线性代数电子书下载-样章.doc

1、线性代数电子书下载-样章.doc第 1 章 行列式第 2 章矩阵第 3 章线性方程组第 4 章矩阵对角化与二次型习题解答第 3 章 线性方程组线性方程组在经济领域、工程技术中都有着广泛的应用，第 2 章的矩阵理论，为研究线性方程组在什么条件下有解,以及在有解时如何求解提供了一个有利的工具。在这章里我们将借助矩阵这个工具对一般线性方程组解的相容性问题及解的结构问题进行讨论，介绍向量的概念、性质及方程组解的向量表示。一般的线性方程组是指形如(31)mnmnbxaxa 21 222 121的线性方程组.若记, ,mnmnaaA 212112nxX21mbB21则方程组(31)可写成矩阵形式 AX=B

2、 其中矩阵 称为系数矩阵(matrix of coefficients), 称为增广矩阵A（augmented matrix）.当 B0 时称为非齐次线性方程组 (nonhomogeneous system of linear equations),当 B=0 时即 AX=0 称为齐次线性方程组 (homogeneous system of linear equations).3.1 线性方程组 的相容性3.1.1 高斯 消元法从第 2 章矩阵的运算我们可以推出,对线性方程组进行初等行变换是不会改变其解的.定理 3.1.1:若将线性方程组 的增广矩阵 用初等行变换化为BAXBA,则方程组 与

3、是同解方程组.VUVU证 由于对矩阵施行一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵,因此存在初等矩阵 ,使得kP21线性方程组的研究有着悠久历史,它的解法，早在中国古代的数学著作九章算术 ?方程章中已作了比较完整的论述。在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的。高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) ，德国数学家、天文学家和物理学家。,VUBAPk1记 ,由初等矩阵的可逆性知 P 可逆.若设 X1 为 AX =B 的解,即 AX1=B,两Pk1边同时左乘矩阵 P,有 PAX 1=PB(PA)X1=PB即 UX1=V于是 X1 是方程组 UX=V

4、 的解.反之,若 X2 为 UX=V 的解,即UX2=V两边同时左乘矩阵 P-1，得 P -1UX2=P -1V（P -1U）X 2=P -1V即 AX2=BX 2 亦为 AX=B 的解。综上所述，AX=B 与 UX=V 的解相同，称之为同解方程组。 证毕.由矩阵的理论可知，我们应用矩阵的初等变换可以把线性方程组（3-1）的增广矩阵 化为阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵),根据定理 3.1.1 可知阶梯形矩阵(或简化阶梯A形矩阵)所对应的方程组与原方程组(3-1)同解,这样通过解阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组就求出原方程组(3-1)的解,这种方法称为高斯消元法(Gaussian el

5、imination).例 1 解线性方程组 423120321xx解:将方程组的增广矩阵用初等变换化为标准形 10011001 10015011 45423202321 323 132rr rr rA这时矩阵所对应的方程组为104321xx将 x4 移到等号右端得 4321x若令 x4 取任意常数 t,则得 , (32)txt43210或写成向量形式 104321tx其中 x4 称为自由未知数 (free unknown number)或自由元,(32)式称为方程组的通解（general solution）或一般解.例 2 求线性方程组的解53211321xx解: 0110102 021702

6、1453211 434321231 4321432 )1(rrr rrA根据定理 3.1.1 知,矩阵对应的方程组132x与原方程组同解,因此原方程组有唯一的解.例 3 求解线性方程组 32153431xx解: 5004751231 17450232323 132r rA根据定理 3.1.1 知,矩阵所对应的方程组(33)5047412321xx与原方程组同解.但方程组(33)由最后一个方程可知它无解,故原方程组无解.3.1.2 非齐次线性方程组的相容性如果一个非齐次线性方程组有解我们可以通过高斯消元法求得它的解.但是一个非齐次线性方程组满足什么条件时才能有解呢?线性方程组的相容性定理可以告诉

7、我们.定义 3.1.1: 如果一个线性方程组它存在解,则称方程组是相容的(compatible),否则就称方程组是不相容（incompatible）或矛盾方程组.在例 1、例 2 中方程组都存在解,因此它们都是相容的.同时我们会发现它们的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩: ,且例 1 中 ,方程组有无)(ArnAr43)(穷多解, 例 2 中 ,方程组有唯一的解.在例 3 中方程组无解,因此是不nAr3)(相容的,此时 .通过对上述例题的分析,我们可证得下)()( r即面给出的线性方程组的相容性定理:定理 3.1.2:对非齐次线性方程组(3-1)(1)当 时,方程组相容.且当 时有唯一的解,当)(

8、ArnAr)(时有无穷多解.nAr)(2) 当 时,方程组不相容.)(r证明:对 施以将 A 变成梯形矩阵 N1 的行初等变换,有 1NA其中 .于是,方程组(3-1) 被化成同解(等价)方程组Tm21 BX(34)1下面讨论这个方程组的相容性.(1)当 时,必有 .rAr)( 01mr若 ,则在方程组(34)中剔除后 个(如果 )系数及自由项全为零的平凡方程后,成nn为一系数矩阵为满秩矩阵的 线性方程组,容易求得其唯一解.n若 ,而 N1 各非零行的首非零元分别出现在 列,则在将方程组(34)中rri1以外的 未知数移向右端作自由项(即任意常数)对待后,可以求出 ,从而得riix,1 r r

9、iix,1到方程组解的一般表达式,即通解式.方程组的每个具体解都可由对通解中的常数取适当的指定值而得到.(2)当 时, 中至少有一个不为零,不妨设 ,于是方程组)()(Amr,1 01r(34)中含有一个无论什么数值 均不能满足的方程nx)0(011rx故方程组(34)无解,即方程组(31)无解,为不相容的. 证毕.例 4 对方程组kxk52183231问 k 取何值时方程组有唯一解?无穷多解?无解?在有无穷多解时求出通解.解: 2210514334205142105832221 31kkkkkkArk r 3145314022321 kkr(1)当 时，即当 时， 有唯一1342k且 nAr

10、)(解.(2)当 时,也有 ,故 ,方程组有无穷多解,03452k2)(r通解含有 个任意常数.此时矩阵对应的方程组13)(Arn2932x与原方程组同解,其通解为 txt321或写成向量形式 1203321tx(3)当 时, ,方程组无解.3k)()(Arr3.1.3 齐次线性方程组相容性设齐次线性方程组为(35)02122121nmmnxaxa 写成矩阵形式 0AX对齐次线性方程组(35)来说总是相容的,因为它至少有一个零解: .除TX)0,(此之外它还可能存在非零解.由定理 3.1.2 可直接证得:定理 3.1.3:方程组(35)有非零解的充分必要条件是 ,且在能得出任一解nAr)(的通

11、式中含有 个任意常数.有唯一零解的充分必要条件是)(Arn 例 5 求下列齐次线性方程组的通解 053521344xx解： 002143501 0021431731402704321531221 2243 1423 45r rr rA此矩阵对应的方程组即 021435421xx43215xx（其中 x3，x 4为自由未知数） ，取 ，则方程组的),(,1413为 任 意 常 数tt通解可写成：241322115txtx或写成向量形式 。10214351432ttx解中两个（即 个）非零向量 ， 都是方程)(ArnT)0,1435(1T)1,02(2组的解，可称它们为该方程组的一个基础解系,详细

12、内容将在后面介绍。习 题 3.11、判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。（1） （2）8310241x1244321xx（3） （4）6942531x253421xx2求齐次线性方程组 的通解。097154342421xx3问 k 取何值时，线性方程组 2321kx无解？有唯一解？有无穷多个解？有解时并求出它的解。4当 k 取何值时，线性方程组0)3(14228)(2xkx有非零解？并求出它的一般解。3.2 n 维向量及其线性相关性3.2.1 n 维向量的概念n 维向量就是一种特殊的矩阵.为从数学上摹写速度、位移、力、等物理量，出现了既有大小又有方向的向量，在数学中常用有向

13、线段表示，在笛卡尔坐标系中，可将向量的始点移到原点做成径向量，用终点的二维坐标（x， y） （在平面） 、三维坐标（x，y，z） （在空间）来表示。这二、三维数组（ x，y） 、 （x，y ，z ）就是向量。本节就是将在这二、三维向量的基础上进行推广。定义 3.2.1:由 n 个数 组成的一个有序数组称为 n 维向量(ndimensional na,21vector),记作(3na,216)或 Tnaa,21(37)其中 称为 n 维向量的第 i 个分量（component ）(或坐标). ),21(ia向量常用希腊字母 表示.,式(36)表示的向量称作 n 维行向量（row vector）,

14、式(37)表示的向量称作 n 维列向量（column vector）. 它们的区别只是记法不同.分量全为零的向量称作零向量（zero vector）,记作 0.定义 3.2.2:当两个 n 维向量 与 的naa,21nbb,21对应分量都相等时,即 ,则称向量 等于向量 ，记为 =。iiba)(按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法运算法则我们不难定义向量的加法和数与向量的乘法运算。定义 3.2.3:设 n 维向量 , ,则向量naa,21nbb,21b,1称为向量 与 的和,记作 .若记 为 的负向量,则可定义向量 与 的差:nb,21)(定义 3.2.4:设 n 维向量 , 是一个实数,则向量na

15、a,21naa,21称为数 与向量 的乘积,记作 .向量加法和数与向量的乘法两种运算,统称为向量的线性运算,它满足下面的运算律(设 , , 为 n 维向量, 是实数):(1) += +;(2) ( +)+= +(+);(3) +0= ;(4) +()=0;(5) 1=;(6) ( )= () ;(7) ( +)= + ;(8) (+ ) =+ .3.2.2 向量组的线性相关与线性无关定义 3.2.5:对于向量组 ,任取一组数 ,称m,21 mk,21kk是 的一个线性组合(lineat combination).对一个向量 ,若存在一组数m,21 ,使得k mkk21则称 可由 线性表示（li

16、near representation）,或称 是m,21 的线性组合.m,21例 1 设, 624,13,2,031 则 31所以 可由 线性表示.321,例 2 设三维向量 ,则对任何一个三维向量 都可10,0132ee 321a由 线性表示: .321,e 321a一般地,任何一个 维向量 都可由 维向量组nna2(38)10,012nee线性表示.向量组(38)称为 维单位坐标向量（unit coordinate vectors）.n设 nmmnnn aab 2121212121, 若 可由 线性表示,则必存在一组数 ,使m,21 k,1mkk21成立,它等价于方程组(39)nmnnm

17、bkaka 21 222 1121有解.因此有下面定理定理 3.2.1:向量 可由 线性表出的充分必要条件是方程组(39)有解,且,21方程组的一组解就是线性组合的一组系数.例 3 判断向量 能否由向量组 线性表出,若能,求出一组组合系数.其4321,中 102,132,0,14解: 由方程组 432kk即 10342131xx求解: 010210123143r 0102101102101022123 43214231)1( rr rr得 ,2,431 kk所以有 定义 3.2.6:对于向量组 ,若存在 个不全为零的数 ,使m,21 mk,21得(310)021mkk则称向量组 线性相关(li

18、near dependence);否则称向量组 线m,21 m,21性无关(linear independence),即当且仅当 时,才有21mkk021k成立.由定义 3.2.6 易验证以下结论的正确性:(1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关.(2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例.(3)如果向量组 中有一部分组线性相关,则向量组 必线性m,21 m,21相关.(4)如果向量组 线性无关,则任何部分组必线性无关.,21(5)如果向量组 线性无关,而向量组 线性相关,则 可m ,21m 由向量组 线性表出.,213.2.3 向量组的线性相关性的判定定义 3.2.6

19、表明, 向量组 线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程m,21组(311)021xx是有非零解还是只有唯一零解.即若线性方程组(311)有非零解 ,使mk,2121mkk则知向量组 线性相关.若线性方程组(311)只有唯一零解:m,21,021xx则向量组 线性无关.由此可得如下重要结论:,21定理 3.2.2:向量组, 21212121 nmmnn aa 线性相关(无关)的充分必要条件是矩阵nmnmaa 21211221)(的秩小于(等于)向量组 中向量的个数.m,21因为一个矩阵的秩不会大于矩阵的行数,因此可得下面的结论:定理 3.2.3:若 n 维向量组中向量的个数大于 n,则该向量组

20、必线性相关.例 4 判断下列向量组的线性相关性(1) . TTT )2,54(,)14,32(,3,13(2) .T)4,31(7004(3) ,TTTT dcba ),),(,),(, 322322321 其中 a,b,c,d 各不相同 .(4) TTT)1,(,)0,3( ,)10,(04454 321 解:(1) 0321440321 1490320394205423424 4241329)(rr rrA因为 ,所以 线性无关.3)(Ar321,(2) 0013103820134124704243 1432)(1 rr r因为 ,因此 线性相关.43)(Ar4321,(3)考虑齐次线性方

21、程组 即432xx(312)04332313 22321 xdcxba此方程组的系数行列式是范德蒙行列式,当 a,b,c,d 各不相同时有013322dcbaD由克莱姆法则知,方程组(312)只有零解.从而 线性无关.4321,(4)由定理 3.2.3 知,5 个四维向量必定线性相关.例 5 设四维向量组TTT aaa ),(,),(,),( 343213243212143121 线性无关,试证:在每个向量中添加一个分量,得到加长向量组T Taa a),( ,),(3543231 25423211也线性无关.证 因为 线性无关,所以相对应的齐次线性方程组321,(313)0342143231x

22、axa只有零解.考虑 相对应的齐次线性方程组3,(314)03521544332211xaxa显然,方程组(314)的每一个解都是方程组(313)的解.而方程组(313)只有零解,所以方程组(314)也只有零解,故此 线性无关.321,用同样的方法可把例 5 的结论推广到一般情形,即有定理 3.2.4:若 n 维向量组 线性无关，则在每个向量中添加 m 个分量，m,21得到的 n+m 维“加长”向量组 也线性无关。,定理 3.2.5:向量组 (m2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一21个向量可被其余向量线性表出.证 必要性 已知向量组 (m2)线性相关，由定义 3.2.6 知,有一组,21

23、不全为零的数 ,使得 mk,21 021mkk不妨设 km0,则有 121m即 121 mmmkk这说明 可以由其余向量线性表出.m充分性 已知向量组 (m2)中至少有一个向量可被其余向量线性表出 ,不,21妨设为 ,即 m 121mkk移项得 0121 mk因 中至少有1 不为零,所以 线性相关. 证,21mk m,2毕.由定理 3.2.5 可推得下面定理:定理 3.2.6: 向量组 (m2)线性无关的充分必要条件是其中任何一,21个向量都不能被其余向量线性表出.习 题 3.21.设向量 , 97,530,25,1(1)若 += ,求 ; (2)若 3-2=5,求 .2将下列向量用其余向量线

24、性表示：（1） 1=(1，1，-1) T, 2=(1，2，1) T , 3=(0，0，1) T, =(1，0，-2) T;(2) 1=(1，1，1, 1) T, 2=(1，1，-1 ，-1) T , 3=(1，-1，1，-1) T, 4=(1，-1，-1，1) T=(1，2，1，1) T。3判断下列向量组的线性相关性：（1） 1=(1，1，1) T, 2=(0，2，5) T , 3=(1，3，6) T；（2） 1=(2，-1，3) T, 2=(3，-1，5) T , 3=(1，-4，3) T（3） 1=(4，3，-1, 1，-1) T, 2=(2，1，-3，2，-5) T , 3=(1，5，2

25、，-2 ，6) T, 4=(1，-3，0，1，-2) T。4试证：（1）若 1， 2， 3 线性无关，则 2 1+ 2， 2+5 3，4 3+3 1 线性无关。（2）若 1， 2， 3 线性无关，则 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3 线性无关。3.3 向量组的秩向量组的秩是一个向量组所具有的一种属性,它揭示了向量组中各向量之间内在关系.它在线性方程组解的理论研究中起着重要的作用.3.3.1 等价向量组 等价向量组是指向量组之间存在的等价关系.定义 3.3.1:设两个向量组A: ; B: s,21 t,21若组 A 中每一个向量 都可由组 B 中的向量 线性表示,则称)(it向量组 A 可由向量

26、组 B 线性表示.若向量组 A 与 B 可以互相线性表示,则称向量组 A 与向量组 B 等价(equivalence).向量组的等价具有以下性质:(1)反身性 每一个向量组都与自身等价.(2)对称性 若向量组 A 与向量组 B 等价,则向量组 B 与向量组 A 也等价.(3)传递性 若向量组 A 与向量组 B 等价,又向量组 B 与向量组 C 等价,则向量组 A与向量组 C 等价 .例如 向量组 A: TTT 0,41,3,1,31, 321 与向量组 B: 02, 有 .213211,又有 32所以向量组 A 与向量组 B 等价.定理 3.3.1: 若向量组 中每一个向量都可由向量组 线性表

27、s,21 t,21出,且 tr)有相同的秩,证明: r sr121 向量组 与向量组 等价.r,21 sr,21 *3.4 向 量 空 间3.4.1 向量空间的定义定义 3.4.1:设 V 为 n 维向量的集合,若集合 V 非空,且对于加法及乘数两种运算封闭,则称 V 为向量空间(vector space).定义 3.4.1 中的封闭是指:若 则 ;若 则,RV.例 1 n 维向量的全体 R n,就是一个向量空间,因为对于任意 都有,n, 对于任意 都有 .故此,向量空间一般也记为 R n.RnR定义 3.4.2:设有向量空间 V1,V2,若 ,就称 V1 是 V2 的子空间(vector s

28、ubspace).21例 2 只有一个零向量构成的向量组,也是 R n 的一个子空间 ,称为零子空间（null subspace） 。 R n 和零子空间称为 R n 的平凡子空间（trivial subspaces） 。例 3 对于向量组 ,由于 ,所以向量组 S 不任 意 实 数aS1Sa21是 R 2 的向量子空间.3.4.2 向量空间的基与维数定义 3.4.3:设 V 为向量空间,若 r 个向量 ,且满足:Vr,21(1) 线性无关;r,21(2)V 中任一个向量都可由 线性表出,r,21则称向量 为向量空间 V 的一个基(basis), r 称为向量空间 V 的维数r,21(dime

29、nsion)，V 称为 n 维向量空间（ndimensional vector space）.如果向量空间 V 没有基,那么 V 的维数为 0,0 维向量空间只含一个零向量 .若把向量空间 V 看作向量组,则 V 的基就是向量组的极大线性无关组, V 的维数就是向量组的秩.例 4 在 R n 中,向量组 是线性无关的,且它是 R n 的极大无关组,所以ne,21是 R n 的一个基,从而 R n 的维数是 n.e,21定义 3.4.4:设向量 为向量空间 V 的一个基,对任意的向量 可唯一r,21 ,V的表成rxx21则数组(x 1,x2,xn)称为向量 关于基 的坐标（coordinates

30、 ）.r,1例 5 验证向量组10,32,01是 R 3 的一个基，并求向量 在该基下的坐标。2解：首先讨论向量组的线性相关性，因为 1021301302312 rr所以 是 R 3 的一个基。其次求坐标21, 101201213130)( 32123 12)(32 rr r所以有 ，故向量 在基 下的坐标为（0，1，-1）.321032,例 6 设 , 为两个已知的 n 维向量,集合,|RxV是一个向量空间.因为若 ,则有2211,xVkkx)()()112221这个向量空间称为由向量 , 所生成的向量空间（generated vector space）.一般地,由向量组 所生成的向量空间为

31、m21.,|212 RxVmm习 题 3.41.设 0,|),( 2121211 nnn xxxx 满 足1|,2 RV 满 足问 V1,V2 是否是向量空间?为什么?2.试证:由向量 1=(0，1，1) T, 2=(1，0，1) T , 3=(1，1，0) T 所生成的向量空间就是 R3.3.验证 1=(1，-1，0) T, 2=(2，1，3) T , 3=(3，1，2) T 为 R3 的一个基,并把 1=(5，0，7) T, 2=(-9，-8 ，-13) T 用这个基线性表示 。3.5 线性方程组解的结构3.5.1 齐次线性方程组解的结构对于齐次线性方程组 (35):02122121nmm

32、nxaxa 或 0AX它的每一组解都是一个向量，称之为解向量(solution vector)。解向量具有如下的性质：（1）若 X1 是 AX=0 的一个解向量， 则 kX1仍为 AX=0 的解.,Rk证 A（kX 1）= k（AX 1）= k0=0 ， 证毕.（2）若 X1，X 2 都是 AX=0 的解，则 X1+X2 仍是 AX=0 的解。证 A（X 1+X2）=AX 1+ AX2=0+0=0。 证毕.若用 S 表示齐次线性组(35)的全体解向量所成的集合，由上述性质可知，集合 S对向量的线性运算是封闭的，所以集合 S 是一个向量空间，称为齐次线性方程组(35) 的解空间（solution

33、 space） 。对齐次线性方程组(35)的解空间我们可求它的一个基：设系数矩阵 A 的秩为 r，则经过若干次初等行变换，总可把 A 化为简化阶梯形矩阵00010012211 rnrrnc由定理 3.1.1 知,矩阵对应的方程组 01222 111 nrrrrnxcxcx 与方程组(35)同解,即有nrrrrnxcxc 122111自由未知数 取任意常数 ,得其通解nrx,1nt,1rnr rnrr rrntxttctcxt 212121写成其向量形式 1001212211212121 rnnrrrrnrr ctctctxx若令 10,01,01, 212212122121 rnnrnrrrr

34、nrr cccxxX则通解表示为 .rnttX21其中 是线性无关，且由于 的任意性，知方程组(35) 解空间的rn,21 r,1任意一个解都可由 线性表出，所以 就是方程组(35) 解空间rn,21 rn,2的一个基,这个基就称为方程组(35) 的一个基础解系。定义 2.5.1：设 是齐次线性方程组(35) 的一组解 ,如果t,21(1) 线性无关;t,21(2) 齐次线性方程组(35)的任一个解都可由 线性表出,t,21则称 为齐次线性方程组(35) 的一个基础解系 （basic system of solutions） 。t,21由上述的推导过程可得:定理 3.5.1：在齐次线性方程组(

35、35) 有非零解时(r( A)n)它有基础解系,且基础解系中所含解的个数等于 nr(A).例 1 求方程组03241xx的通解和基础解系.解：利用矩阵的初等变换将系数矩阵化成简化阶梯形矩阵 00210214011311323 2rr rA对应一个与原方程组等价方程组即 （其中 x2，x 4 为自由未知数）2431x4321x取 取两个二维向量 代入方程得基础解系42x0,12,01所以通解为 ,1201432tx或表示为 ， （t 1，t 2 为任意常数） 。21tX本例题也可用 3.1 节例 5 的解法来解.3.5.2 非齐次线性方程组解的结构对于非齐次线性方程组(31)mnmnbxaxa

36、21 222 121或 AX=B它的解具有下述性质:(1)若 X1，X 2 都是 AX=B 的解，则 X1X 2 是 AX=0 的解。证 A（X 1X 2）= AX1 AX 2=B B=0。 证毕.(2)若 X0 为 AX=B 的解, 为 AX=0 的解,则 必为 AX=B 的解.1证 A(X0+X1)=AX0+AX1=B+0=B。 证毕.定理 3.5.2：设 X0 是非齐次线性方程组(3-1)的一个特解,X*是非齐次线性方程组(31)所对应的齐次线性方程组(称为导出组 ) AX=0 的通解,则非齐次线性方程组(3-1)的通解可表示为X=X0+X*证 因 AX=B, AX0=B,由性质(1)知 XX 0 是 AX=0 的任意一个解.令 X*= X X0故 X=X0+X* 。 证毕。例 2 求方程组的通解153421xx解:对增广矩阵进行初等行变换 0021100214201053102123 1321 rr rA可见， ，故方程组有解，并可得与原方程组同解方程组2)(Ar