1、第二章 自动控制系统的数学模型2.1 控制系统数学模型的概念2.1.1 数学模型的类型2.1.2 建立数学模型的方法2.2 控制系统的微分方程2.2.1 线性系统微分方程的建立2.2.2 微分方程的增量化表示2.2.3 非线性微分方程的线性化2.3 控制系统的传递函数2.3.1 传递函数的概念2.3.2 关于传递函数的几点说明2.3.3 典型环节及其传递函数2.4 控制系统的结构图2.4.1 结构图的概念2.4.2 结构图的组成和建立2.4.3 结构图的等效变换和简化2.5 信号流图2.5.1 信号流图的概念2.5.2 梅逊公式2.6 小结2.7 习题第七章 线性离散控制系统的分析7.1 线性
2、离散控制系统的概念7.2 采样过程和采样定理7.2.1 采样过程7.2.2 采样定理7.2.3 信号复现与零阶保持器7.3 z 变换7.3.1 z 变换 的定义7.3.2 z 变换 的求法7.3.3 z 变换 的基本定理7.3.4 z 反 变换7.4 离散控制系统的数学模型7.4.1 差分方程7.4.2 脉冲传递函数7.5 离散控制系统的稳定性分析7.5.1 离散控制系统稳定的充要条件7.5.2 离散控制系统的劳斯稳定判据7.6 离散控制系统的稳定误差分析7.7 离散控制系统的动态性能分析7.8 离散控制系统的校正7.9 小结7.10 习题第二章 自动控制系统的数学模型自动控制理论在方法上是先
3、把具体的物理系统抽象成数学模型，然后以数学模型为研究对象，应用自 动控制理论的方法去分析其性能，并研究改进性能的方法途径。2.1 控制系统数学模型的概念控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述 变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。2.1.1 建立数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法有机理分析法和实验法两种。
4、机理分析法是对系统各部分的运行机理进行分析，根据它们所依据的物理或化学规律分别列出相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。近几十年来，系 统辨识已发展成一门独立的学科分支，本章只介绍用机理分析法建立系统数学模型的方法。2.1.2 数学模型的类型在自动控制理论中，数学模型有多种形式。常用的数学模型有微（差）分方程、传递函数（或脉冲传递函数）、状态空间表达式、 结构 图和信号流图，以及 频域中的频率特性等。本章只介绍 微分方程、 传递函数、结 构图等数
5、学模型的建立和应用。系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。在经典控制理论中，常用的数学模型为微分方程、传递函数和系统结构图。它们反映了系统的输出量、输入量内部各种变量间的关系，也反映了系统的内在特性，它们是经典控制理论中常用的时域分析法、根轨迹法和频率特性法赖以进行分析的基础。合理的数学模型，是指它应以最简化的形式，正确地代表被控对象或系统的动态特性。通常，忽略了对特性影响较小的一些物理因素后，可以得到 简化的数学模型。例如，系统中存在的分布参数、 时变参数及非 线性特性，当它们的影响很小时， 则忽略它们之后所得的系统简化数学模型便有一定的准确性；反之，当它们的影响很小时，用简化的
6、数学模型分析的结果往往与实际系统的研究结果相差很大，不能正确代表控制系统的特性。对于一个自动控制系统，简化的数学模型通常是一个线性微分方程式。具有线性微分方程式的控制系统称为线性系统。当微分方程式的系数是常数时，相应的控制系统称为线性定常（或线性时不变）系统；当微分方程式的系数是时间的函数时，相 应的控制系统称为线性时变系统。如果控制系统含有分布参数，那么描述系统的数学模型应有偏微分方程。如果系统中存在非线性特性， 则需要用非线性微分方程来描述，这种系统称为非线性系统。绝大多数控制系统，在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程描述。而线性微分方程的求解一般都有标准的方法，因此，线 性系统的研究
7、有重要的实用价值。2.2 控制系统的微分方程2.2.1 线性系统微分方程的建立建立控制系统的微分方程，一般先由系统原理线路图画出系统方块图，并分别列写组成系统的各元件的微分方程，然后消去中间变量，从而得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写系统或元件微分方程的步骤如下：（1）根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量；（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各 变量所遵循的物理（或化学）定律列写出在运动过程中的动态方程，一般为微分方程组；（3）消去中间变量，写出输入、 输出变量的微分方程；（4）标准化，将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂
8、排列，最后将系数归一化为具有一定物理意义的形式；在列写系统各元件的微分方程时，一是应注意信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级的单向传送；二是应注意元件与其他元件的相互影响，即所谓的 负载效应问题。下面举例说明建立元件和系统的微分方程的步骤和方法。例 21 试写出图 21 所示的 串联电路输入、输出电压之间的微分方RLC程。 C()iut ()out图 21 电路图RL解：（1）确定系统的输入、输出量， 输入端电压 为输入量，输出端电压()iut为输出量。()out（2）列写微分方程。设回路电流为 ，由基尔霍夫定律可得()it（2.1）RLCiuu式中， 分别为 上的
9、电压降。()()RLCutt、 、 、 、又由 ()()()RLdittitA ,可得出 （2.2）CidLutt（3）消去中间变量，得出系统的微分方程。考虑 ，根据电容的特性可得：()Cout（2.3）()()()Coduttit将式（2.3）代入式（2.2），可得到系统的微分方程为（2.4）2()()()ooidutdtLRut令 ，则式（2.4）可改写为12/,TLRC（2.5）212()()()ooiduttTutd可见，此 无源网络的动态数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。L例 22 电枢控制式直流电动机原理图如图 2 2 所示。 试列写当取电枢电压 为输入量，电动机角速度 为输出
10、量的直流电动机的微分方程。图中，()aut ()wt分别是电枢电路的电阻和电感； 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激,RLcM磁磁通设为定值。解：电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能。对于图 22 所示的电枢控制式直流电动机，其工作过程为， 输入的电枢电压 在电枢回路中产生电()aut枢电流 ，流过电枢电流 的闭合线圈与磁场相互作用产生电磁转矩 ，()ait()ait ()Mt带动负载转动。因此，电枢控制式直流电动机的运动 方程可由以下三部分组成：（1）电枢回路电压平衡方程（2.6）()()()aaaditutLRitE式中 是电枢反电势，它是电枢旋转时产生的反电势，其大小与励磁磁通及转
11、速aE成正比，方向与电枢电压 相反，表示 为 ， 是反电势系数。()at ()aeCwte（2）电磁转矩方程（2.7）()()maMtit式中， 是电动机转矩系数， 是电枢电流产生的电磁转矩。mC（3）电动机轴上的转矩平衡方程（2.8）()()cdwtJtt式中， 是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。注意，式（ 28）中已忽J略与转速成正比的阻尼转矩。联立式（2.6）式（2.8），消去中间变量 、 及 ，便可得到描述 输出()aitE()Mt量 和输入量 、扰动 量 之间的微分方程为()wt()aut()cMt（2.9）2 ()cammuamacdtdwTtKTttdt式中， ， ，分别
12、称作电动机的电磁 时间常数和机电时间常aLRaemJC数； ，分别 称作电压传递系数和转矩传递系数，分别表征了电压1,umeTKJ变动或扰动转矩 变动时对电动机角速度 的影响程度。()at ()cMt ()wt在工程应用中，由于电枢电路电感 较小，通常忽略不计，此时式（2.9）可简aL化为（2.10）()()()muamcdwtTKtMt如果取电动机的转角 作为输出，电枢电压 仍作为输入，因为()t()aut，于是式（2.10 ）可改写成()dtwt（2.11）2()()()muamcdttTKtMt比较式（2.10）和（2.11）可见，不同角度研究问题的数学模型是不同的。 auiaRLw负载
13、,JfaEfi图 22 电枢控制直流电动机原理图例 23 试列写图 23 所示的转速自动控制系统以转速 为输出量，给定w电压 为输入量的微分方程。ru解：系统中的电动机是控制对象。被控量亦即系统的输出量为转速 ，给定输入作用为 ，扰动作用 为负载转矩 。系 统由输 入电位器、运算放大器 （对r cM信号求差并放大作用）、运算放大器（包含 校正网络，起倒相和校正作用）、RC功率放大器、被控对象和测 速发电机等部分组成。 功率放大器auw负载1u2ruC cM直流电动机fu测速发电机fi31R2R减速器图 23 转速自动控制系统原理图系统的方块图如图 24 所示。运算放大器 测速发电机运算放大器
14、功率放大器电动机rufe1u2uauwcM图 24 转速自动控制系统方块图现分别列写各部分的微分方程（1）运算放大器：给定电压 与速度反馈电压 在此相减，产生偏差电压rufu并进行放大，即（2.12）11()rfeK式中， 是运算放大器的放大系数。21RK（2）运算放大器：根据运算关系， 与 间的微分方程为2u1（2.13）()dKt式中， 是运算放大器的比例系数， 为时间常数。321RK 3RC（3）功率放大器：（2.14）32au式中， 为放大系数。3（4）直流电动机：由例 22 可知电枢控制直流电动机的微分方程为（2.15）()()()muamcdwtTKtMt（5）测速发电机连同分压器
15、：（2.16）ffw式中， 为测速发电机产生的并经分压后的反馈电压，它与电动机的角速度成正fu比，比例系数为 。fK合并方程(2.12) (2.16) ，消去中间变量 、 、 和 ，经整理后可得fu12au123123rmu uf mcddwdwTKKMt t t令 ； ，则有123uK1230ufK0rm mcdddTwwttt合并同类项，整理可得 00()(1)rm mcdudTKKMt t用 去除全式，得到转速自动控制系统的微分方程为0(1)（2.17）000111m mrcdudwKttK通过式（2.17）可看出，电动机转速控制中， 电动机的转速既与给定作用有关，又和扰动作用有关。（下
16、面灰度内容暂时没用处，后期参考杨老师所编内容进行相应调整）若给定作用 为常数，负载扰动 为变化量时，用增量化表示时，式（ 2.17）rucM可写成 0011mmcTKdwtK表明了负载转矩 变化是如何引起转速变动的。该系统是恒值控制系统。c若负载扰动 为常数，给定作用 为变化量，式（2.17）则变成Mru0011mrTKddwtt表明给定电压 变化是如何引起转速变动的，该系统为速度随动系统。ru若负载扰动 和给定作用 均为变化量，系统的增量化方程即如式（2.17）描述，cMru对于线性系统，可以应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后进行叠加。2.2.2 微分方程的增量化表示分析以
17、电枢控制直流电动机的微分方程为例，从微分方程式（2.9）和（2.10）可以看出，若电动机处于平衡状态， 则各变量的各阶导 数均等于 0，于是微分方程就变成如下的代数方程。（2.18）000uamcwKM它表示平衡状态下输入量、输出量之间的关系，称 为静态数学模型。式（ 2.18）表明：直流电动机平衡状态下的角速度 与电枢电压 及负载转矩 有关。00a0c增加则 上升，相反地， 增大则 下降。当 常数时， 和 的关0au0wcMwcwau系可用特性曲线表示出来，称为控制特性；当 常数时， 和 的关系亦可0au0cM用特性曲线表示，通常称作电动机的机械特性。若电动机在某个平衡状态下运行，此时的变量
18、 、 和 分别用()atct()wt和 表示。考虑到各 变量均会有所变动，今用 表示增量，于是 电动机在0,acuM0w平衡状态附近运行的变量可表示为（2.19）0()()aacccututMwtt将式（2.19）代入式（2.10），并考虑平衡状态各变量应具有式（2.18）的关系，经化简后可得（2.20）()()()muamcdtTtKtMt这就是电动机微分方程在平衡状态附近的增量化表示式。比较式（2.10）和式（2.20）可知，两个式子在形式上是一样的，不同之 处在于式（2.20）中的变量均用平衡状态附近的增量表示。若电动机运行过程中，负载转矩 常数，则 ，增量化方程就()cMt()0ct变
19、成（2.21）()()muadwtTtKt若电动机运行过程中 常数，则 ，增量化方程为()aut 0a（2.22）()()mmcttMtd由于增量化表示式（2.14）与绝对值表示式（2.10）具有相同的形式，而使用增量化方程往往比较方便，求取增量化方程时只需用 代替某个变量就可以了。通常为方便起见， 可省略不写，这样，只要把式（2.10）中的变量全部理解成为相应的增量就可以了。2.2.3 线性系统的基本特征（关键看杨老师是否在第一章引入叠加定理，待加）用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 线性系统的重要性质是可以应用叠加定理。叠加定理有两重含义，即具有可叠加性和均匀性（或齐次性）。（1）叠
20、加性 当系统同时存在几个输入量作用时其输出量等于各输入量单独作用时所产生的输出量之和。（2）齐次性 当系统的输入量增大或缩小若干倍时，系统输出量也按同一倍数增大或缩小。在线性系统中，根据叠加原理，如果有几个不同的外作用同时作用于系统，则可将它们分别处理，求出在各个外作用单独作用时系统的响应，然后将它们叠加。例如在直流电动机转速控制系统中，其微分方程如（2.17）式描述，即000111m mrcTKKdudwMtt若负载扰动 和给定作用 同时作用给系统，采用增量化方程描述，分析cMru步骤如下：（1）令给定作用 为常数，负载扰动 为变化量（恒值控制系统），用增量化r c表示时，式（2.17）可写
21、成 0011mmcTKdwMtK通过上式计算出在负载扰动 作用下，电动机的转速变化为 。cM1w（2）令负载扰动 为常数，给定作用 为变化量（速度随动系统），式（2.17）c ru则变成 0011mrTKddwutt通过上式计算出在给定作用 作用下，电动机的转速变化为 。ru2w（3）当若负载扰动 和给定作用 均为变化量，同时作用给系统，则应用叠cMr加原理，此时电动机转速在两者作用下的变化为 。122.2.3 非线性微分方程的线性化严格地说，实际控制系统的元件都含有非线性特性，含有非线性特性的系统可以用非线性微分方程描述，但它的求解通常非常复杂。这时，除了可以用 计算机进行数值计算外，有些非
22、 线性特性还可以在一定工作范围内用线性系统模型近似，称为非线性模型的线 性化。常用的方法是将具有弱非线性的元件在一定的条件下视为线性元件。此外，在工程实际中，常常使用切线法或小偏差法，其本质是对于连续变化的非线性函数，在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。1.单变量非线性函数的线性化设连续变化的非线性函数为 ，如图 25 所示。取某平衡状态()yfx为工作点。当 时，有 。设函数 在 点0(,)Axy0x0y()fx0,)y连续可微， 则将它在该点附近 进行泰勒级数展开为（2.23）0 0220()1()() )!x xdfdfyfx当增量 很小时，略去其高次幂， 则有0（2.24
23、）000()() )xdfyfx令 ， ，则线性化方程可简记为000,xdfyxkyk略去增量符号，便得函数 在工作点 附近的线性化方程为()yfxA（2.25）k式中， 是比例系数，它是函数 在 点的切线斜率。0()xdfk ()fxxy00()yfxkA图 25 小偏差线性化示意图2双变量非线性函数的线性化对于有两个或两个以上变量的非线性系统，线性化方法与单变量完全相同，设非线性函数 ，同样可在某工作点 附近用泰勒级数展开，以12(,)yfx102(,)x同样的方法可得 12ykx略去增量符号，可得函数 在工作点附近的线性化方程为2(,)f（2.26）12ykx式中： 1010221,xx
24、ykk综上所述，在进行线性化的过程中，要注意：（1）小偏差方法只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的。（2）线性化方程中的参数与工作点有关。（3）实际运行情况是在某个平衡点（静态工作点）附近，且变量只能在小范围内变化（4）对于严重的非线性，例如继电特性，因 处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理，必须 用第八章的方法进行分析。2.3 控制系统的传递函数控制系统的微分方程是用时域法描述动态系统的数学模型，在给定初始条件下的情况下，可以通过求解微分方程直接得到系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算很繁琐，从而给系统的分析设计带来不便。经典控制论的主要研究方
25、法，都不是直接利用求解微分方程的方法，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型传递函数。传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型。在以后的分析中可以看到，利用传递函数不必求解微分方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态性能。利用传递函数还可研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而极大简化了系统分析的过程。另外，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使 综合设计问题易于实现。鉴于传递函数的重要性，本 节将对其进行深入的研究2.3.1 传递函数的概念所谓传递函数，即线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。图 26 的方块图表示一个具有
26、传递函数 的线性系()Gs统，图中表明，系统输入量与输出量的关系可以用传递 函数联系起来。()Gs()Rs()Cs图 26 传递函数的图示设线性定常系统有下述 阶线性常微分方程描述：n（2.27）1101()()()nnmmdctctdctaadrrrbbttt 式中， 为系统输出量， 为系统输入量。在初始状态为零时，对上式两()ct()端取拉氏变换，得：（2.28）110()()()()nnmmasCsasCsbRbR 式（2.28）用传递函数可表述为（2.29）110()mnnsGsaa式中： 表示输出量的拉氏变换， 表示输入量的拉氏变换， 表示()Cs()R()Gs系统或环节的传递函数。
27、通常情况下，取 1n例 24 试求例 21 无源网络的传递函数 。LC()oiUs解： 网络的微分方程式如（2.4）式描述为RLC2()()()ooidutdtLCRut在零初始条件下，对上述方程中左右各项进行拉氏变换，可得 的代数方程s为 2(1)()oiLCsRUs由传递函数定义，可得此无源网络的传递函数为 2()1oisGLRCs由上面的例子可看出，根据传递函数的定义， 获取任何系统的传递函数，首先应列出该系统的微分方程组，然后经过拉氏变换求出传递函数。然而对于电气网络，如上面的例 24，可以不列写微分方程 组，而直接用复阻抗来求传递函数。在电气网络中 对应的复阻抗分别为 、 、 。若电
28、气元件用复阻抗表RLCRLs1C示，将电 流 和电压 全换成相应的拉氏变换式 和 。那么从形式上()it()ut ()IUs看，在零初始条件下，电气元件的复阻抗和 电流、电压 的拉氏变换式 和()I之间的关系满足各种电路定律，如欧姆定律、基 尔霍夫电流定律和电压定律。()Us于是，采用普通的电路定律，经过简单 的代数运算，就可能求解 、 及相()IsU应的传递函数。例 25 试用复阻抗方法求图 21 所示的 串联电路的传递函数 。RLC()ois解：令 和 这两个复阻抗串联后的等效阻抗为 ，电容 的等效阻抗LsR1Zs为 ，则等效电路如图 2 7 所示。如此可求得系 统 的传递函数为2Z 21
29、2()11oiUsZCsLsRCLR可见所求结果与例 24 相同，但方法明显比使用传递函数定义简单。()iUs1Z2()oUs图 27 电路的复阻抗等效图RLC例 26 下图（a ）中，电压 为输入， 电压 为输出，试求传递函数 。iuou()oiUsiuou1R23RCi ou1R23RCzu4i2i3i（a） （b）图 28解：设有源电路中电流 、 、 、 以及中间电压 如图（b）所示，则根据基1i234izu尔霍夫电流定律和理想运算放大器虚断原理，得 1234ii再根据理想运放的虚地原理以及欧姆定律，将上式写成电压与阻抗的形式为（2.30）12()0()i zUssR（2.31）23()
30、0()zozzUCs将式（2.30）代入（2.31），消去中间变量 ，得系统传递函数()zs（2.32）23231()oiUsR（下面灰度内容同样没用，待以后斟酌）必须指出，用传递函数表征系统的动态性能时，是有一定的局限性的。首先，对于非零初始条件下的系统， 传递函数不能完全表征系统的动态性能，传递函数只反映了零初始条件下，输 入量对系统输出响应产生的效果，只有同时考虑由非零初始条件对系统输出响应产生的效果后，才能对系统的动态性能有完全的了解。其次，系统 内部往往有多种变量，但传递函数只是通 过系统输入量和输出量之间的关系来描述系统，而 对内部其他变量的情况却无法得知。特别是某些变量不能由输出
31、变量反映时，传递 函数就不能正确表征系统的特征，甚至会得到错误的结果。现代控制理论采用状态空间法描述系统，引入了可控性和可观测性的概念，从而对控制系统进行全面的了解，弥补了传递函数的不足。尽管如此，作 为经典控制理论基础的传递函数，在工程实践中仍不失其重要性。（此处文字待加， 还需斟酌，源自张彬自动控制原理）2.3.2 关于传递函数的几点说明 由于传递函数在经典控制理论中是非常重要的概念，故有必要对其性质、适用范围及表示形式等方面作出以下说明：（1）传递函数只适用于描述线性定常系统（2）传递函数和微分方程一样，表征系统的运动特性，是系统的数学模型的一种表示形式，它和系统的运 动方程是一一对应的
32、。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相 应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。在零初始条件下，将微分方程的算符 用复数 置换便得到传递函数；反/dts之，将传递 函数多项式中的 变量 用算法 置换便得到微分方程。s（3）传递函数是系统本身的一种属性，它只取决于系统的结构和参数，与输入量和输出量的大小和性质无关，也不反映系统内部的任何信息。且传递函数只反映系统的动态特性，而不反映系统物理性能上的差异，对于物理性质截然不同的系统，只要动态特性相同，它们的传递函数就具有相同的形式。（4）传递函数为复变量 的真有理分式，即 ，因为系统或元件总是具有snm惯性的，而且输入系统的能量
33、也是有限的。（5）传递函数是在初始条件为零时定义的，因此，在非零初始条件下，传递函数不能完全表征系统的动态性能。另外，系 统内部往往有多种变量，但 传递函数只是通过系统输入量和输出量之间的关系来描述系统，而对内部其他变量的情况却无法得知。特别是某些 变量不能由输出变量反映时，传递函数就不能正确表征系统的特征。现代控制理 论采用状态空间法描述系统，引入了可控性和可观测性的概念，从而对控制系统进 行全面的了解，可以弥补传递函数的不足。（6）传递函数 的拉氏反变换是脉冲响应 。推导如下：()Gs ()gt脉冲响应是在零初始条件下，线性系统对理想单位脉冲输入信号的输出响应。因此，输入量 ，所以有()(
34、1RsLt1)()()gCsRsGLsA（7）传递函数的几种表达形式有理分式表达形式 如(2.29)式表示，同时传递函数还可以表示为零、极点和时间常数形式。零、极点表达形式 式（2.29）的分子分母多项式经因式分解后可写成如下形式（2.33）121()()() mimignn njjszbszszGKappp式中， 是分子多项式的零点，称为传递函数的零点；(1,2)iz是分母多项式的零点，称为传递函数的极点；而 称为传(,)jpn mgnbKa递函数的传递系数，也是第四章将要介绍的根轨迹增益。这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹中使用较多。传递函数的零点和极点可同时表示在复平面上，通常用
35、“ ”表示传递函数的零点，用“”表示传递函数的极点，假设传递函数为 2()4()5)ksG其零、极点分布如图 29 所示。 j0 1 5 4 3 2j图 29 传递函数的零、极点分布图时间常数表达形式式（2.29）的分子、分母多项式经因式分解后还可表示为（2.34）111()0() mm iinnn jjsdsdsbGs KaccT式中， 为分子各因子的时间常数； 为分母各因子的时间常数； 称ijT0bKa为开环增益。传递函数的这 种时间常数表示形式在频域分析法中使用最多。因为（2.29）式分子、分母多项数的各项系数均为实数，所以传递函数 如()Gs果出现复数零点、极点的话 ，那么复数零点、极
36、点必然是共 轭的。如果传递函数总有 个等于 0 的极点，并考虑到既有实数零点、极点，又有共轭复数零点、极点时，那么式（2.33）、（2.34）可改写 为一般式为（2.35）1212 21()()()mikkgiknnjlljlszsKGsp和（2.36）12121()(1)()mikkinnjjlljlssKGsTpTs以上两式中， 。1212,2.3.3 典型环节及其传递函数线性系统传递函数的普遍形式如式(2.29)所示，它由一些基本因子的乘积所组成。这 些基本因子就是典型 环节所对应的传递函数，它们是传递函数的最简单、最基本的形式。控制系统是由各种元部件相互连接组成的。虽然不同的控制系统所
37、用的元部件不相同，如机械的、电子的、液 压的、气 压的和光电的等等，然而，从 传递函数的观点来看，尽管它们的 结构、工作原理极不相同，但其运 动规律却可以完全相同，即具有相同的数学模型。为了便于研究自动控制系统，通常按数学模型的不同，将系统的组成元件归纳为典型的几个类别，每种类别有其相应的传递函数，叫做一种典型环节。线性定常系统的典型环节有比例环节、惯性环节、 积分环节、微分 环节、振荡环节及延迟（滞后）环节等几种。1.比例环节（又称放大环节）比例环节的输出量与输入量成比例关系。具体为（1）微分方程 ()0ctKrt（2）传递函数（2.37）()CsGR式中， 为比例系数或传递系数。若 输出、
38、输入的量 纲相同，则称为放大系数。K（3）动态响应当 时， 。()1rt()1ctKt比例环节立即成比例地响应输入量的变化，比例环节的阶跃响应曲线如图210 所示。t()rtc()rt1cK图 210 比例环节的阶跃响应曲线（4）实例常见的分压器、交流变压器、线性放大器、杠杆均属比例环节。2.惯性环节（1）微分方程 ()()0dctTrt（2）传递函数为（2.38）()1CsGRT式中， 为时间常数。T（3）动态响应当输入 时， ，则()1rt1()Rs1()1CGsTsTA拉氏反变换得 ()tcte其单位阶跃响应曲线如图 211 所示T0.6321()rtt0 10 20 30 40 50
39、60 70 80 90 1000.20.40.60.81()rtc/tTte图 211 惯性环节的单位阶跃响应曲线由图 211 可见，当输入信号由 0 突变为 1 时， 输出信号不能立即响应，而是按指数规律逐渐增大，表明 该环节具有惯性。（4）实例惯性环节的例子很多，如加热炉、 测温用的热电偶、发电机等均属于惯性环节。3.积分环节积分环节的输出量与输入量的积分成正比。具体表述为（1）微分方程1()()0ctrtdT（2）传递函数（2.39）()1CsGRT式中， 为积分时间常数。T（3）动态响应当输入信号 时，()1rt1()Rs21CGsTA拉氏反变换得 ()ct其单位阶跃响应曲线如图 21
40、2，可见 随时间 直线上升，其斜率为 。()tt 1Tt()rtc1()tT图 212 积分环节的单位阶跃响应曲线（4）实例积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元件一般都含有积分环节。例如，水箱的水位与水流量，烘箱的温度与热流量（或功率），机械运动中的转 速与转矩，位移与加速度，电容的电量与电流等。积分 环节是自动控制系统遇到的最多的环节之一。4.微分环节微分环节的特点是输出量与输入量的导数成比例关系。按方程的不同，分纯微分环节、一阶微分环节（也称比例微分环节）和二阶微分环节，分别描述为（1）微分方程 2()()0()()() 0drtct
41、tdrrtct ttd（2）传递函数对应的传递函数为（2.40）2()1(01)Gss（3）动态响应纯微分环节：当 时， ，此时()1rt1()Rs1()()CsRGs得 ctt式中， 为理想单位脉冲函数，它是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的()t理想脉冲信号。其单位阶跃 响应曲线如图 213 所示。()rtt()rtc图 213 纯微分环节的单位阶跃响应曲线一阶微分环节：一阶微分环节的阶跃响应为比例环节与纯微分环节的阶跃响应的叠加。（4）实例纯微分环节的输出量与输入量的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为导数，积 分环节的实例的逆 过程就是纯微分。如不 经电 阻对电容的充电过程， 电流与电压
42、的关系即是一纯微分，如图 214（a）所示；而 图 214（b）所示则为一比例微分调节器，其传递函数 为 ()1)oiUsGK式中， ， 。21RK1CCUSi iu1R2ou0C（a）纯微分实例 （b）一阶微分实例图 214 微分环节实例5 振荡环节振荡环节的特点是环节中含有两种不同能量形式的储能元件，两者间不断进行能量交换，致使输出量呈 现出振荡的性质。（1）微分方程 2()()()dctdctTrt（2）传递函数（2.41）221() nwGsTs式中， ， 称为阻尼比。1/nwT（3）动态响应（详细推导过程见第三章二阶系统的时域分析）当 时， 为等幅自由振荡（又称无阻尼振荡）。其振荡频
43、率为 ，0()ct nw称为无阻尼自然振荡频率。nw当 时（过阻尼过程）， 为非周期响应。 这是系统已经不是振荡环节。1()ct当 时， 为减幅振荡（又称欠阻尼振荡）。其振荡频率为 ， 称0()t dw为阻尼振荡频率。这时响应为 ()1sin()2wtdectt式中， 211,tandnw其单位阶跃响应曲线如图 215 所示。图 215 振荡过程的单位阶跃响应（4）实例如例 21 所示的 电路。RLC6 延迟环节（时滞环节或纯滞后环节）其特点是输出量经历一段延迟时间 后，完全复现输入信号。具体为（1）微分方程 ()ctrt()rtc0.271.51式中， 为纯延迟时间。（2）传递函数由拉氏变换
44、的性质可得（2.42）1()sGe若将 按泰勒级数展开，得se 231!sse当 很小时， ，于是式（2.42）可近似为se（2.43）1()sGe上式表明，在延迟时间很小时，延 迟环节可用一个小惯性环节来代替。（3）动态响应延迟环节的单位阶跃响应如图 216 所示。 t()rtc10()ct图 216 延迟环节的单位阶跃响应（4）实例延迟环节在工程中是经常遇到的，例如过程控制系统中的管道运输、皮带运输机都是典型的延迟环节。2.4 控制系统的结构图传递函数是由代数方程组通过消去系统中间变量得到的，如果系统结构复杂，方程组数目较多，消去中间变量就比较麻烦，并且中间变量的传递过程在系统输入与输出关
45、系得不到反映，因此，结构图作为一种数学模型，在控制理论中得到了广泛的应用。2.4.1 结构图的概念结构图是将方块图与传递函数结合起来的一种将控制系统图形化了的数学模型。如果把组成系统的各个 环节用方块表示，在方块内标出表征此环节输入输出关系的传递函数，并将环节 的输入量、 输出量改用拉氏变换来表示， 这种图形成为动态结构图，简称结构 图。如果按照信号的 传递 方向将各环节的结构图依次连接起来，形成一个整体，这就是系统结构图。结构图不但能清楚表明系统的组成和信号的传递方向，而且能清楚地表示出系统信号传递过程中的数学关系。（第一章是否介绍方块图的概念？）2.4.2 结构图的组成和建立1.结构图的组成控制系统的结构图，是由许多对信号进行单向运算的方块和一些连线组成，包含四种基本单元。（1）函数方块：表示元件或环节输入、输出变量的函数关系，指向方块图的箭头表示输入信号，从方块出来的箭头表示输出信号，方块内是表征其输入输出关系的传递函数。如图 217 （a）所示，此时 。()()CsGRs（2）信号线：用带有箭头的直线表示，箭头方向表示信号的传递方向，信号线旁标记信号的像函数（拉氏变换），如果 217（b）所示。()Rs()()s()RsB()s()GsRC
