得分 评卷人2、求极限 0)1(2lim1)ln(im400202 xdtxxx3、已知 ，求arcsieyy解 xx21124、已知 ，求 。yed解 yxexy 15、设 ， 存在，求)(xef)(f 2,d解 ， xfy )()(xxefefy6、求 Cd 655 1212()12(7 、求 xln解 Cxxx dxxdxxd )1ln(2)(41)ln(21 12)l(1)l()l( 222 28、求 10d解 设 ，则：tsi 2)4cos1(82sin41cosin400402102 dttdtdx9、求 dxe解 1000 dxexedxe10、已知 ，求,1)(xf 12
15、)(f解 设 ，则：t 2001212 1)()()( dxedtdtfxf11、求微分方程 的通解。0yx解 原方程化为： ，令 ， ，代入方程，得：2xydxudxuy2u dxu12两边积分得： yxueCexCxu1|ln1四、函数 的单调区间和极值（8 分）xy2l解 和 。10ln22xy e,1 2,2e,2y 0 0 0极 小f 24ef极 大 五、求曲线 和 围成的图形（1）面积 ， （2）分别绕 轴xy223yx和 轴旋转一周所成的立体体积。 （9 分）解 交点 )2,1(（1） 213dyyA（2） ，3110)(xdVx 2421)3(dyyVy七、证明题（7 分）设在0，1上连续，且单调减少，证明，当 时)(xf 010)()(dxfdxf证 令 ，则：100)()(dxfxfF0)()1( )(1()1()(21 210 100 ff ffdxdx dxdxfff得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人
