1、0高等代数理论中的一些逆向问题张万海 指导教师：张万儒（河西学院数学与应用数学专业 2011 届 4 班 55 号 甘肃张掖 734000 ）摘 要：在高等代数理论的学习中, 不仅要掌握知识的正面问题, 而且要了解一些问题的逆向问题. 文章对矩阵、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值和特征向量等方面的逆向问题进行了讨论, 并给出具体例子加以说明.关键词: 逆向问题；矩阵；线性方程组；特征值；特征向量；线性变换 Some Inverse Questions In Higher AlgebraZhang Wanhai Instructor:Zhang Wanru(N.O.55,Class of 20
2、11.Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Department of Mathematics, Hexi University, zhangye, Gansu, 734000, China)Abstract: In the study of higher algebric, some conventional questions should be mastered, and their inverse questions should be understood. In this paper, some inverse quest
3、ions on matrix, system of equations, characteristic value, characteristic vector, linear transformation were discussed, and these inverse questions were explained by some concrete examples. Keywords: inverse question; matrix; system of linear equations; characteristic value; characteristic vector; l
4、inear transformation10 序言高等代数是数学专业必修的专业基础课, 它对提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力、训练创新思维和培养创新能力方面具有十分重要的作用. 学好高等代数不仅要掌握知识的正面问题, 而且要了解一些问题的逆向问题. 这对知识点概念的理解, 对思维能力的提高都有很好的作用. 近年来, 逆向问题的研究一直是人们关注的问题. 文献1综合论述了线性代数理论中替换定理、矩阵相似、二次型、矩阵对角化等命题的逆向问题. 文献2讨论了非齐次线性方程组解的逆向问题. 文献3研究了非齐次线性方程组的解, 线性变换和矩阵对角化等逆向问题. 文献4对矩阵特征值中的反问题进行了研究
5、. 文献5给出了矩阵正定性的判定方法, 讨论了线性方程组 的反问题求解. 文献6 bAx研究了非齐次线性方程组 在逆 -阵类中的反问题. 文献7讨论了 的反问bAxMbAx题在拟次正定矩阵类中的求解. 本文对文献8,9中的矩阵、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值和特征向量等方面的逆向问题进行了讨论, 并给出具体例子加以说明.1预备知识定义 1.1 设 是矩阵 = 中元素 的代数余子式, 称矩阵8ijAnnnaa 212112ij= 为 A 的伴随矩阵.nnnA 21221定理 1.1 设矩阵 = 可逆, 则下面结论成立nnnaa 212112(1) = ;1)(A(2) = . 2定理 1.2
6、 在齐次线性方程组有非零解的情况下, 它有基础解系, 并且基础解系所含解的个数等于 , 这里 表示系数矩阵的秩.rn定理 1.3 如果 是方程组 （1）0snsss nbxaxa 21 222 121的一个特解, 那么方称组(1)的一个解 都可以表示成= + （2）0其中 是(1)的齐次方程组的一个解. 因此, 对于方程组 (1)的任一个特解 , 当 取遍(1)的 0齐次方程组的全部解时, (2)就给出(1) 的全部解. 设 是数域 上的向量空间, .VFEndV定 义 1.2 设 若 存 在 中 一 个 非 零 向 量 , 使 得0，0)(则 称 0 是 的 一 个 特 征 值 , 是 的
7、属 于 特 征 值 0 的 一 个 特 征 向 量 .显 然 , 若 是 的 属 于 特 征 值 0 的 一 个 特 征 向 量 , 则 对 于 , 都 有kF.)()()(0kk因 此 , 任 一 非 零 向 量 ( 0)都 是 属 于 0 的 特 征 向 量 .k2 高等代数中的一些逆向问题(1) 已知矩阵中的 或 ,求 .1A*n(i) 已知 求 .1n思路 根据 = .1)(例 2.1.1 已知 = , 求 .1A2134A解 102134010423于是 = .A1240(ii) 已知 ，求 .*思路 因为 = , 所以若求出 , 则可求出 , 于是可求出 .191AA1A由 = (
8、因为若 0,即 可逆,由 得 = , 从而 = ; 若*A1n2*En1n=0, 则 = =0.) 可求出 , 再求 , 进而得 .1n 1(2) 已知 或 的通解,求方程组0AXb定理 2.2.1 设 维向量空间中 = ( =1,2, ) 线性无关, 令 = , 元齐次线niiniiaa321rATrT21n性方程组 的基础解系为0AX= ( =1,2, ). 令 = , 则 基础解系为 .jjnjjbb321rnBTrnT210Xr,1证明 由于 是线性无关的, 则 的秩为 , 所以 的基础解系含有r,1 Ar0AX个向量 . 又因为矩阵 的秩为 , 所以 的基础解系含有rrn2, BnB
9、个向量.n)(由 ( )=(0,0,0)转置后有 ( )=0, 即 是Ar,2,1 TrT21ABr,1 r,1的解.0BX因此, 是 的一个基础解r,1 0BX系.4推论 2.2.1 设 ( =1,2,r)线性无关. 齐次线性方程组 以),(21inii aa 0BX, 为基础解系, 其中 是 矩阵,当且仅当形如Tt)(1Ttt)(1Bnt)1(的解集合的极大无关组为 .其中 的含义同定理 1, 为 的tBXTt,1 TtTt一个特解.例 2.2.1 设方程组 的通解为 + , ，试求该非齐次线性方程组.bAX10k2R解 设 = .因为 ,则 ,即 =2 + .齐次TM)1,2(0,TAM
10、0)1,(TAx123线性方程组 的基础解系为 .0AX)2(21令 = , 则 ,即B10BX.0231x而非齐次线性方程组 ,即cBX(3)2311cx把特解(0,1,1)代人(3)得 =1, =1.1c2于是所求非齐次线性方程组为 . 131x(3) 有关矩阵的线性变换的逆向问题问题 在学习线性变换时, 对线性变换在给定基下求矩阵我们会求, 而现在给出矩阵和 经过某些变换后所得的矩阵 , 要求所作的变换矩阵 , 或给出矩阵 和 ,ABPQAP及变换后所得的矩阵 , 要求写出 , , , 之间的关系等式，该怎么处理?QAPQ思路 利用矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系,即对 实行一次行(列
11、)初等变换A相当于在 的左(右)端乘以相应的初等矩阵.A例 2.3.1 设 = ,经过初321cba等变换后得到的矩阵为 ,且B5= . 求可逆矩阵 , ,使得 .B321akaccbb1P212APB解 因为1231230bbacc1231230aca即 12312301bbcca所以 100011P又因为 ，则有 .23,0k12PAB例 2.3.2 设有理向量空间 的线性变换 在基底 = , , Q31a)()1(2a下的矩阵是 = , 求线性变换 及 的核子空间的基底.)1,(3aA021解 取 的标准基 = , = , = , 则Q3)()1(3)10(= =),(321a),(32
12、1P),(321于是 =),(3211321),(P由 在给定基下的矩阵是 知 ,于是对任意 ，AAaa),(),(321321 3321),(QxT有 . 从而3211),(x632121)(,),()x 321321321 ),)(,(),( xAPaa= 01321x.),(22由于 是基底，故 当且仅当 .),(321a0)(a0321xAP令 = , 则得线性方程组321xPy= =0,A321y0132y解得 = , . 因此321yttQ= = = , .321xP321yt132t406tQ所以 是以(3,0,-2)为基底的 1 维子空间.ker(4) 给出矩阵 的有关特征值或
13、特征向量的某些信息,求 . AA在高等代数教材中已知矩阵 , 求 的特征值，特征向量的问题是大家熟知的问题，而A已知特征值与特征向量求矩阵的问题, 往往被人们忽略了. 对这一问题根据矩阵的对角化大体可分以下三类.7(i) 设 的 个特征值为 , , , 它们对应的特征向量分别为 , , . An12n 12n若 , , 线性相关, 此时满足条件的矩阵 不惟一, 可以通过解线性方程组的方法来12 A求矩阵 .例 2.4.1 已知3阶方阵 的3个特征值1,1,-1 ,它们对应的特征向量为 , A T)20(1, . 求矩阵 .T)10(2T)1,(解 设 = , 则A321cba= ,321c10
14、120两边求转置得= ,1033221cba10由 = , 解得 =1， =0， =0.1023a123a同理可得 =-1， =0， =1；b23b=0， =2， =1.1cc所以 = .A20(ii) 若 , , 线性无关, 则 可对角化, 即存在可逆阵 使 N,其中N1nAPA1为主对角线上的元素为 的特征值的对角形矩阵, 于是 = N , 从而可达到求 的AA1目的.例 2.4.2 设3阶矩阵 的特征值为 =1, =2, =3, 对应的特征向量依次为123, , . 求 .Tx)1(Tx)42(Tx)9,3(A8解 令 = = , 则 =P),(321x941P12132865由已知条件
15、得 = , 所以A13210= = .P321P1610(iii) 已知实对称矩阵的特征值以及部分特征向量.例 2.4.3 设三阶实对称阵 的特征值为 =-1, = =1,对应 的特征向量A1231= , 求 .10A解 设属于特征值 = =1的特征向量为 = ,因为 为实对称矩阵, 所以23Tx),(321A不同特征值对应的特征向量相互正交,于是有 ,即 + .0T1032x由此解得 = , = . 又 ,即21033210PA1P= = .A110 01参考文献1 刘学鹏.线性代数理论中经典命题的反例研究J.大学数学,2007,23(6):174-177.2 刘学鹏.优美的非齐次线性方程组
16、解的逆向问题J.高等数学研究,2007,10(1):43-44,47.3 刘学鹏.线性代数理论中几个问题的逆向研究J.大学数学,2005,21(6):118-121.4 戴华.矩阵特征值反问题D.南京:南京大学,1998.5 郭忠.矩阵正定性的判定及线性方程组 的反问题求解J.科学通报,1987(2):121-124.bAX6 温永仙. 在逆M- 阵类中的反问题J.福建农业大学学报,1999(02):73-76.bAX97 宋乾坤. 的反问题在拟次正定矩阵类中的求解J.重庆师范学院学报(自然科学版),bAX2000(03):53-56.8 张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第4版)M.北京:高等教育出版社,1999.9 王蕚芳,石生明等.高等代数(第3版)M.北京:高等教育出版社,2003.10 周树荃,戴华.代数特征值反问题M.郑州:河南科学技术出版社,1991.11 樊恽,郑延覆,刘合国.线性代数学习指导(第3版)M.北京:科学出版社,2003. 12 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京:中央民族大学出版社,2002.13 陈文灯,黄先开等.数学复习指南M.北京:世界图书出版公司,2005.14 臧正松.一类对称矩阵的左右逆特征值问题J.苏州科技学院学报,2006,23(3):1619.
