1、1第八章 常微分方程一、本章学习要求与内容提要 （一）基本要求1了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3了解二阶线性微分方程解的结构.4掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.5会求自由项为 或 ， 时的二阶常系数xmPe)(xxmcose)( xPmsine)(非齐次线性微分方程的解.6. 知道特殊的高阶微分方程（ ， ， ）的降阶法.)()(xfyn),(yxf ),(yf7会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解
2、的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.（二）内容提要 微分方程的基本概念 微分方程的定义凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微
3、分方)(xfy程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解. 独立的任意常数线性相关与线性无关设 是定义在区间 内的函数，若存在两个不全为零的数 ，使得)(,21xy),(ba 21,k对于区间 内的任一 ，恒有ba 0)()(21xyk2成立，则称函数 在区间 内线性相关，否则称为线性无关.)(,21xy),(ba显然，函数 线性相关的充分必要条件是 在区间 内恒为常数.,21 )(21xy),(ba如
4、果 不恒为常数，则 在区间 内线性无关.)(21xy)(,21xy,ba独立的任意常数 在表达式 ( , 为任意常数) 中, , 为独立的任意常数)(21xyC12C1C2的充分必要条件为 , 线性无关.xy2.可分离变量的微分方程定义 形如)(dygxf的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是 的函数，另一个仅是 的函数，即 分别是变量 的已知x )(,ygxf yx,连续函数.求解方法 可分离变量的微分方程 的求解方法,一般有如下两步:)(dfxy第一步:分离变量 ，g)()(第二步:两边积分 .fy3. 线性微分方程 一阶线性微分方
5、程定义 形如. )()(dxQyPx的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中 都是 的已知连续函数， “线性”)(,x是指未知函数 和它的导数 都是一次的.yy求解方法 一阶线性微分方程 的求解方法,一般有如下两步:)()(dxQyPx第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程 所对应的齐次线性)(xy微分方程 的通解 .0)(dyxPxPcCyd)(e第二步：设 为一阶线性微分方程 的解,代入该xPd)(e )()(xQyP3方程后,求出待定函数 .)(xC第三步: 将 代入 中,得所求一阶线性微分方程)(xxPCyd)(e的通解.)()(dxQyPx注意 只要一阶线性微分方程是 的标准形式,则
6、将)()(dxQyx代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有xPCyd)(e,)(e)(d)(xCxP该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程.一阶线性微分方程 的求解公式)()(dQyx(其中 为任意常数).xyPPdee)()( C 二阶常系数齐次线性微分方程定义 形如 0qypy的微分方程（其中 均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程.,求解方法 求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步 写出方程 的特征方程 ，0qyp 02qpr第二步 求出特征方程的两个特征根 , ，1r第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出 的通解.0qyp有两个不同
7、特征实根 1r2xrxrCy21e有两个相同特征实根 )(有一对共轭复根 i2,1rxx)sinco21二阶常系数非齐次线性微分方程定义 形如 )(xfqyp的微分方程（其中 均为已知常数） ，称为二阶常系数非齐次线性微分方程.qp, 求解方法 求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:第一步 先求出非齐次线性微分方程 所对应的齐次线性微分方程方)(xfqyp4程 的通解 ;0qypcy第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程 的含待定常数的特解 ,并)(xfqyp py将 代入非齐次线性微分方程 解出待定常数,进而确定非齐次方程py )(xfqyp的一个特解 ; )(xfq y第三
8、步 写出非齐次线性微分方程 的通解 .)(xfqyp pcy方程 的特解 的形式表)(fyp自由项 的形式)(xf 特解的形式的设法不是特征根 xmpQye)(是特征单根xmPfe是二重特征根 xp2cos)(1xxf或 ine2m令 ,构造辅助方程 =iqymPe)(求出辅助方程的特解 21iyp则 是方程 特解1yq)(xf是方程 特解2注: 表中的 为已知的 次多项式， 为待定的 次多项式，如)(xPm)(Qm（ 为待定常数）.CBxAxQ2)( ,4. 二阶线性微分方程解的结构1 二阶齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数 和 是齐次线性微分方程的两个解，则函数 也是方程1y2 21yC
9、y的解；且当 与 线性无关时， 就是方程的0)(xqpy 1y2通解（其中 是任意常数）.21,C 非齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数 为非齐次线性微分方程 的一个特解， 为py )()(xfyqxpy cy齐次线性微分方程 的通解，则 为该非齐次线性微分方0)(xqpc程的通解. 非齐次线性微分方程解的分离定理如果 是方程 的解， 是方程 的解，1y)(1xfyp 2y)(2xfqy则 是方程25)(21xffqyp的解.5.高阶微分方程的降阶法方程的形式 引入 的形式y 降阶后的方程),(yxf设 ),(xp)( )(,)(xpfx,f设 则 ypdd dy)()(xfyn对方程 两边
10、逐次积分 次，即可得到该方程的通解)()(xfynn二、主要解题方法1一阶微分方程的解法例 1 求微分方程 满足条件 的特解.yxyxdd220xy解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 ，xd12两边积分，得 ，yd12x求积分得 ， ，1lnlCx122)ln(l Cxy， ，122e)(1xye1y记 ，得方程的解 .01C 22)(xy可以验证 时， ，它们也是原方程的解，因此，式 中的1y 22)1(xCy可以为任意常数，所以原方程的通解为 （ 为任意常数）.22)1(xCy代入初始条件 得 ，所以特解为 .20xy3C3例 2 求微分方程（1） ， （2） 的通解.xy
11、 xxycose26（1）解一 原方程可化为 ，令 ，1dxyxyu则 ，即 ，两边取积分 ，1duxu2xud1)1(2积分得 ，将 代入原方程，整理得原方程的通解为Clnlxy（ 为任意常数）.yxCe解二 原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法 .解原方程所1dxy对应的齐次方程 ，得其通解为 .01yxyCx设 为原方程的解，代入原方程，化简得 ， ，Cx)( 1)( 1ln)(Cy所以原方程的通解为 ，即 （ 为任意常数）.1lnCyxyxeC（2）解一 原方程对应的齐次方程 分离变量，得 ，02dxyxy2d，xyd两边积分，得 ， ，xyd2Cy2ln， ，)el(eln
12、22xxC2ex用常数变易法.设 代入原方程，得 ， ，2y xxcose)(22 xCcos)(，xxCsidco)(故原方程的通解为 （ 为任意常数）.)(ine2Cy解二 这里 ， 代入通解的公式得xP)(xQcos2)decosed22yxx= = = （ 为任意常数）.(22Cx)cs(2Cx)(sine2xC7小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 ，也可直接利用公式 )()(xQyP）求通解.CxQyPxPde)(e)(d)(2 可降阶的高阶微分方程例 3 求微分方程 的通解.123y解 方程中不显含
13、未知函数 ，令 ， ，代入原方程，得 yPxyd，1d23Px，这是关于未知函数 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解3 )(xP公式，所以）)(xP1d13d1e(Cx= ）= ）= ）= ，1ln3lne 13d(x1(Cxx12由此 = ，xydxC12= ，d)(12 21lnCx因此，原方程的通解为 = （ 为任意常数）.y21l21,例 4 求微分方程 满足初始条件 ， 的特解.)()(2 xy1xy解 方程不显含 ，令 ， ，则方程可化为 ，xPyd )(d2yP当 时 ，于是 .0Pd1221)(yC根据 ， ，知 代入上式，得 ，从而得到 1xyxy2y 1C，积分得 ，
14、再由 ，求得 ，于是当 时，yd)(221C1x020P原方程满足所给初始条件的特解为 ，y当 时，得 (常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解 中.0Py xy18故原方程满足所给初始条件的特解为 ，即 .xy1xy13 二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法例 5 求微分方程 的通解.02ya解 原方程对应的特征方程为 ， = ，012ar242, ar 12a（1）当 ，即 或 时，特征方程有两个不相等的实根 1a， ，121ar 12ar故原方程的通解为.xaxaCy)1(2)1(122ee（2）当 ，即 或 时，特征方程有两个相等的实根 ，1aa ar21故原方程的通解为 .x
15、Cye)(21（3）当 ，即 时，特征方程有两个共轭复根 ，aa 22,1ir故原方程的通解为.)sin1cos(e22xaCxayax 4二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法例 6 求微分方程 满足初始条件 ， 的特解.x4 0xy10xy解 对应齐次方程的特征方程为 ，特征根 故对应齐次微分方程的012r2,1r通解为 .xxcCye21因为 是特征方程的单根，所以设特解为 ， xPbxye)(10代入原方程得 ，xb42010比较同类项系数得 ， ，从而原方程的特解为 ， xPye)(故原方程的通解为 ，yxxCe21xe)1(由初始条件 时， ，得 0x0,201从而 ， .因此满足
16、初始条件的特解为1C2.yxexe)(9例 7 求微分方程 的通解.xy2sine84解 对应的齐次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所对084ri2,1r应的齐次微分方程通解为)2sinco(e12xCyxc为了求原方程 的一个特解,先求yie84（ ）xy)i2(e84的特解.由于 是特征方程的单根，且 是零次多项式。所以设特解为 i1)(xPm，代入原方程，化简得xAy)i2(e,8)i2(4i84AxA比较同类项系数，得 ， .14i所以，方程（ ）的特解为= ,)2sin(coe4i2xxy )2sincoi(e2xx其虚部即为所求原方程的特解 .yP41因此原方程通解为.)sin
17、co(e212xCyxx2cose小结 在设微分方程 的特解时，必须注意把特解 设全.mqyp)( py如： ，那么 ，而不能设 .另外，微分方程的2)(xPm2120)(bxxQm20)(xbQm特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解 一般不会满足题设初始条件，因此需py要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.5 用微分方程解决实际问题的方法例 8 已知某曲线经过点 ，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的)1,(方程.解 设所求曲线方程为 ， 为其上任一点，则过 点的曲线的切线方程)(xfy),yPP为 ，)(xXyY由假设，当 时 ，从而上式成为 .因此求曲线 的问0xY1
18、dyx)(xy10题，转化为求解微分方程的定解问题 ，的特解.1xy由公式 ，得CxQyPxPde)(e)(d)(= ，1d1x xln代入 得 ，故所求曲线方程为 .1xyC)l1(y例 9 一质量为 的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速m度成正比，求此质点的运动规律.解 设质点的运动规律为 .由题意，有)(tx（ 为比例系数）,0d,02ttxkg0k方程变为 ，gtmkt2齐次方程的特征方程为 ， ， ， .02rk0)(mkr1rmk2故原方程所对应的齐次方程的通解为 ，tkcCxe21因 是特征单根，故可设 ，代入原方程，即得 ，0atpkga故 ，所以原方程的
19、通解tkmgxp,tmkCxe21tg由初始条件得 ， ，21kgmC2kg因此质点的运动规律为 .)e1()(2tmkttx小结 用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主要步骤.由于问题的广泛性，一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等.三、学法建议1本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程11的待定系数法.2 本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求解法，读者首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座” ，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.3 有些方程需要做适当的变量替换，才能化为已知的类型，对于这类方程的求解，只要会求一些简单方程，了解变换的思路即可，不必花费太多精力.4 利用微分方程解决实际问题，不仅需要数学技巧，还需要一定的专业知识，常用的有切线、法线的斜率，图形的面积，曲线的弧长，牛顿第二定律，牛顿冷却定律等.读者应对这方面的知识有一定的了解.
