1、第一章习题解答1 设随机变量 X 服从几何分布，即： 。求(),01,2kPXpqX 的特征函数，EX 及 DX。其中 是已知参数。01,p解 0()()jtxjtkXkftEeeq0()kjtkpe= 0()1jtkjtk pqqe又 200() kkkEXpp22()(qDEXP（其中 ）0001nnxx令 0()nnS则 100 0()(1)xx nnk xStdtdx 202 20()()(1)1()xnnSxStxx同理 20000kkkkx令 则20()1)kkSxx）2 1000()()()kkkkktdtdxx :2、 （1） 求参数为 的 分布的特征函数，其概率密度函数为(,
2、)pb1,0() ,)bxexp（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。解 （1）设 X 服从 分布，则(,)p10()()jtxbxfteed1()0()ppjtbxxed10 1()()()()pupppbebujtxdjtjtjtb 10()xpped（2） 1()()XEfjb2 2(1)()0)Xpfj22()()PDEb（4） 若 则,iiXpb:1,121212 ()()()(PXXjtftftb,YP:同理可得： ()()ii PXftbjt:3、设 X 是一随机变量， 是其分布ln(),()kZFXEZ并 求 是 常 数
3、） 。 ()Fx函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1） (),0,)Yab是 常 数 ；（2） ln(kZFXEZ并 求 是 常 数 ） 。解 （1） 11)()()PFxyPxFyy（ ） 01y00()11y在区间0，1上服从均匀分布()Fx的特征函数为()1100()()jtxjtxjtXeftd()()()jbt jbtjtaYXftefatejt（2） ln()jtzjtFxZftE=1ln01jtyed=101jtyjt 2()()Zftjt 23()1()(1)Zftjjt() (1)1)!(kkkZftjjt()()0()!kkkZEfj4、设 相互独立，且有
4、相同的几何分布，试求 的分12nX， ， 1nkX布。解 11()()nknkk jtxXftEe = 1()knjtxke= 1njtkpq= ()njtne= 0kkjtnCpq1()nknkkPx5、 试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变()jtjtefn量的分布。证 （1） 000(1)(1)lim()lilimjtjntjtjttt teef 000(1)(1)lim()lilimjtjnt jtjttt teef f为连续函数0li()1t()ft1 11()()i ikkikjtjtnn njtjtikik ikik ikjteeft e = 1()1)i i ikkki
5、kjtjtjtnjtjtjtikik jteen=()11iknnjtlikikle= 11ikjltnnijltikle= 11i knnjlt jltilkl1()0nikiikft非负定（2） ()1jtjntef=2(1)()(1)jtjtjtjtntjeen= 1njtk（ ）1kPxn0,2kn6、证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分21()ft布。解 （1） 1()nikiikft= 22110()nnikikikiktM（ ）1,maxiijnMt且 连续 为特征函数()f(0)f()ft（2） 2211()ftjtjtjt= (1)(1)00 jtxjtxeded
6、= 2jtx= 1xjted()2xP:7、设 相互独立同服从正态分布 ，试求 n 维随机12nX， ， 2(,)N向量 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求(,) X的率密度函数。1nii解 121(,)()innxiiPxxP212()1exp()niina又 的特征函数为：iX 21iXftjatt12 21,12 11(,)()exp()n nnX i iiiifttftjatt 均值向量为,协方差矩阵为 22(,)Bdiag又 211()(,)()expntt tnn nX iftf fjatt 8、设 XY 相互独立，且（1）分别具有参数为 及 分布；(,)m(,)p（2）分
7、别服从参数为 。求 X+Y 的分布。12(,),pb的 分 布解（1） 0knjtxjtxxnXxftePeCpq= 0()nitnxpq= 0()npjtxnqxeC= 1pnjtq= ()jte则 12,1,2()jtjtmnXYftpeq()jtmXYXYftftp,)bn:（2） 112()12()(),pXpXYjtftbjtftb:9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为214(),(,)0xyxypxy其 他求其特征函数。解 12()12(,)jtxtyftEe 12()3314()jxtyxdy 1 332 220cos()sinjtxedtjty 1212sintt10、已
8、知四维随机向量 服从正态分布，均值向量为 0，34(,)X协方差矩阵为 4,)klBE12求 （ ） 。解 1441414 0(,)(,)(tftj 又 1142,expfttB 41klklt其中 121342341243Bcov(,)klklX(,)kl1234124314E1234（ X） =11、设 相互独立，且都服从 ，试求随机变量123， 和 N（ 0， ）组成的随机向量 的特征函数。112YX和 12（ Y， ）解 12,331231(,)expX kftjtx3211ekjtx kk t 123, 234(,)Xfu 21exp)u12、设 相互独立，都服正态分布 ，试求：12
9、3X， 和 N（ 0， ）（1） 随机向量 的特征函数。123（ X， ， ）（2） 设 ，求随机向量1 123,SSX的特征函数。23(,)（3） 组成的随机向量 的特征函数。11232YX和 12（ Y， ）解（）123 22,233133(,)exp()()Xftttttt（） 12,3 2(,SfEjss1231233exp()()Ejttxttx 123,233(,)Xfttt 22133exp()()ttt（） 1212 (),jtytYfEe 123exp()Ejttx 22211exp()tt13、设 服从三维正态分布 ，其中协方差矩阵为123（ X， ， ） N（ 0， B）
10、，且 试求 。,ld3B=（ ） 2123.解 22223()()()EXX 2 461311321EE又 2()expfttB12344201ttb同理可得 421313()EX22b62123113231()8b2 21 2()8EXX14、设 相互独立同服从分布 。试求12n， ， N（ 0， ）的期望。1exp()nniiY解 2(0,)kXN:(1,2)kn令 12(,)nXx 12(,)ntt则 22 21()exp(,)expnX kfttdiagtt21()e()nn kEYt21kxn kked122()nkyx 2121()kn yk ed 21()k 2()n15、设 X
11、Y 相互独立同分布的 随机变量，讨论(0,N的独立性。 2UV和解 221ZXY有 或1221 12zxzxyz1212zxyz则21 22()xyJy又 2(,)XYRe 2(,)xyR112 2, 122()(0,)()zZPzezRz112()zZ1(0)2 2()ZPzz2zR服从指数分布， 服从柯西分布，且1 2Z对 有2,(),zR1212, ()()ZZZPPzpz相互独立。16、设 X Y 相互独立同服从参数为 1 的指数分布的随机变量，讨论 的独立性。UV和解（1） 0()xXeP(), ,0()0xyXY其 它(2) 1uUV veP:-u(1v)+（ ） =e其 它(3)
12、 0()(,)UVude:0 1()10VuvPve或对 均成立(,)()UVUVu:2(,)R相互独立,17、设二维随机变量 的概率密度函数分别如下，试求（ X， Y）)YyE（ X（1）1,0(,)xyepx其 它（2）2,(,)0xyy其 它证 （1） ()XYEYxPd=001xyxyed（2）21()xyxyeyEXYd:18、设 X、 Y 是两个相互独立同分布的随机变量， X 服从区间0，1上的均匀分布， Y 服从参数为 的指数分布。试求（1） X 与 X+Y 的联合概率密度；（2） ().DXy解 10,()XxP其 它()0yYe, 1()0yXYxePx0其 它 令 则 UV
13、1Jxuyv(), , 01()()vuXYXY vuePuvuJ :其 它（2） 11342Dyx19、设 是一列随机变量，且 ，其,01,2nX012nkknX中 K 是正常数。试证：（1） 当 。1nkX时 ， 几 乎 收 敛 于 0（2） 当 均方收敛于 0；2时 ，（3） 当 nk时 ， 不 均 方 收 敛 于 。证 令 0XkP1kn21kn1knX0kP21kn2kn0 2nX2( 当 ， ) 几乎肯定lim1nP1klim0knnX收敛于 022knnEX当 222limli0knnnkEX:时 ，均方收敛于 0当 时，k2linn即 X不 均 方 收 敛 于 。20、设 , .PPPnnnaYbYab 试 证证 0=()(nxy()()nnxy22nayb0()(nPxyab02nPy()nxy
