1、第 11 章 常微分方程习题课一. 内容提要1.基本概念含有一元未知函数 (即待求函数)的导数或微分的方程,称xy为常微分方程;其中出现的 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间 上成为恒等式的函数 称为此Iy)(x微分方程在 上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解 ;I若 阶微分方程的解中含有 个不可合并的任意常数,则称其为此nn微分方程的通解;利用 个独立的附加条件(称为定解条件 )定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起 ,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出 在同一点)1(,ny处的值) 时,称为初值问题.0x2.一阶微分方程 的解法)
2、,(yxf(1)对于可分离变量方程 , )(d先分离变量(当 时 )得 ,0(yxyd(再两边积分即得通解 .C)(d(2)对于齐次方程 , fx作变量代换 ,即 ,可将其化为可分离变量的方程 ,分yuu离变量后,积分得 ,再以 代替 便得到齐次方Cxfd)(xyu程的通解.(3)形如 的方程,)(11dcybxafy若 均为零 ,则是齐次方程;,c若 不全为零 ,则不是齐次方程,但1当 时,只要作变换 ,即可化为可分离kbaybxav1变量的方程 ;11)(dcvfx当 时,只要作平移变换 ,即1ba0yYxX(其中 是线性方程组 的惟一0yYxX),0y 11cbxa解), 便可化为齐次方
3、程.)(d1YXfY(4)全微分方程若方程 之左端是某个二元函数0),(),(yxQyxP的全微分,则称其为全微分方程,显然 即为通u Cyxu),(解,而原函数 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得. ),(yx通常用充要条件 来判定 是否xP0d),(),(yxQyx为全微分方程.对于某些不是全微分方程的,可乘上一个函数 使之成为全微分0d),(),(yxQyxP ),(方程 0d),(),(yxQxP(注意到当 时 与原方程同解),0),(yx0d),(d),(yxQyxP并称 为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难 ,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程 的通解公式)()(
4、xyp当 不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(xQ恒为零,时,即 称为一阶线性齐次微分方程 ,这是0)(yx一个可分离变量的方程,易知其通解为 ;由此用“常数xpCYd)(e变易法”即可得到非齐次微分方程的通解 .()ed)(d)Qyxpxp(6)对于 Bernoulli 方程 ( ),只需作变换ny 1,0,即可化为一阶线性方程 .nyz1 )()1(dxQnzxpxz3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程 ,令 化为 ;在实际求解中,只)()(xfyn)1(nyz)(xfz要对方程连续积分 次,即得其通解.nnn CxCf 11d)(
5、 次(2)对于 (不显含 ),作变换 ,则 ,于是),yxf yyP化一阶方程 ;显然对 可作类似处理.P)(1)(nnxf(3)对于 (不显含 ),作变换 ,则 ,于是),yf yyPd可化为一阶方程 .),df4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程解的结构若 是 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其ny,21通解为.nyccY21(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解 ,等于其对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解 之和,即 .YyyY(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1 设 ( )是
6、方程kym,2 )()()(1)1(1)( xfypxyxp knnnn 的解,则 是方程mk1mknnnn xfyxpyxpy 11)1(1)( )()()(的解.2 若实变量的复值函数 是方程 )(ivxu yxpyxpy nnnn)(1)11)( )(i21xff的解,则此解的实部 是方程 )()()()( 11)11)( xfyxyxy nnnn 的解;虚部 是方程v )()()()( 21)11)( xfypxyxpy nnnn 的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微
7、分方程通解的“特征根法”1 写出 的特征方程 01)1()( ypypnnnn，1rr并求特征根；2 根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表)特征根 为r给出通解中的单实根 1 项: rxCe重实根k项:k)(121kxC一对单复根i2,1r2 项: sincox一对 重复根, 2 项: xkx cos)(e121inDk(2)下列两种情况可用 “待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解对于 ,应设特解1xmPxfe)(,kQy xmmk axa)e110 其中 等于 为特征根的重数 ( ), 是待定系数.n0,将 代入原方程,可定出 ,从而求得 . y01,m y对于 (
8、 ),应设特解2()e()cosixl sfPx,n)xTRymmk其中 等于 为特征根的重数( ), 是ki20nk)(,xTRm待定的 次多项式.将 代原方程,即可定出,maxsly,从而求得 . )(,TR或因为 e()cos()sinxlfPxxici)ls (i)RexmQ（其中 是 次的复系数多项式）.()mxilsPa,ls对于方程 ()(1)1nnnnyppy (i)exmQ可设其特解 ，(i)ekxmYxZ（ 是 次待定复系数多项式， 等于 为特征根的()mZx i重数） ，将 代入方程(i)ekxm()(1)1nnnnyppy (i)exmQ中，可定出 ，于是 ，从而原方程
9、的特解mZx(i)kxYxZ.ReyY特例 3(i)1(i)cos()es,xxl lln xnlfPfpy当 或 时设 将 其 代 入 , 求得 , ReIm.YYy 则 原 方 程 的 一 个 特 解 或6.Euler 方程的解法(1) 形如 )(1)1(1)( xfypxyxpynnnn 的线性变系数微分方程称为 Euler 方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.(2) 解法只需作变换 ,即 ,即可将其化为常系数线性微分txexln方程.若引入微分算子 ,则tdD, , ,yx y)1(2 ynxn )1(D)()( 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7. 应用常微分方程解决实
10、际问题的一般步骤(1) 在适当的坐标系下,设出未知函数 ,据已知条件写出相)(xy关的量;(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;(3) 提出定解条件;(4) 求定解问题的解;(5) 分析解的性质，用实践检验解的正确性.二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题 12)1.填空题(1)已知 及 是方程 的解,则2e1xy2ex 0)24(yxy其通解为 . )( 22C解:因 , 都是解,且线性无关,故 是通2e1xyx )(e 212xCx解.(2)设一质量为 的物体,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力m为 ,则其下落的距离 所满足的微分方程是
11、 ,vkRsskgm初始条件是 . (0),()0s解:因为 ,而 , , ,故得方程 aFvkgsa,化简得 ; smkgs在如图所示的坐标系下,初始条件为 . 0)(,)0(s(3)微分方程 的特解 的形式为xye62 y. )e( 2xba解: 因为特征方程为 , ,而 是二重特征012r12r根,故应设 .xbay)e(4)若 都是线性非齐次微xyx523221 e,分方程 的解,则其通解为)()(xfqyp.2521 e xxC解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知, 都是对应的齐次方程的解,且线xyY2121xyY523e性无关,故对应的齐次方程的通解为 ;由xxCY
12、C52121eOs(0)st非齐次方程解的结构得其通解 .2521exCyYx(5)(补充) 已知 满足 ,则 .)(xfxtftf 02d)()(21() f解:两边对 求导得 ,整理得2fff,1分离变量后积分得 ,即 , ;cxxfln2)(ln2e)(xcf0又当 时, ,即1x )1e(de)( 21 0tctf故 ,所以 .cc22e2)(xf(6)(补充) 设 有连续导数 ,且 .若曲线积分)(xf 10f与路径无关,则 .Lyyf 2dd 2e3 )(xxf解: 记 .因为积分与路径无关,故有2)(),(xfQfP,即 ,亦即 .它的通解为xQyff)( xff)(.de2de
13、2)(d cxcxf x xce2由 得 ,于是 .1033)(f24,=()1(), .yyo7补 充 已 知 在 任 意 点 处 的 增 量 其 中 ， 则解：由题设知， 2dxarctn124dlnarct,e.1(0),()e.xyxyCC分 离 变 量 得 ， 积 分 得 即由 得 故2.选择题(1)函数 ( 为任意常数) 是微分方程21ecxy1,的0(A)通解. (B)特解. (C)不是解. (D)解,但不是通解,也不是特解 .答( D )解:因为 ,经检验是解,但含有任意常数,故不是特21ecxyx解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.(2)微分方程 ,其特解形式为y
14、2siny(A) . (B) .xCBA4cosxCBxA4sinco(C) . (D) .xi答( C)解: ,特解为 .y2sin121y因为 , ,而 是特征方程的单根,故应02r2r0设 ;而 不是特征方程根,故应设Axy1i4,因此 .xCBsnco221yxCBAx4sinco(3)微分方程 是yd)5(d)2(A)一阶线性齐次方程 . (B)一阶线性非齐次方程.(C)齐次方程 . (D)可分离变量方程 .答( C )解:原方程可化为 .xyxy245d(4)(补充) 具有特解 , , 的三阶常系数线xye1xe2xye3性齐次微分方程是(A) . (B) .0y 0y(C) .
15、(D) .y y答( B )解: 由方程的特解可知,其特征根为 ,于是特征方1321rr程为 即 ,故方程为0)1(2r023r.yy(5)(补充) 方程 通过点 且在该点处与直线9 )1,(相切的积分曲线为yx(A) . (B) .xC3sinco21 xCy3sinco2(C) . (D) .xy3s 1答( D)解:因为 , ,故通解为 .由092ri21r xy3sinco21初始条件 得 ,所以所求积分曲线)()(y3,21C为 .xsin3co(6)(补充) 方程 的特解应设为yxe)4(A) . (B) .BAxsine xCBAxsincoe(C) . (D) .xCico )
16、(答(D)解:对应的齐次方程的特征方程为 ,特征根为014r.i i ,4321rr令 .对于 ,因 是)(sin3e)( xffxxf xfe)(11单特征根,故设 ;对于 ,因 是单特征Ay1 sin2i根,故设 ；从而 .)sinco(2xCBxy )sincoe(21 xCBAxy(7)(06 考研) 函数 满足的一个微分方程是21exy(A) . (B) .23x 3exy(C) . (D) .ey2答(D)解:因为 ，即特征方程为 ，故排除（A） 、12,r20r（B） .由 是特征方程的单根，知 ，故排除（C ）.()exf3.求下列方程的通解(2) ;xyxln2d解:方程化为
17、 ,是一阶线性方程.ylCxydee2d12 Cyydln212.y2224lnl(5) ;0d2xyx解:原方程可化为 ,故通解为0arctnd1yx.Cyxxarctn21(10) .yy2解:设 ,即 ,则 .代入原方程得uu2 xux2d.此为齐次方程,再设 ,则 ,故方程化12dxvv为 .分离变量为 ，两边积分得vvx12.12 lnln31lln Cvv代回原变量并整理得 .xyyx224.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) , ;0d2d23yxy1x解:原方程化为 ,即 .23 23dxyy令 ,得 .1Z3dZy,即Cye2e 3 yln21,故通解为 .xln12
18、 xy2由 ,得 ,所以特解为 .xy11l2y(3) , , ;0si10解:令 ,则 ,原方程化为 ,即PyPd yPcosind.积分得 .由 , ,sin2dC2sin201y得 ,故 .解之得 .由 , .故0Cy xtal 0C特解为 .xearct5(补充 ).设 是微分方程 的一个解 ,求此微分方xyxyp)(程满足条件 的特解.0)2(lny解:将 代入微分方程得 ,解之得xe)(exp,于是此微分方程为 ,即p)( xyyx)e.1eyyx其对应的齐次方程的通解为 ,于是此微分方程的通xCYe解为 .由 得 ,故特解为xxCye 0)2(lny21.21exx6(补充 ).
19、设 是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点)(:yL处的曲率为 ,且此曲线上点 处的切线方程为),yx21)1,0(,求该曲线的方程.解:因为曲线向上凸,故 ,于是有 ,化简0y32)1(y21y得二阶方程 .令 ,则 ,故方程化为)1(2P.分离变量后积分得 .由题设有)(2P xC1arctn,于是可定出 ,所以 ,再积分0)y41ta()4yP得 .由 得 ,因此该曲线2lncos()4xC)0(y2l2:L.lny7(补充 ).某湖泊的水量为 ,每年排入湖泊内含污染物 的污水量VA为 ,流入湖泊内不含 的水量为 ,流出湖泊的水量为 .已知6VA63V1999 年底湖中 的含量为 ,超过国
20、家规定指标.为了治理污A05m染,从 2000 年初起,限定排入湖泊中含 污水的浓度不超过 .AVm0问至少需经过多少年,湖泊中污物 的含量降至 以内?(注:设0湖水中 的浓度是均匀的.)A解:设 2000 年初( 记此时 )开始,第 年湖泊中污物 的总量为0tt,浓度为 ,则在时间间隔 内,排入湖泊中污染物 的量mVd A为 ,流出湖泊的水中 的量为 ,因而ttd600 AtmVd3在此间隔内湖泊中污染物 的改变量为 ,)6(0.分离变量解得 ,由 得05mt30e2tCm05t,故 .29C)91(30t令 ,解得 ,即至少需经过 年湖泊中污物 的0ln6t 3ln6A含量降至 以内.m8
21、.求下列 Euler 方程的通解(2) .xyyx642解:设 ,方程化为 .（*）tetytte6d52, . .052r1r32 ttC 32 1e设 ,代入方程（*） ，得 .由此定出 tay ta65,故 .从而原方程的通解为 .1te xxy13219.设对于半空间 内任意的光滑有向封闭曲面 , 都有0xS，0ded)(d)(2zxyfzfS其中 在 内具有连续的一阶导数,且 ,求f1lim0xf.xf解:由曲面积分与曲面无关的条件 ,有0zRyQxP,即 .0e2 xfxff xfxf 2e11所以 Cxd1e1d1.xxxe2 xe由 ,即 ,可求出 ,故1lim0fx 1li0
22、1.exf10(补充 ).设函数 二阶可导且 .过曲线)(xy 1)0(,)(y上任意一点 ,作该曲线的切线及 轴的垂线,上)(yyPOx述二直线与 轴所围成的三角形的面积记为 ,区间 上以Ox 1S ,为曲边的曲边梯形面积记为 ,并设 恒为 ,求)(y 22此曲线 的方程.x解:曲线 上点 处的切线方程为 .)(y),(yP)(xXyY切线与 轴的交点为 .由 ,知Ox0 ,)(x1)0,)(xy,于是0)(y;而 ( );故由21()()2yxSxxtyS 02d)0条件 得 ,由此还可得 .1211d)( 02xty 1)(将 两边对 求导并整理得 .令 ,d)( 0xty 2)(yP则
23、 ,于是方程化为 ,解之得 ,由yPd PydyC1和 得 ,于是 ,从而 .再由1)0()(1Cxe2得 ,故所求曲线方程为 .2 x11(06 考研) .设函数 在 内具有二阶导数，且()fu0, )满足等式 .2(zfxy20zxy（1） 验证 ；()0fuf（2） 若 ，求函数 的表达式.(),1()fu解: （ 1）由 ，得2zfuxy，222 32(),()()yzxf fufux x .222 32(),()()yyzfuffyxx y 因为 ，所以有 ，即20z2()0fufy.()0fuf（2）由（1）得 ，由 知 ，即1C()1f0C；()fu于是得 ，由 ，得 ，所以 .
24、2lnfu()0f2()lnfu12(07 考研). 解初值问题 , (1),.yxy解：令 2,(),yPPx 则 原 方 程 化 为 即 d1.xP于是 11dd11ee().PxCC由 11(),0,.x yPyxx得 且 即解得3221()3y又 由 得 故 321.12（07 考研）. 设幂级数 在 内收敛，其0nax(, )和函数 ()yx满 足 24,0,(1.yyy （I）证明 2,1,;nna（II）求 的表达式.()yx解：（I）对 0na求 一 、 二 阶 导 数 ， 得122,(1),nnnyxyax代入 240并 整 理 得20 10(1) 4.nnnnaxax于是
25、2024, ()(),12,nn 从而有 ,.1a（II）因为 故0(),(),yya2,1,2;ka212121231,0,2.!kkkkaaaak 所以 2221210000()e,(, ).!kknk xkxyx3().()6.ffyfD补 充 设 满 足 且 由 曲 线 与 直 线 及 轴 所 围 的 平 面 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 得 到 的 旋转 体 的 体 积 最 小 ,求 33dd22. 1()e66 .xxfxyCx满 足 的 方 程解 可 写 为 其 通 解： 1132002654()() .7Vfxx旋 转 体 的 体 积 为23()7,()0,.()6CVCfx 令 ， 得 惟 一 驻 点 且故 是 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 于 是
