1、1电缆终端电场的有限元分析 摘要：电缆终端是具有典型强电场分布的绝缘结构，对绝缘性能要求很高。从电磁场问题的物理意义出发，静电场是电磁场的一种稳定状态，物理运动只有处于内能最小的情况，才能保持其稳定状态。有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法，与有限差分法求解边值问题的处理方法有所类似。掌握有限元法的原理与处理问题的方法，了解有限元的方法。关键词 ： 电缆终端 电场 有限元分析ABSTRACT：The electric cable terminal is a insulating structure with a strong electric field of typical
2、 model. From the physical significance of the electromagnetic field problems based on electrostatic field of electromagnetic field is a stable state, physical exercise is only internal energy minimum, to maintain its steady state. The finite element method based on variational principle and split in
3、terpolation based on a numerical calculation method, and finite difference method for solving boundary value problems processing method is similar. Master the principle of finite element method and the method of dealing with problems, understanding the finite element method in use should be attentio
4、n to some problems.Keywords： electric cable terminal ;electric field ;FEM0 引言有限元的应用范围非常广泛。结合其它理论和方法还有很多广阔的发展前景，本文主要介绍了几种常见的静电场数值计算方法的优缺点，选择有限元法计算电缆终端绝缘结构的电场。掌握有限元法的原理与处理问题的方法，了解有限元法在使用中需注意的一些问题，以便为选择有限元应用软件及实际建模计算提供理论依据，更好的优化模型以减小有限元法的自身存在的问题。1 有限元法有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法，与有限差分法求解边值问题的处理方法有所类似。它
5、首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题，然后利用剖分插值将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。从电磁场问题的物理意义出发，静电场是电磁场的一种稳定状态，物理运动只有处于内能最小的情况，才能保持其稳定状态。因此由电场能量最小的条件求得的电位分布，一定是静电场真实的电位分布；即满足能量泛函为极小值的电位函数，一定与满足静电场微分方程及边界条件的电位函数完全相同 10.1.1.静电场的能量泛函极值解用二维静电场来分析与求解静电场微分方程等价的变分问题能量泛函极值问题。当电场中有空间电荷 ，场
6、域 D 的电场能量泛函为02(1) DDdxyyxdxyEW)(221)( 2能量泛函的变分为(2)Dt xyt )()()(0由格林公式得(3)DcdlndxyW)()(2其中 D 为场域，C 为场域边界， 为边界线上的单位法线向量。n由上式可以看出求静电场问题，需要附加边界条件。主要为以下四种情况:（1）第一类边界为电位 是边界点 S 的点函数， 。由于边界 C 上)(sfc为已知值，所以 ，代入上式0c(4)DdxyW)()(2因为静电场中 满足泊松方程 ，则对于任意 ，必有 /2 )0(c(5)0)(即能量泛函取极小值的条件。（2）第一类及第二类边界（ ） ，电位函数 在边界法线方向的
7、导数cn。考虑到 满足泊松方程及 或 ，由式（3）也可以得到0n0ccnW( )= 0。（3）第一类及第二类边界（ ） ，在第二类边界上，电位函数 在边)(sfnc界法线方向的导数 是边界点 S 的点函数。考虑到 满足泊松方程以及部分边界 Cn上 为已知值，由式(3)可得n(6)0)(dlnW3可写为 (7)0)(cW设式(7)中(8)dlnc)(式(8)中- 是 段上的电荷量， 反映了边界 dqlDdlnnl dqc)(C 的能量状态。（4）场域中有不同介质。如图所示的场域 内有两种不同的介质，其D中 内介电常数为 ，其边界为 + ； 内介电常数为 ，其边界111C2 2为 + ； = +
8、，其边界 = + 。介质分界面 上电)2(D212C1C位 连续，电通量密度的法向分也连续。图 1 有不同介质的场域场域内能量泛函为(9) 1 2 )()(2)( 22112DDdxydxyW其变分为4(10) )2(1 )1_(22 )2(11 )1(22 1222 112)()()(CDCCDCdln dlndlnxyldlndxyW 由于介质分界面上 及 连续，且 与 方向相反，所以上式等号右侧的)1(2)2(后两项之和为零，只要将 看作为坐标（x,y）的函数，变分法不需作其它处理。式(10)可变为(11)DCdlndxyW)()(2即(12)0)()(通过以上四种情况的分析可知，变分法
9、可将静电场边值问题变换为能量泛函取极值的变分问题，即关于电位的方程。1.2 变分问题的离散解由式(3)及式(12)虽然得出了关于电位的方程，但由此来求解析解很困难，这时就需要对其进行离散化来求解。将场域 剖分为有限数量( )个单元。设单元节点总数为 个，其电位分别为，D00n则能量泛函 以及 可用多元函数 以及)W(c ),.(021W来近似表达。泛函取极值的问题将变为多元函数求极值的问题,.(021nc。设 个节点中，有 个节点电位未),.() 0021ncd0n知，其编号为 ，则可得,3,(13) 0)()(1 nnCnCC dWdWd 由于 的选择是任意的，如果除了使 d 外，取其余的为
10、零，则),.21(ni i得 5(14)0)(iICdW同理，对于所有电位未知的节点均有式(14)成立，这样就得到了 n 个 n 元线性代数方程。解此方程组，即可得节点电位值 ，这样也就得到了以节点电位).,21(i表示的电场近似解。1.3. 轴对称场计算方法（1）轴对称场的泛函和变分电缆属于轴对称场，绝缘中无自由电荷，即 ，则采用圆柱坐标，位函数0是 和 的函数，即 ，故有rz),(zr(15)( min)2(210sLrdzrF式中为位函数， 即为电力电缆的相电压； 为介质相对介电常数。（2）轴对称场场域的剖分用有限元法解题的过程和古老的里兹法非常相似，但对基函数具有分片连续的特点。在有限
11、元中需将连续域剖分成有限个数单元。如在二维场中，常用三角形或四边形剖分。这样泛函的面积可表示为每个单元面积的总和。剖分时，各单元只能以顶点相交，不同单元的相同点电位相等，每个单元顶点的编号顺序一致。单元中任意点的函数值 可用单元各顶点的函数值表示为(16)10inieN式中， 为剖分单元的顶点数； 表示单元中各顶点处的电位值； 称为单元形状oni ein函数。基函数 应具备完备性、一致性和相容性，即这个基函数 中的有限元和能使iu 以任何精度接近于真值 且将式(16) 代入式(15)能使泛函存在，而且函数在单元边界0处连续。由上述有限元的离散化，在各个三角元 内，分别给定对于 呈线形变化的插e
12、yx,值函数 ，即),(yx(17)axyx321),(6以次近似替代三角单元内的待求函数 。式中三个未知数由三角单元的三个顶点),(yx处的坐标及电位值决定。将它们分别代入上式，有(18)mmjjjj iiii xayxya321321),(,解上述联立方程组，有(19)(21)(231 mjijijiccabba上列各式中 (20)ijmijjiimijii ijmmij jjixcybyxa即 ， 表示该三角单元的面积。)(21ijjib将求出的 代入插值多项式(17)，经整理可得321,a(21)mji ieimjjjjiiii yxNycxb cbayx,),()() 上式表示三角中
13、任意点电位和该单元各顶点电位值之间的关系。若用矩阵表示，上式可写成(22)emjiejiNyx),(式中7(23)(21),(, )(21),(ycxbayxNycxbayxmemjjji iiiei式(23)统称为三节点三角元的形状函数。剖分时，每一种单元只能有一种介质。（3）轴对称场有限元方程的建立和求解将式(23)中的 用 代替，变成了 轴对称面上的形状函数，其表达式为xrzr（24） )(21),(, )(21),(zcrbazrNcbazmemjjjj iiiei轴对称场的单元系矩阵为（25）esTerdzBK在利用式 可使上式变为3/)(es mjirrdz emjemijjeii
14、jei mjmjimi jjjj iijijiiimjiseTeKcbcbcbrdzB222)(12（26）系数矩阵中各元素的一般式为（27）),()(12mjicbrjijimjieij 若场域剖分成 个单元，共有个 节点，则其泛函为00N（28）01212)(ji TjijKF式中 K 介方阵0N8由 个节点电位组成的列阵0N求 的极值时，必须令 对每个节点的一介偏导数为零，即令)(F)(F（29）),.21(00Nii 将式（28）代入上式，可得（30）01 0),.(Njji iK写成矩阵形式，有（31）上式便是拉普拉斯方程的有限元方程，它是联立线性代数方程组。通常把解线性代数方程组的
15、方法分成直接法和迭代法两类。对电缆终端的电场，因方程组阶数不高，采用直接法较好。由于位于边界 上的节iL点电位值是被给定的，即是“强加的” ，必须对强加边界条件进行处理，即把强加边界条件综合到有限元方程中去。1.4 等位线的绘制和电场强度的计算为了形线的描述电场的分布，需画出电场的等位线图，其中相邻的等位线间电位差相等，这样从等位线的疏密程度，就可判断电场强度的强弱。为描绘等位线，需在已知各节点电位值的基础上，求出对应于各条等位线的空间函数。实践中常用插值方法建立待求函数的近似式。设需用线性插值法绘制电位为 的等位线，首先将 与全部剖分单元上的节点11电位值 和 进行比较，若 ，则表示 值介于
16、 和ji,m 0)()(1ji 1i之间，然后可用线性插值公式找出电位等于 值得相应插值点的空间坐标。设节j点 的坐标为 ； 节点的坐标为 ，而对应于电位 的值的待求插值点的iiyx,jjyx, 1空间坐标为 ，则上述线性插值公式可综合为（32）jijiiTyyxxT)1()/(于是把一系列插值点相连，即得所欲绘制的电位为 的等位线。同理，可逐一地求出1各等位线，描绘出待求电场的等位线图。9电缆附件装置的设计，最需要知道其电场强度的分布，特别是最大电场的强度的分布情况。因此，在求得各离散点电位值的基础上，需计算有关场域中的电场强度。将式（21）分别对及求导，可得电场强度沿 方向及 方向的分量
17、（33）)(21mjix bbE（34）jiy cc因在每一个单元中各点 和 分别相等，即在每个单元内部，电场强度 E 为一XY个定值，但位于单元周界上的一般与相邻几个单元发生联系。为了将有关单元的和 ，然后去其算术平均值，即XEYni niyiYxix EE11/,/（35）式中 是指与指定节点相关的单元数。n2 有限元法的计算步骤(1).明确场域范围，将场域剖分为有限个单位（二维长域可用三角形或四边形基本单元，三维场域可用四面体、五面体或六面体基本单元） 。(2).计算单元电场能析数据真的元素。(3).计算总电场能系数矩阵的元素。(4).列出有限元方程 = - KBP式中 内节点电位列向量
18、； 阶系数矩阵，其元素为 ；),21,(njik 自由项列向量； B 第二类边值列向量；P(5). 求解有限元方程，求出各节点电位。(6).根据各节点电位可求出电场的其它各量。3 总结本文主要介绍了几种常见的静电场数值计算方法的优缺点，选择有限元法计算电缆终端的电场。掌握有限元法的原理与处理问题的方法，了解有限元法在使用中需注意的一些问题，以便为选择有限元应用软件及实际建模计算提供理论依据，更好的优化模型以减小有限元法的自身存在的问题。参考文献1 李新平等.高压电缆终端结构设计的进展.电线电缆，2002，44（3）：11-15 2 余海涛，邵可玉，罗俊华 .用有限元法优化高压电缆参数.高电压技术，2004，30（3）：3-4 3 陈守直，祝丽雯，罗俊华 .电缆附件电场有限元计算方法.高电压技术，1996，22（3）：1410 4 谈克雄等.高压静电场数值计算.北京：水利水电出版社，1989
