1、1第 2 章 导数与微分2.1 极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势.例 1 圆的周长的求法.早在公元 263 年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例 2 讨论当 x时， x1的变化趋势.例 3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。“一尺之棰，日截其半，万世不竭”庄子天下定义 2.3 设函数 )(f在点 0的邻域（点 0可以除外）内有定义，如果当 x无限趋于0x（但 0）时， x无限趋近于某个常数 A，则称 x趋于 0时，
2、 )(f以 A为极限，记为 fx)(lim0或 f)( )(0若自变量 x趋于 时，函数 没有一个固定的变化趋势，则称函数 )(xf在 0处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1. 0x时，（ 0x）2. 00)(（包括这两种情况）例 1 讨论2xy时, 2limx=？解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当 时， 42xy，即2limx=4例 2 讨论函数 12xy,当 时的极限 1lix解：此函数在 处没有定义，可以借助图形求极限 .由图形得到21limx2.1.3 左极限和右极限考虑函数 y，依照极限的定义，不能考虑
3、0x的极限 . 因为 xy在0x处无定义.2又如函数 01)(xf，如果讨论 0x是的极限，则函数分别在 0x和0x时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念.定义 2.4 设函数 fx()在点 0的邻域（ x0点可以除外）内有定义，如果当 x0且 x 无限于 （即 x 从 的左侧趋于 0，记为 x0）时，函数 fx()无限地趋近于常数 L，则称当 x 趋于 0时， f()以 L 为左极限 ，记作 = L； 如果当 x0且 x 无限趋于 0（即 x 从 0的右侧趋于 x0，记为 x0）时，函数f()无限地趋近于常数 R，则称当 x 趋于 时， f()以 R 为右极限，记作= R
4、.极限存在的充分必要条件：极限)(lim0xf存在的充分必要条件是：函数 fx()在 0处的左，右极限都存在且相等.即例 3 01)(xf, 求)(li0xf解：注意到此函数当 x=0 的两侧表达式是不同，在 0 点处分别求左、右极限.1lim)(li00xxf， 0lim)(li0xfx可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在 0 点处极限不存在.2.1.4 无穷小量 0)(li0xf称当 0x时， )(f为无穷小量，简称无穷小.补充内容：3无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量 y 以为
5、 A 极限的充分必要条件是： y 可以表示成 A 与一个无穷小量的和，即 )0(limlim无穷小量的有以下性质：性质 1 有限个无穷小量的和是无穷小量；性质 2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质 3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为x2lim，所以，当 x时， x2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当 0x（或 ）时，若 )(xf是无穷小（而 0)(xf），则 )(1xf是无穷大；反之，若 )(f是无穷大，则 是无穷小.例 4 2xy，当 0时， ?2x解： 由图
6、形可知，当 时， 0，当 x时， 2是无穷小量.2.2 极限的运算2.2.1 极限的四则运算法则在某个变化过程中，变量 vu,分别以 BA,为极限，则lim)li(， BAvuvlim)li(例 1 求2mx解：42)li()(lili 222 xxxx例 2 求 1lix解：21)(lim)(lilim11 xxxx例 3 求 x2li4解：31)(lim31li22xxx例 4 求 xx1li0解： )1(limli00 xxx)1(li0x 2li0x2.2.2 两 个 重 要 极 限1.sinlm0x几何说明： 如图，设 x为单位圆的圆心角，则 x对应的小三角形的面积为 2sinx，x
7、对应的扇形的面积为 2， 对应的大三角形的面积为 2tan当 0时，它们的面积都是趋于 0 的 ，即之比的极限是趋于 1 的.例 1 x3sinlm解： xil0=3sinl0xx 3sinlm0x2.e)1(lixxe)1(li0xx例 2 求极限 x)3(lim解: 31331e)(lim)(li)1(li xxxx例 3 求极限xx10)2(li5解 2210)2(1010 e)(lim(lim)2(li xxxxx2.3 函数的连续性定义 设函数 )(f在点 0的邻域内有定义，若满足)(li00ffx，则称函数)(xf在点 0处连续.点 x是 )(f的连续点.函数间断、间断点的概念如果
8、函数 f()在点 0处不连续，则称 fx()在点 0处发生间断.使 fx()发生间断的点 x0，称为 x的间断点例如 函数32,y， xycos,sin，xye,ln在定义域内都是连续的. 例 1 132)(xxf,问 )(xf在 1处是否连续？注意：此函数是分段函数， 是函数的分段点.解: )(lim)(li11xfx，2)(lim)(li11xfx不存在， f在 处是间断的.例 2 0sinxy,问 )(xf在 0处是否连续？解: 1silm)(li00 ffxx（无穷小量有界变量=无穷小量） )(xf在 0处是连续的.结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算
9、、复合运算在其有定义处连续；（3）初等函数在其定义区间内是连续的.例 3 xx20coselim解: 210cose1li 220 x6注意： x2cos1e是初等函数，在 0x处有定义，利用 结论有极限值等于函数值.2.4 导 数 与 微 分 的 概 念本节的主要内容是导数与微分的概念.三个引例边际成本问题瞬时速率问题曲线切线问题引例 1： 边际成本问题C总成本， q总产量已知 时当 q0),(（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）)(0），C)(0（成本平均变化率） ，qCq)lim00（边际成本）引例 2: 瞬时速率问题路程 S是时间 t的函数 )(tS，当 从 tt0时， )(
10、tS从 )(00tSt)(00（平均速率）tSt)(lim00（在 0t时刻的瞬时速率）引例 3：曲线切线问题考虑曲线 )(xfy在 0处的切线斜率.当 x0时，对应的 yy0，曲线上 )(,0xf和)(,(00xf两点间割线的斜率为ftan（当 x时） ， xffxx )(limtlitan000称为切线的斜率.qCqC)(lim)(0tStSt)(li)(007xffxf)(lim)( 00关于函数 )(fyxx0， )()(00xff，考虑极限 xffx)(lim00定义 设函数 y在点 的邻域内有定义，当自变量 在点 0处取得改变量)(x时，函数 取得相应的改变量. )(0xfxfy若
11、当 0时，两个改变量之比 x的极限fxfyx )(limli 000存在，则称函数 )(xfy在点 0处可导，并称此极限值为 )(fy在点 0x处的导数， 记为 )(0xf或 0x或 0dx或 0xy即 )(0f=ffx)(li0若极限不存在，则称函数 )(xfy在点 0处不可导.在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.导数定义的意义 数量意义 变化率 经济意义 边际成本 几何意义 切线的斜率例 1 2)(xfy，求 .)2(,3)1(ff思路：先求 ，再求 0.解：因为22)()(,)( xxff xxxx2)(limli2008所以 xxf2)(， 426321 ）（，）（，）（ ff
12、f例 2 gln，求 ).50(,g解: 因为 ln,)( xxx xxxxx100)(lniml)ln(i(xxx1elni10）（所以2)5.0(,)(g导数公式 x1)(ln求导步骤1、求 )(f； 2、求 0)(xf.注意： x是 的导函数，函数在 0处的导数值 0)(0xfxf微分的概念设 )(xfy，导数)(d)(xfyxfy，两边同乘 xd，得到函数的微分.微分 f)(d导数公式 xc1)(ln0)(xae)(lnsico)(si微分公式9由导数公式可以得到微分公式 xxxd)(d)( 11 xxd1)(ln1)(lncossincosinsicosicaaxxl)(l)(2.5
13、 导数的计算导数的加法法则设 )(,xvu在点 处可导，则 )(xvu在点 处可导亦可导，且 )()(x)(xvc（ 为常数）加法公式证明 )()(xvuxvu证：设 f，则 )()()( xvxxf ， )(xvuffux )lim0xxvvux )(li0)(lim0vxu xvxx (limli 00 )(xvu由已知条件， )(,vu均可导 .导数的乘法法则设 )(,x在点 处可导，则 )(xvu在点 处可导亦可导，且 )()( xvux)(cvc导数除法法则设 )(,xvu在点 处可导，则 )(xvu在点 处可导亦可导，且10)()(2xvuxvu（ 0)(xv）例 1 设函数 14
14、53y，求 ?y析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数 .解： )()(3xy（利用加法法则）1453x)(xvc=12 （利用导数公式 0,)(1）例 2 设 xxyln23，求 y.解： )()4()(ln2)(3xx（提示 xx1)(ln21）21例 3 设 4cosxyx，求 y.解：)()x（提示 xaxsin)(coln)( ）sin413lx4si3lx例 4 yl2， ?y解：因为xxln13（由对数的性质：xxln21lln） 所以 y2（其中常数的导数为 0）例 5 设xe，求 y.解：利用导数的乘法法则， )(e)(22xx（利用
15、导数公式xe)(）11)2(ee22xx例 6 4y，求 .解： 由导数基本公式34)(x利用导数的乘法法则 24xy 322224 4)()() xxxy 说明无论用哪种方法其结果是唯一的.例 7 xsin，求 y.解： 将函数看成xsin1，利用乘法法则求导. 22 cossincoi)(siin)1( xxy 利用导数的除法法则求导 2i)s(xy其中 xvxu)(,sin)(.两个结果是完全一样的.例 8 求 ta解： xxx 22cos1cos)in()cosi()(tn （利用三角公式 1i22）同理可求 2i)(t.2.5.2 复 合 函 数 求 导 法 则问题：2)3(xy，求
16、 ?y10，则 解：第一个问题2)(xy，求导数没有直接公式可用.方法 1：将函数展开 91243x利用加法法则有 128xy方法 2：将函数写成两个因式乘积的形式 )3()3(xy，利用四则运算法则求导数.12)32(4)(2)3( xxy第二个问题10，展开？共 101 项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论10)32(xy，引进中间变量 32xu99)(0du2.5.2 复合函数求导法则定理 设 y=f(u),u= (x),且 u= (x)在点 x 处可导， y=f(u)在点 u= x)处可导，则复合函数 y=f( (x)在点 x 处
17、可导，且)fyx或 xuy复合函数求导步骤分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若 )(),(),(xvufy，则 )()(xvufy 或 xvuxy注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.问题: 求由方程 12yx所确定的隐函数 )(的导数 ？ 解：先将 从方程中解出来，得到2xy和21xy分别求导 21xy和 21将2y和2y分别代入，得 yx013x（1）由（1）解得:)1(2xy0exxy（2）在（2）中 0),(yxF隐含 )( 隐函数求导方法步骤方程两边求导， )(；13
18、整理方程，求出 y.例 1 求下列函数的导数或微分（1）xy2e，求 .解：方法一: 由xxxee)1(2xy2e.这是用导数的乘法法则.方法二: 利用复合函数求导法则，设 xuy2,exxuy2e)e(（其结果是完全一样的 )（2） ，求 .y解：利用复合函数求导法则，设 xuy,exuxuy21e)( .（3） cosln，求 yd.解：利用复合函数求导法则，设 xucos,lnxuyx tan)i(cos1)(1)(ln, xydtan例 2 设2，求 .0y解：先求一般点上函数的导数，再将 x代入求得结果.设21,xuy，利用复合函数求导法则， 21)()() xuxu , .0)(y
19、例 3 设函数 2sin3y，求 y.解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量） 32,i,xvu,2cosy 23)cos()sin(x )2cos()sin(633xx例 4 求函数31x，求 y.14解：231,xuy)()(12 32)1(x例 5 设函数 xycos3，求 y.解: vu1,xvuy)(cos)3(21)(x1inl2)(si)3l(21cosxx x1cos3inl例 6 求由方程 12y所确定的隐函数 )(y的导数 y.解：方程两边对自变量 求导数，此时 是中间变量.02yx,解出 yx（与前面的结果相同）.例 7 求由方程 0exy所确定的隐函数 )(xy的导
20、数 y？解：方程两边对自变量 求导数，此时 是中间变量.eexy,解得 注意：在隐函数的导数结果中常常含有 y.例 8 求双曲线 1y在点（ 1，1）处的切线斜率.分析：此题是求隐函数在某点处的导数.解：因为 0yx,所以 xy,且在点（1，1）处的切线斜率 1),(y2.6 高 阶 导 数)(f的高阶导数例 1：4x3)(dff15221)(d)(dxfxff ff4)()(3一般地， xfy，函数的 n阶导数记为 )(d)(xfyxnn例 1 求函数 52xy的二、三阶导数. 解： 4， 4， 0y例 2 求 )ln(xy的二阶导数 至 n导数.解： 1，2)1()(xy，32)(!)(xy nnn )(!)(
