1、1容斥原理涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算： 一的个数+二的个数都含有的个数总数都不含有的个数【例 3】某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少 A.10 B.4 C.6 D.8 应用公式 26+24-22=32-XX=4 所以答案选 B【例 9】某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有多少人。 A.57 B.73 C.130 D.69 应用公式：
2、 68+62-X=85-12X=57 人抽屉原理：【例 1】在一个口袋里有 10 个黑球，6 个白球，4 个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？ A.14 B.15 C.17 D.1849. 采取总不利原则 10+4+1=15 这个没什么好说的剪绳问题核心公式 一根绳连续对折 N 次，从中 M 刀，则被剪成了(2NM+1)段 【例 5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪 6 刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？ A.18 段 B.49 段 C.42 段 D.52 段 23*6+1=49 2 方阵终极公式假设方阵最外层一边人数为 N，则一、实心方阵人数=NN 二、最外
3、层人数= （N 1）4 【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人？A.256 人 B.250 人 C.225 人 D.196 人 （N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以选 A【例 3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生：【浙江 2003-18】 A.600 人 B.615 人 C.625 人 D.640 人 （N-1）4=96 N=25 N*N=625过河问题：来回数=（总量 -每次渡过去的）/（每次实际渡的）*2+1次数 =（总量- 每次渡过去的）/（每次实际渡的）+1【例 1】有 37 名红军
4、战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？【广东 2005 上-10 】 2A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.10 次 37-1/5-1 所以是 9 次 【例 2】49 名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7 人的橡皮船，过一次河需 3 分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（ ） 【北京应届 2006-24】 A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出? A.7 B.8 C.9 D.10 【
5、（10-4）/1】+1=7核心提示 三角形内角和 180 N 边形内角和为（ N-2）180【例 1】三角形的内角和为 180 度，问六边形的内角和是多少度？【国家2002B-12】 A.720 度 B.600 度 C.480 度 D.360 度 （6-2）180=720盈亏问题：（1 ）一次盈，一次亏：（盈+ 亏）（两次每人分配数的差）=人数（2 ）两次都有盈： （大盈-小盈）（两次每人分配数的差）=人数（3 ）两次都是亏： （大亏-小亏）（两次每人分配数的差）=人数（4 ）一次亏，一次刚好：亏 （两次每人分配数的差）=人数（5 ）一次盈，一次刚好：盈 （两次每人分配数的差）=人数例：“ 小
6、朋友分桃子，每人 10 个少 9 个，每人 8 个多 7 个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解（7+9）（10-8）=162=8（个）人数 108-9=80-9=71（个）桃子还有那个排方阵，一排加三个人，剩 29 人的题，也可用盈亏公式解答。行程问题模块平均速度问题 V=2V1V2/V1+V2【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km 往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少？ A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米，则它的平
7、均速度为多少千米/时？【浙江 2003-20】 A.24 千米时 B.24.5 千米时 C.25 千米时 D.25.5 千米/时 2*30*20/30+20=24比例行程问题路程速度时间（ 1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或 ）路程比速度比时间比，S1/S2=V1/V2=T1/T2运动时间相等，运动距离正比与运动速度 运动速度相等，运动距离正比与运动时间 3运动距离相等，运动速度反比与运动时间 【例 2】 A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车 4 分钟走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程，乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出一段时
8、间后，甲火车从 A 站出发开往 B 站，上午 9 时整两列火车相遇，相遇地点离 A、B 两站的距离比是 1516 ，那么，甲火车在什么时刻从 A 站出发开往 B 站。 A.8 时 12 分 B.8 时 15 分 C.8 时 24 分 D.8 时 30 分 速度比是 4：5路程比是 15：1615S：16S5V : 4V 所以 T1:T2=3:4 也就是 45 分钟 60-45=15 所以答案是 B在相遇追及问题中： 凡有益于相对运动的用“加” ，速度取“和” ，包括相遇、背离等问题。 凡阻碍 相对运动的用“减” ，速度取 “差” ，包括追及等问题。 从队尾到对头的时间= 队伍长度/速度差从对头
9、到队尾的时间= 队伍长度/速度和【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？（ ）【北京社招 2005-20】 A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米X/90+X/210=10 X=630某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120 秒，整列火车完全在桥上的时间 80 秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】 A.10 米 /秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/ 秒 D.500 米/分 核心提
10、示 列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+ 车长）/列车速度1000+X=120V1000-X=80V解得 10 米/秒为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨 2.5 元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水 15 吨，交水费 62.5 元，若该用户下个月用水 12 吨，则应交水费多少钱？15 顿和 12 顿都是超额的，所以 62.5（3X5）例 1某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100 千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为 8 千米
11、/小时，汽车速度为 40 千米/ 小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？A.5.5 小时 B.5 小时 C.4.5 小时 D.4 小时假设有 m 个人（或者 m 组人） ，速度 v1，一个车，速度 v2。车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为 S。T=(S/v2)*(2m-1)v2+v1/v2+(2m-1)v1【分享】排列组合基础知识及习题分析4在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ C5 取 3（543）/（321） C6 取 2（65 ）/（21） 通过这 2 个例子 看出 CM 取 N 公式 是种子数 M 开始与自身连续的 N 个自然数
12、的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 P53543 P66654321 通过这 2 个例子 PMN从 M 开始与自身连续 N 个自然数的降序乘积 当 NM 时 即 M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从 n 个不同的元素中，任取 m (mn)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序” 与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列” ，无序用 “组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法” ，分步用 “乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有 n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.
13、分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成 n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成 n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这 n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有 n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单
14、独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成 n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在 ” “邻”与“不邻 ” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： “相邻” 问题在解题时常用“ 合并元素法” ，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. “不邻” 问题在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是
15、先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含 ” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法 ”或“间接法”. 3 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. 提供 10 道习题供大家练习 51、三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数为（ C ） (A)25 个 (B)26 个 (C)36 个 (D)37 个 【解析】
16、根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 可见最大的边是 11 则两外两边之和不能超过 22 因为当三边都为 11 时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为 11，则另外一个边的长度是 11，10，9，8，7 ，6， 。 。 。 。 。 。1 如果为 10 则另外一个边的长度是 10，9，8。 。 。 。 。 。2 ， （不能为 1 否则两者之和会小于 11，不能为 11，因为第一种情况包含了 11，10 的组合）如果为 9 则另外一个边的长度是 9，8 ，7， 。 。 。 。 。 。 。3 （理由同上 ，可见规律出现） 规律出现 总数是 1197 。
17、 。 。 。1 （111）6236 2、 （1）将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？ 【解析】 每封信都有 3 个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第 1 封信，有 3种可能性。接着再放第 2 封，也有 3 种可能性，直到第 4 封， 所以分步属于乘法原则 即333334 （2）3 位旅客，到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有 4 种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是 4 种，再安排第 2 个旅客是 4种选择。知道最后一个旅客也是 4 种可能。根据分步原则属于乘法关系 即
18、 44443 （3）8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 【解析】分步来做 第一步：我们先选出 3 本书 即多少种可能性 C8 取 356 种 第二步：分配给 3 个同学。 P336 种 这 里稍微介绍一下为什么是 P33 ，我们来看第一个同学可以有 3 种书选择，选择完成后，第 2 个同学就只剩下 2 种选择的情况，最后一个同学没有选择。即 321 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2 ，3，4 四个数字可以组成多少 4 位数？ 也是满足这样的分步原则。 用 P 来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该
19、题结果是 566336 3、 七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600） 【解析】 这个题目我们分 2 步完成 第一步： 先给甲排 应该排在中间的 5 个位置中的一个 即 C5 取 15 第二步： 剩下的 6 个人即满足 P 原则 P66720 所以 总数是 72053600 （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440） -【解析】 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2 取 12 6第二步：剩下的 6 个人满足 P 原则 P66720 则总数是 72021440 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种
20、？ （3120） 【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况 去除 3 个位置 剩下 4 个位置供甲选择 C4 取 14， 剩下 6 个位置 先安中间位置 即除了甲乙 2 人，其他 5 人都可以 即以 5 开始，剩下的 5 个位置满足 P 原则 即5P555120600 总数是 46002400 第 2 种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的 6 个位置满足 P66720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 24007203120 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440） 【解析】相邻用捆绑原则 2 人变一人，7 个位置变成
21、 6 个位置，即分步讨论 第 1： 选位置 C6 取 16 第 2： 选出来的 2 个位置对甲乙在排 即 P222 则安排甲乙符合情况的种数是 2612 剩下的 5 个人即满足 P55 的规律 120 则 最后结果是 120121440 （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） 【解析】 这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是 P775040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是 504022520 4、用数字 0，1 ，2，3，4 ， 5 组成没有重复数字的数. （1）能组成多少
22、个四位数？ （300） 【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排 0。 则只有 5 种可能性 接下来 3 个位置满足 P53 原则 54360 即总数是 605300 （2）能组成多少个自然数？ （1631） 【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1 位数： C6 取 16 2 位数： C5 取 2P22C5 取 1P1125 3 位数： C5 取 3P33C5 取 2P222100 4 位数： C5 取 4P44C5 取 3P333300 5 位数： C5 取 5P55C5 取 4P444600 6 位数： 5P555120600 总数是 1631 这里解释一下计算方式
23、比如说 2 位数： C5 取 2P22 C5 取 1P1125 先从不是 0 的 5 个数字中取 2 个排列 即 C5 取 2P22 还有一种情况是从不是 0 的 5 个数字中选一个和 0 搭配成 2 位数 即 C5 取 1P11 因为 0 不能作为最高位 所以最高位只有1 种可能 （3）能组成多少个六位奇数？ （288） 【解析】高位不能为 0 个位为奇数 1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 34P441224288 7（4）能组成多少个能被 25 整除的四位数？ （21） 【解析】 能被 25 整除的 4 位数有 2 种可能 后 2 位是 25： 339 后 2 位是 50： P4
24、24312 共计 91221 （5）能组成多少个比 201345 大的数？ （479） 【解析】 从数字 201345 这个 6 位数看 是最高位为 2 的最小 6 位数 所以我们看最高位大于等于 2 的 6 位数是多少？4P554120480 去掉 201345 这个数 即比 201345 大的有 4801479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640） 【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1) 个位上的和：M3=44(5+4+3+2+1) 总和 MM1+M2+M3=32640 5、生产某种产品
25、 100 件，其中有 2 件是次品，现在抽取 5 件进行检查. （1） “其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096） 【解析】 也就是说被抽查的 5 件中有 3 件合格的 ，即是从 98 件合格的取出来的 所以 即 C2 取 2C98 取 3152096 （2） “其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560） 【解析】同上述分析，先从 2 件次品中挑 1 个次品，再从 98 件合格的产品中挑 4 个 C2 取 1C98 取 47224560 （3） “其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864） 【解析】则即在 98 个合格的中抽取 5 个 C98 取 567910
26、864 （4） “其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656） 【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有 1 种的 C100 取 5C98 取 57376656 （5） “其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424） 【解析】所有的排列情况中去掉有 2 件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100 取 5C98 取 375135424 6、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型和乙型电视机各 1台，则不同的取法共有（ ） (A)140 种 (B)84 种 (C)70 种 (D)35 种 【解析】根据条件我们可以分 2 种
27、情况 第一种情况：2 台甲1 台乙 即 C4 取 2C5 取 16530 第二种情况：1 台甲2 台乙 即 C4 取 1C5 取 241040 所以总数是 304070 种 7、在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任抽 5 件，至少有 3 件是次品的抽法有_种. 【解析】至少有 3 件 则说明是 3 件或 4 件 3 件：C4 取 3C46 取 24140 4 件：C4 取 4C46 取 146 共计是 4140464186 8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需 2 人承担, 乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选派 4 人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ） 8(A)1260 种 (
28、B)2025 种 (C)2520 种 (D)5040 种 【解析】分步完成 第一步：先从 10 人中挑选 4 人的方法有：C10 取 4210 第二步：分配给甲乙并的工作是 C4 取 2C2 取 1C1 取 162112 种情况 则根据分步原则 乘法关系 210122520 9、12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有_ C(4,12)C(4,8)C(4,4) _种 【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是 C12 取 4 第二个路口是 C8 取 4 第三个路口是 C4 取 4 则结果是 C12 取 4C8 取 4C4 取 4 可能到了这里有
29、人会说 三条不同的路不是需要 P33 吗 其实不是这样的 在我们从 12 人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再P33 则是重复考虑了 如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要P33 10、在一张节目表中原有 8 个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990 【解析】这是排列组合的一种方法 叫做 2 次插空法 直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插 9 个空位，有 P(9,1)种方法；再用另一个节目去
30、插 10 个空位，有 P(10,1)种方法；用最后一个节目去插 11 个空位，有 P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为 P(9,1)P(10,1)P(11,1)=990 种。 另解：先在 11 个位置中排上新添的三个节目有 P(11,3)种，再在余下的 8 个位置补上原有的 8 个节目，只有一解，所以所有方法有 P3111=990 种。1. 【分享】排列组合新讲义一、 排列组合定义1、什么是 C公 式 C 是 指 组 合 ， 从 N 个 元 素 取 R 个 ， 不 进 行 排 列 （ 即 不 排 序 ） 。例 如 ： 编 号 1 3 的 盒 子 ， 我 们 找 出 2 个 来
31、 使 用 ， 这 里 就 是 运 用 组 合 而 不 是 排 列 ，因 为 题 目 只 是 要 求 找 出 2 个 盒 子 的 组 合 。 即 C（ 3， 2） 32、什么是 P 或 A公 式 P 是 指 排 列 ， 从 N 个 元 素 取 R 个 进 行 排 列 (即 排 序 )。例 如 ： 1 3， 我 们 取 出 2 个 数 字 出 来 组 成 2 位 数 ， 可 以 是 先 取 C（ 3， 2） 后 排P22， 就 构 成 了 C（ 3， 2） P（ 2， 2） A（ 3， 2）3、A 和 C 的关系事实上通过我们上面 2 个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比 C 多了一个排序步骤
32、，即组合是排列的一部分且是第一步骤。4、计算方式以及技巧要求组合：C（M ，N）M ！ （ N！（MN）！） 条件：N=M排列：A（ M，N）M！ （M N）！ 条件：N=M9为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1 7 的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（ M，N）当中 N 取值过大，那么我们可以看 MN 的值是否也很大。如果不大。我们可以求 C（ M，M N） ，因为 C（M，N）C（M，M N）二 、 排列组合常见的恒等公式1、C（n ，0 ） C（n，1）C（n，2）C（n，n）2n2、C（m，n ） C（m，n1
33、）C （m1 ，n1）(1)有 10 块糖，假设每天至少吃 1 块，问有多少种不同的吃法？解答：C（9 ，0 ）C （9，1 ） C（9，9 ）29=512(2)，公司将 14 副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1 副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法 之和为 70，求，甲挑选了多少副参加展览？C（8，n ）70 n4 即得到甲选出了 4 副。排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于
34、这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零，例如：7 个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看，第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A（5，5）第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A（5，5）我们分别计算出 2 种情况进而求和即得到答案。 这就是分类原则。 这样就是 A（5，5）A（5，5 ）240(2)、乘法原理（实质上就是一种分步原则）：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2
35、种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2m3mn 种不同的方法例如： 7 个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则，第一步：我们先对甲乙之外的 5 个人先排序座位，把两端的座位空下来， A（5，5）第二步：我们再排甲乙，A（2，2 ）这样就是 A（5，5）A（2，2）240如何区分两个原理：我们知道分类原则也就是加法原则，每一个分类之间没有联系，都是可以单独运算，单独成题的，也就是说，这一类情况的方法是独立的，所以我们采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有 n 类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；我们知道
36、分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分 n 个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理说明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来10（3 ）特殊优先，一般次要的原则例题：（1 ）从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有_个。第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。（2 ）在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A， B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生
37、长，要求 A，B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有_ 种。第一类：A 在第一垄，B 有 3 种选择； 第二类：A 在第二垄，B 有 2 种选择； 第三类：A 在第三垄，B 有一种选择， 同理 A、B 位置互换 ，共 12 种。（3 ）从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。 （一）从 6 双中选出一双同色的手套，有 C（6 ，1）种方法； （二）从剩下的 5 双手套中任选 2 双，有 C（5，2 ）种方法。 （三）这 2 双可以任意取出其中每双中的 1 只，保证各不成双；即
38、 C（6，1）*C（5，2）*22=240 （4 ）身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。 分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有 C（6，2）C（4，2）C（2 ，2）=90种。四、 解决排列组合问题的策略1、 逆 向 思 维 法 ： 我 们 知 道 排 列 组 合 都 是 对 一 个 元 素 集 合 进 行 筛 选 排 序 。 我 们 可 以 把 这个 集 合 看 成 数 学 上 的 单 位 1， 那 么 1 a b 就 是 我
39、们 构 建 逆 向 思 维 的 数 学 模 型 了 ， 当 a 不 利 于 我 们 运 算 求 解 的 时 候 ， 我 们 不 妨 从 b 的 角 度 出 发 思 考 ， 这 样 同 样 可 以 求 出a 1 b。例 题 ： 7 个 人 排 座 ， 甲 坐 在 乙 的 左 边 （ 不 一 定 相 邻 ） 的 情 况 有 多 少 种 ？例 题 ： 一 个 正 方 体 有 8 个 顶 点 我 们 任 意 选 出 4 个 ， 有 多 少 种 情 况 是 这 4 个 点 可 以 构成 四 面 体 的 。例 题 ： 用 0，2，3，4 ，5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A2
40、4 个 B30 个 C40 个 D60 个2、 解含有特殊元素、特殊位置的题 采用特殊优先安排的策略：11（1 ）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集例题：用 0，1，2 ，3，4，5 六个数字可组成多少个被 10 整除且数字不同的六位数?（2 ）包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系 例题：用 0，1，2 ，3，4，5 六个数字可组成多少个被 5 整除且数字不同的六位奇数?P55P4412024 96 用 0，1，2，3 ，4，5 六个数字可组成多少个被 25 整除且数字不同的六位数?25， 75 （3 321）2 P44362460（3 ）影响型：
41、两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。例题：用 1，2 ，3 ，4，5 这五个数字，可以组成比 20000 大并且百位数字不是 3 的没有重复数字的五位数有多少个?3、 解含有约束条件的排列组合问题一 采用合理分类与准确分步的策略例题：平面上 4 条平行直线与另外 5 条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有_个。简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步先在 4 条平行线中任取两条，有C4 取 2 种取法；第二步再在 5 条平行线中任取两条，有 C5 取 2 种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有 610=60 个4、解排列组台混合问题 采用先选后排策
42、略对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。 例：4 个不同小球放入编号为 1、2、3 、4 的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_ 种。1445、插板法插板法的条件构成： 1 元素相同， 2 分组不同，3 必须至少分得 1 个插板法的类型：（1 ） 、10 块奶糖分给 4 个小朋友，每个小朋友至少 1 块，则有多少种分法？（典型插板法 点评略）（2 ） 、10 块奶糖分给 4 个小朋友有多少种方法？（凑数插板法： 这个题目对照插板法的3 个条件我们发现 至少满足 1 个这个条件没有， 所以我们必须使其满足，最好的方法 就是用 14 块奶糖来分，至少每人 1 块 ，当每个人都
43、分得 1 块之后，剩下的 10 块就可以随便分了，就回归到了原题）（3 ） 、10 块奶糖放到编号为 1，2，3 的 3 个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有几种方法？（定制插板法： 已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排 使得每个盒子都差 1 个，这样就保证每个盒子必须分得 1 个，从这个思路出发，跟第二个例题是姊妹题 思路是一样的 对照条件 想办法使其和条件吻合！）（4 ） 、8 块奶糖和另外 3 个不同品牌的水果糖要放到编号为 111 的盒子里面，每个盒子至少放 1 个，有多少种方法？（ 多次插空法 这里不多讲，见我排列组合基础讲义 ）6、递归法（枚举法）
44、 公考也有这样的类型， 排错信封问题，还有一些邮票问题归纳法：例如：5 封信一一对应 5 个信封，其中有 3 个封信装错信封的情况有多少种？枚举法：12例如：10 张相同的邮票 分别装到 4 个相同的信封里面，每个信封至少 1 张邮票，有多少种方法？枚举：1， 1，1，71， 1，2，61， 1，3，51， 1，4，41， 2，2，51， 2，3，41， 3，3，32， 2，2，42， 2，3，39 种方法！五、 疑难问题1、如何验证重复问题2、关于位置与元素的相同问题，例如： 6 个人平均分配给 3 个不同的班级，跟 6 个学生平分成 3 组的区别3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。例题
45、： 1，2 ，3 ，4，5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？例题：7 个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？注解：分析 2 种对立情况的概率，即可很容易求解。 当对立情况的概率相等，即对称原理。4、环形排列和线性排列问题。 （见我的基础排列组合讲义二习题讲解 ）例如：3 个女生和 4 个男生围坐在一个圆桌旁。 问有多少种方法？例如：3 对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，我们知道，环形排列中 每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。
46、5、几何问题：见下面部分的内容。例析立体几何中的排列组合问题在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。1 点1 1 共面的点例题： 四面体的一个顶点为 A，从其它顶点与棱的中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有（ ）A30 种 B33 种 C36 种 D39 种 答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的 3 点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。131 2 不共面的点例 2： 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（ ）A150 种
47、B147 种 C144 种 D141 种解析：从 10 个点中任取 4 个点有 C（10，4）210 种取法，其中 4 点共面的情况有三类：第一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有 C（ 6，2）15 种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及对棱的中点，这 4 点共面有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的 4 个顶点共面，有 3 种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有 21041563 141 种。答案：D。点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。几何型排列组合问题的求
48、解策略有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.一 分步求解例 1 圆周上有 2n 个等分点（n1 ） ，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从 2n 个点中构成直径（即斜边）共有 n 种取法；再从余下的 (2n2) 个点中取一点作为直角顶点，有(2n2)种不同取法故总共有 n(2n2)2n(n1)个直角三角形故填2n(n1)例 2： 从集合0、1、2、3、5、7 、11中任取 3 个元素分别作为直线方程 AxByC0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点原直线共有_条（结果用数值来表示）
