1、1第三章 微分中值定理与导数应用主讲-姜进进第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理1. 罗尔定理罗尔定理 如果函数 满足：（ 1）在闭区间 上连续 （2）在开区间 内)(xf ,ba),(ba可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在 内至少在一点)(f),( 使得函数 在该点的导数等于零，即 )(ba 0证明：由于 在 上连续，因此必有最大值 M 和最小值 ，于是有两种可能(f,ba m的情形：（1） ，此时 在 上必然
2、取相同的数值 M，即mM)x, .)(xf由此得 因此，任取 ，有.0(f ),(ba.0)(f（2） ，由于 ，所以 M 和 至少与一个不等于 在区间 端点)(fam)(xf,ba处的函数值.不妨设 (若 ,可类似证明),则必定在 有一点 使 . f ,baMf)(因此任取 有 , 从而由费马引理有 . 证毕,bx)fx0)(f例 1 验证罗尔定理对 在区间 上的正确性32(,1解 显然 在 上连续，在 上可导，且)(2xxf )(x3,)3,1(, 又 , 取 ,有 .03)(f )(0f说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的 可能多于一个，也
3、可能只有一个.例如 在 上除 不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 2,xy,)0(f但在区间 内找不到一点能使 . xf二、拉格朗日（Lagrange）中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 满足（1）在闭区间 上连续 （2）在开区间)(xf ,ba内可导 那么在 内至少有一点 使得等式),(ba),(ba)a2)()(abfafb2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理 1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式.例 4 证明当 时,0xxx)ln(证明: 设 , 则 在 上满足拉氏定理的条件)1l()ff,0于是 )()(0xxfx又 , 于是 ff1),)( 1ln而
4、, 所以 , 故x0x从而 , 即x1x)1ln(三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数 及 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且)(xfFba)(ba在 内每一点处均不为零，那末在 内至少有一点 ,使等式)(xF,ba),(成立)()(ff例 5 设函数 在 上连续,在 内可导,证明:至少存在一点 ，使xf10)()1,0()(2)(f证明与分析: 结论可变形为 2)(01fxf2设 ，则 在 上满足柯西中值定理的条件2)(xg)(,xgf,于是至少存在一点 ，使2)(01ff3所以至少存在一点 ，使)1,0(2)(0)(ff即 2)(ff第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用
5、洛必达法则求 型和 型以及 型未定式0,0的极限的方法; 了解 型极限的求法.0,1教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法.,教学内容： 一 型和 型未定式的解：法洛必达法则0定义：若当 （或 ）时，函数 和 都趋于零( 或无穷大)，则极限ax)(xfF可能存在、也可能不存在，通常称为 型和 型未定式.)(lim)(Ffxa 0例如 , ( 型); , ( 型).xtnli0bxaxsinlm0定理：设 (1)当 时, 函数 和 都趋于零;)fF(2)在 点的某去心邻域内, 和 都存在且 ;a()0)(xF(3) 存在(或无穷大),)li)(xfax则 (l
6、imliFffaxax定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则例 1 求 , ( 型)xtnli0解 原式= =)(talim0x 1secli20xx例 2 求 , ( 型)3li21x4解 原式= = 123lim1xx 26lix3例 3 求 , ( 型)xxarctnli0解 原式= = =121limxx2lix例 4 求 , ( 型).baxsinl0解 原式= = =1xcoaxbcosli0例 5 求 , ( 型)x3tanlim2解 原式= = = xsecli2xx2cos3li1 xsinco236lim1= = xin6l
7、2li2x注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例 6 求 xtalim20解 原式= = = =30nlixx 201seclix20tanlim3x31二 型未定式的求法0,1,关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 型和 型.01 型未定式的求法0步骤： 或,101例 7 求 型.lim2xxe)(解 原式= =2lixxli2limxe.型.25步骤： 01.例 8 求 型).sin(lm0xx)(解 原式= xcossinl0.0型0,1.3步骤： ln010取 对 数 .例 9 求 型.lim0x)(解 原式= xxeln0ix
8、xlnim0xe1lni0201limx0e.例 10 求 型.li1x)(解 原式=xxeln1limx1lnim1lixe.例 11 求 型.)(cotliln0xx)(0解 由于)l(cot1l xxe而 )ln(ctlim0xxx1sintli20xxsincolim01所以 原式= .1e注意：洛必达法则的使用条件例 12 求 .coslixx解 原式= 极限不存在 1inm).sin(lixx（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式= )co(lix.16第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间。教
9、学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法。教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。教学内容： 一、函数单调性的判定法如果函数 在 上单调增加（单调减少） 那么它的图形是一条沿 轴正)(xfy,bax向上升（下降）的曲线 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的） 即(或 ) 由此可见 函数的单调性与导数的符号有着密切的关0f系 反过来 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理 1 (函数单调性的判定法 ) 设函数 在 上连续 在 内可导 )(xfy,ba),(1)如果在 内 那么函数 在 上单调增加 ,ba(f(2)如果
10、在 内 那么函数 在 上单调减少 0)xf,证明 只证(1)（2）可类似证得）在 上任取两点 应用拉格朗日中值定理 得到,)(,212 )() 212 xxff 由于在上式中 因此 如果在 内导数 保持正号01x,baf即 那么也有 , 于是)(f)(f1212从而 ，因此函数 在 上单调增加 证毕2xfxfy,注 判定法中的闭区间可换成其他各种区间 例 1 判定函数 在 上的单调性 ysin,0解 因为在 内 ),0(co17所以由判定法可知函数 在 上单调增加 xysin2,0例 2 讨论函数 的单调性 1ex解 由于 且函数 的定义域为x ),(令 , 得 , 因为在 内 所以函数 在0
11、y),(y1xey上单调减少 又在 内 所以函数 在 上(0x),0单调增加 例 3 讨论函数 的单调性 32xy解 显然函数的定义域为 , 而函数的导数为)(32xy)(所以函数在 处不可导 0又因为 时 所以函数在 上单调减少 0,(因为 时 , 所以函数在 上单调增加 xy)说明: 如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 那么只要用方程 的根及导数不存在的点来划分函数 的定义区间 就能保证0)(f (xf在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数 在每个部分区间上单调 )(f )例 4 确定函数 的单调区间 31293xf解 该函数的定义域为 ),(而 ,令 ,
12、 得 (68)2xf 0)xf21列表 1,),(f ) 函数 f(x)在区间 和 内单调增加 在区间 上单调减少 ,)2,例 5 讨论函数 的单调性 3y解 函数的定义域为 ,(函数的导数为 , 除 时 外 在其余各点处均有 因2x0y0y此函数 在区间 上单调减少 3y8因为当 时 , 所以函数在 及 上都是单调增加的 0xy),0,从而在整个定义域 内 是单调增加的 其在 处曲线有一水)(3x0x平切线 说明:一般地 如果 在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正（或负）时 f那么 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 )(f例 6 证明 当 时 1xx132证明 令 则)()
13、(f )1()(2 xf因为当 时 因此 在 上单调增加 从而当 时 0f,1x,又由于 故 )1(x0)(f即 也就是 ,( ) 0)3(2xx132二、曲线的凹凸与拐点1. 凹凸性的概念 定义 设函数 在区间 I 上连续 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，fy则称该曲线在区间 I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间 I 上是凸的 2.曲线凹凸性的判定 定理 设 在 上连续 在( a b)内具有一阶和二阶导数 那么)(x,(1)若在 内 则 在 上的图形是凹的 ba0fxf,(2)若在 内 则 在 上的图形是凸的 证明 只证(1)(2)的证明类似
14、) 设 记 )(2121x210x由拉格朗日中值公式 得 2)()()( 10101 fxfxff 01x )()()( 120202xffff 20两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)()(2)( 11201 xffxffxf )(12f2即 所以 在 上的图形是凹的 )(2121xfxff(f,ba9拐点 连续曲线 上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 )(xfy确定曲线 的凹凸区间和拐点的步骤 (1)确定函数 的定义域 f(2)求出在二阶导数 )(x(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 注 根据具体情况（1） 、 （3）步有时省
15、略 例 1 判断曲线 的凹凸性 yln解 x21x因为在函数 的定义域 内 所以曲线 是凸的 l),0(yxyln例 2 判断曲线 的凹凸性 3y解 因为 令 得 2x6x当 时 所以曲线在 内为凸的 ,(当 时 所以曲线在 内为凹的 0y)0例 3 求曲线 的拐点 1423x解 ，令 得 62x(6y21x因为当 时 当 时 所以点( )是曲线的拐点 1y2x0例 4 求曲线 的拐点及凹、凸的区间 34解 (1)函数 的定义域为 ),(2) 231xy )32(6246 xy(3)解方程 得 0132x10(4)列表判断 在区间 和 上曲线是凹的 在区间 上曲线是凸的 点 和0,()3232
16、,0)1,0(是曲线的拐点 )71例 5 问曲线 是否有拐点？4xy解 32当 时 在区间 内曲线是凹的 因此曲线无拐点 ),(例 6 求曲线 的拐点 解 (1)函数的定义域为 (2) 32 1xy 32 9xy(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 0x(4)判断 当 时 当 时 00y因此 点 是曲线的拐点 ),(第五节 函数极值与最大值最小值教学目的：理解函数极值的概念，掌握函数极值和最大值、最小值的求法及其简单应用教学重点：函数的极值概念、函数极值的判断方法和求法教学难点：函数极值的概念教学内容：一、函数的极值及其求法定义 设函数 在 的某一邻域 内有定义 如果对于去心邻域
17、 内的任)(xf0)(0xU)(0xU一 ，有 （或 ） 则称 是函数 的一个极大值（或xf)(ff)(0xf)(f极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 说明：函数的极大值和极小值概念是局部性的 如果 是函数 的一个极大ff值 那只是就 附近的一个局部范围来说 是 的一个最大值 如果就 的整0 )(0f )(x个定义域来说 不一定是最大值 对于极小值情况类似 )(xf极值与水平切线的关系 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上有水平切线的地方 函数不一定取得极值 由费马引理可得定理 1 (必要条件)设函数 在点 处可导 且在 处取得极值 那么函数
18、在 处)(xf00x0x的导数为零 即 0xf定理 1 可叙述为：可导函数 的极值点必定是函数的驻点 但是反过来 函数的驻点却不一定是极值点)(xf考察函数 在 处的情况 显然 是函数 的驻点，但3)(f 3)(xf却不是函数 的极值点0定理 2 (第一种充分条件)设函数 在点 处连续 在 的某去心邻域 内)(xf00),(0U可导 (1) 若 时， 而 时， 则函数),0x ),(x)f在 处取得极大值 (xf0( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )f (x) 0 0 1 11/27 11(2) 若 时， 而 时， 则函数),(0x0)(f ),(0x0)(xf在 处取得极小值
19、)(xf0(3)如果 时， 不改变符号 则函数 在 处没有极值 U f定理 (第一种充分条件)设函数 在含 的区间 内连续 在 及xf0,ba),0a内可导 ,b(1)如果在 内 在 内 那么函数 在 处取得极,0xa)(f),(0b(f )(xf大值 (2)如果在 内 在 内 那么函数 在 处取得极(0小值 (3)如果在 及 内 的符号相同 那么函数 在 处没有极值 ),0),(b(xf )(f0定理 2 也可简单地叙述为 当 在 的邻近渐增地经过 时 如果 的符号由负00x)(xf变正 那么 在 处取得极大值 如果 的符号由正变负 那么 在 处取得(xf )(f 0极小值 如果 的符号并不
20、改变 那么 在 处没有极值 0确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数 )f(2)求出 的全部驻点和不可导点 (3)列表判断(考察 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况 以便确定该(x点是否是极值点 如果是极值点 还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值) (4)确定出函数的所有极值点和极值 例 1 求出函数 的极值593)2f解 63(2xf )(1令 得驻点 列表讨论，0.,2x),()3,1(),3()(xf00极大值 极小值 所以极大值 极小值)1(f,02)3(f.函数 的图形如下593)(2xxf例 2 求函数 的极值 2)1(4f解 显然函数 在 内连续 除 外处处
21、可导 且)(x,1x令 得驻点 ， 为 的不可导点 315f )(xf )(xf(3)列表判断 x),(1 )1,(1 ),()(f 不可导 0 x 0 34所以极大值为 极小值为 )1(f )1(f如果 存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有)(f定理 3 (第二种充分条件 ) 设函数 在点 处具有二阶导数且 )(xf0 0)(xf 那么0xf12(1)当 时 函数 在 处取得极大值 0)(xf )(xf0(1)当 时 函数 在 处取得极小值 证明 对情形(1) 由于 由二阶导数的定义有 0)(lim)(00xffxfx根据函数极限的局部保号性 当 在 的足够小的去心邻域内时 但 所以上
22、式即为 0)(xff 0)(xf 0)(xf于是对于去心邻域内的 来说 与 符号相反 因此 当)(f0即 时 当 即 时 根0x0x)(fx0x)(f据定理 2 在 处取得极大值 )(f类似地可以证明情形(2) 说明：如果函数 在驻点 处的二导数 那么该点 一定是极值点 xf00)(xf 0x并可以按 的符来判定 是极大值还是极小值 但如果 定理 3 就不)(0f )(f )(f能应用 例如讨论函数 在点 是否有极值？4f3xg因为 ，所以 ，3)(xf 21)( )(f)(f但当 时 当 时 所以 为极小值00而 ，所以 ，2g6g但 不是极值 )0(例 3 求出函数 的极值2432xxf解
23、 2xf )(令 得驻点 ，由于，)(,16)(xf由于 所以极大值408f60而 所以极小值f,)(.8函数 的图形如下243)(2xx注意 当 时， 在点 处不一定取得极值，此时仍用定理 2 判断。0)(xf)(xf0函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例 4 求出函数 的极值32)(1)fMm13解 由于 ，所以 时函数 的导数 不存在)2()(32)(31 xxf 2x)(xf)(xf但当 时， 当 时， 所以 为 的极大值;0f .0)(f1ff函数 的图形如下32)(1)xf例 5 求函数 的极值 1)()32xf解 ,令 f (x)0 求得驻点6(xf 1,0,132xx又 ,
24、 所以526)(f因此 在 处取得极小值 极小值为 )0因为 所以用定理 3 无法判别 而 在 处的左右邻域内)(1ff )(f 所以 在 处没有极值 同理 在 处也没有极值 .(1二、最大值最小值问题1极值与最值的关系 设函数 在闭区间 上连续 则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大)(xf,ba值和最小值有可能在区间的端点取得 如果最大值不在区间的端点取得 则必在开区间内取得 在这种情况下 最大值一定是函数的极大值 因此 函数在闭区间 上的),(ba ,ba最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者 同理 函数在闭区间a b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间
25、端点的函数值中最小者 2最大值和最小值的求法 设 在 内的驻点和不可导点 (它们是可能的极值点)为 则比较)(xf,ba nx,21的大小 其中最大的便是函数 在 上的最大(),21bfxn )(fba值 最小的便是函数 在 上的最小值 (f求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例 6 求函数 在 上的最大值和最小值1423xxy,3解 6)(2f 得解 方 程 0)(f 1,21x由于 ;)(f;7;4因此函数 在 上
26、的最大值为1423xxy,3)(f42最小值为 )1(f714例 7 求函数 在 上的最大值与最小值 23)(2xf 4,解 由于 ) ,1( ,23)(2xf所以 )2 ,( 34 ,)(xf求得 在(3 4)内的驻点为 ，不可导点为 xf 32,1x而 ， 0)1,2)f41)2(f 6)4(,0)(ff经比较 在 处取得最大值 20 在 处取得最小值 0 (xf 21x3. 最大值、最小值的应用实际问题求最值步骤:(1)建立目标函数; (2)求最值.例 8 工厂铁路线上 AB 段的距离为 100km 工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB 为了运输需要 要在 AB 线上选定
27、一点 D 向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3:5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 问 D点应选在何处？解 设 则 )(kmxAD)(10kmxB20xCD)(402kmx再设从 B 点到 C 点需要的总运费为 y 那么 ( 是某个正数)Bk35即 2405xky()(3xk于是问题归结为 在 内取何值时目标函数 的值最小 10, y先求 对 的导数 解方程 得 yx)345(2xky 0)(15kmx由于 其中以 为x40x8015 2105|kyx kyx38015最小 因此当 时总运费最省 )(kmAD第六节 函数图形的描绘D20
28、kA B10km15教学目的：培养学生运用微分学综合知识的能力，描绘函数的图形。教学重点：复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。教学内容：一、渐近线当曲线 上的一动点 P 沿曲线移向无穷点时，如果点 P 到某定直线 L 的距离趋)(xfy向于零，那么直线 L 就称为曲线 的一条渐近线。)(xfy1 铅直渐近线（垂直于 轴的渐近线）如果 或 ，那么 就是曲线 的一条铅直渐)(lim0xfx)(li0fx 0x)(xfy近线。例如曲线 有两条铅直 渐近
29、线)3(21xy 3,2x2 水平渐近线（平行于 轴的渐近线）如果 或 （ 为常数） ，那么 就是曲线 的bfx)(limbfx)(li by)(xfy一条水平渐近线。例如曲线 有两条水平渐近线 yarctn2,y3 斜渐近线如果 或 （ 为常数）那么0)()libxfx 0)()limbaxfx a,就是曲线 的一条斜渐近线。ay(fy注意：如果(1) 不存在；x)li(2) 存在，而 不存在, 那么曲线 无af( )(liaxfx)(xfy斜渐近线.斜渐近线的求法：求出 ， ，则 就是曲线 的斜渐近xf)(limbxf)(li by)(xfy线例 1 求曲线 的渐近线132)(f解 , 因
30、为 , ,:D)(limxf )(li1xf所以 是铅直渐近线x16又因为 , xf)(lim2)1(32lix132lix41)()(limxx所以 为斜渐近线4y二、描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域 并求函数的一阶和二阶导数 (2)求出一阶、二阶导数为零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点 (6)联结这些点画出函数的图形 例 3 画出函数 的图形 123xy解 (1)函数的定义域为 ( ) (2) (3x1)(x1)2x 令 得 ，再令 得 0
31、y1,30y31(3)列表分析 x( 1/3) 1/3 (1/3 1/3) 1/3 (1/3 1) 1 (1 )y 0 0 0 y 极大 拐点 极小 因为当 x 时 y 当 x 时 y 故无水平渐近线计算特殊点 273)1(f 2716)(f0)(f1)(f0)(f 85)23(f描点联线画出图形 y,1(帠x x x117第七节 曲率教学目的：了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。教学重点：曲率和曲率半径的概念。教学难点：曲率和曲率半径的概念教学内容：一、弧微分设函数 在区间 内具有连续导数 在曲线 上取固定点)(xf),(ba )(xfy作为度量弧长的基点 并规定依 增大的方向作
32、为曲线的正向 对曲线上任一,(0yMx点 规定有向弧段 的值 （简称为弧 ）如下 的绝对值等于这弧段的长度 M0ss当有向弧段 的方向与曲线的正向一致时 相反时 显然 弧 是 00Ms0的函数 而且 是 的单调增加函数 下面来求 的导数及微分 x)(s)(xs )(s设 为 内两个邻近的点 它们在曲线 上的对应点为 M N 并设对,baxfy应于 的增量 弧 的增量为 于是x2s2xN2|)(|xN2|M2)(y 2|M21y xs221|xyN因为 1 又 0limx|MNli|x0lim因此 由于 是单调增加函数 从而 ds21y)(s 0dxs21y于是 这就是弧微分公式 x二、曲率及其
33、计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲线弯曲程度的直观描述 设曲线 C 是光滑的 在曲线 C 上选定一点 作为度量弧 的基点 设曲线上点 M 对0Ms应于弧 在点 M 处切线的倾角为 曲线上另外一点 N 对应于弧 在点 N 处切ss线的倾角为 弧段弯曲程度 转角相同弧段越TRAo2S13) 2S1)18越大转角越大 短弯曲程度越大用比值 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段 的平均弯曲程度记|sMN称 为弧段 的平均曲率 KMN记 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率s0lim在 存在的条件下 dsds曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程是 且 具有二阶导数（这时 连续 从而
34、曲)(xfy)(f )(xf线是光滑的） 因为 所以tandxy2secdxydxyd2221t1sec又 从而得曲率的计算公式1 23)(|ydsK若曲线的参数方程为 则曲率tx2/32)()(| ttK例 1 计算直线 上任一点的曲率 bay解 显然 ，所以直线 上任一点的曲率 , 即直线的曲率处处0, baxy0K为零例 2 计算半径为 R 的圆上任一点的曲率 解 由于圆的参数方程为 , 所以 tyxsincoR1即圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.例 3. 计算等双曲线 在点 处的曲率 1x),(解 由 得 因此 y123y 2,11xxyy曲线 在点 处的曲率为x)
35、,( 23)1(|yK231例 4 抛物线 上哪一点处的曲率最大？cbxa解 由于 由曲率公式 得 23)(1|baxK19显然 当 即 时曲率最大,它对应抛物线的顶点 因此 抛物线在顶02baxab2点处的曲率最大 最大曲率为 K三、曲率圆与曲率半径设曲线在点 处的曲率为 在点 M 处的曲线的法线上凹的一侧取一),(yxM)0(点 D 使 , 以 D 为圆心 为半径作圆 这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率1K圆 曲率圆的圆心 D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点 M 处的曲率半径 曲线在点 M 处的曲率 与曲线在点 M 处的曲率半径 有如下关系 )0(K 1注意：1.
36、曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例 5 设工件表面的截线为抛物线 y0.4x 2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 由于 8.0,.yxy 8.0,0xxy所以 .)1(|23yK抛物线顶点处的曲率半径为 故选用砂轮的半径不得超过 1.25 单位长 即直径5.1不得超过 2.50 单位长k)(xfyo20第四章 不定积
37、分与定积分4.1 不定积分一、教学要求：不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。不定积分的求法；（1）理解原函数、不定积分的定义及关系；（2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算；（3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法；（4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法三、教学内容：第二章讨论了如何求一个函数的导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数
38、（微分） ，求原来的函数问题，即求不定积分.4.1.1 不定积分的概念与性质定义 1 设 是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数 ,对于该区间)(xf )(xF上每一点都满足： 或 ,则称 是 在该区)(fFdxfdF)(f间的一个原函数.例如 已知 ,由于 满足 ,所以xf22x2)(是 的一个原函数. 同理， 等也都是2)(x)( 10,2x的原函数.f由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若 是 的一个原函数，则)(Ff也是 的原函数.且若 , 都是 的原函CF)(为 任 意 常 数 )(fG)(xf数则 ，知0)( xfxGFx,即它们仅相差一个常数.因此，若 是 的一个原函数，
39、则G的所有原函数可以表示为 .f C是 任 意 常 数定义 2 函数 的所有原函数，称为函数 的不定积分，记作 其f )(df)(中 称为被积函数 ， 称为被积表达式， 称为积分变量， “ ”称为积分)(d)(号.显然，若 是 的一个原函数，则由定义 2 可知x其中 C 是任意常数.Fdf因此，求函数 的不定积分，只需求出 的一个原函数 ,再加上任意常)(f )(xf)(xF数 C 即可 . 例如21Cxd32为 任 意 常 数cossin为 任 意 常 数exx为 任 意 常 数例 1 求函数 的不定积分f1)(解 （1）当 时，0xxln所以 0lCd（2）当 时，0xxx1).()ln(
40、所以 )0(l1Cd合并（1） （2）两式得到：)(lnxx由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质：1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算（1） 或 )()(xfdf ()()dfxfdx（2） 或 CF CF2. ()()(0)afxfxa因为 ，说明 是xfdd dxfa)(的原函数.()f3. ()()()xgfxg因为 ()()fdfdxdfgx22故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况.4.1.2 基本不定积分公式由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式.（1） （ 为常数）Ckxd（2） 11（3）
41、 xdln（4） Cex（5） 10ln aaxx 且（6） dsico（7） Cxi（8） tansecco122（9） xdxotsin22（10） ectasecC（11） oxx（12） darctn12（13） xxsi2例 2 求 d)5(2解 原式 .Cxx 5312注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任23意常数即已足够.下面类似情况就不特别加以说明.例 3 求 dx)3(解 原式 dx21232Cx113235例 4 求 xd2tan解 原式 dx1sec)1(sec2Ct例 5 设某厂生产某种商品的边际收入为 ，其中 为该商品QR30)(
42、的产量，如果该产品可在市场上全部售出，求总收入函数.解 因为 ，两边积分得QR30)(dd)(C2又因为当 时，总收入 ，从而 . 所以总收入函数为00)(R.23)(QR4.1.3 不定积分的几何意义若 是 的一个原函数，则曲线 称为 的一条积分曲线，)(xFf )(xFy)(f将其沿 轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点y处作切线，这些切线都是相互平行的，如图 4.1.240x0y图 4.1不定积分 在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程dxf)(为 .CFy例 6 求过点 且在点 处切线斜率为 的曲线方程.3,1y,23x解 设所求曲线方程为 ，因为 ，由不定积分定义，)(xF2)(有Cd32因所求的曲线过点 ，代入得到 . 于是所求的曲线方程为 .3,1 23xy4.1.4 不定积分换元法和分部积分法利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书1、2. 应该指出现在许多数学软件，如 Mathematica ，Matlab 等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分.1. 第一类换元积分法例 7 求 dx)13cos(解 选择新变量
