1、习题 2.2求下列方程的解1 =dxysin解： y=e ( e )dxdxc=e - e ( )+c21osi=c e - ( )是原方程的解。xxcsn2 +3x=edtt2解：原方程可化为： =-3x+edtt2所以：x=e ( e e ) 3dt3c=e ( e +c)t51t=c e + e 是原方程的解。t3t23 =-s +dtstcotsin解：s=e ( e )tds21dt3c=e ( )tsintsinc= e ( )tsiettsisi= 是原方程的解。1insitct4 ， n 为常数.dxyxe解：原方程可化为： dynxe)(cdxxn是原方程的解.)ce5 +
2、=dxy120解：原方程可化为： =-dxy12( )dxe2cdx2)1(ln1lnx= 是原方程的解.2xce6 dxy234解： 234y= +23x令 则 =uyuuydxyu因此： =dx21u2cx3（*）u将 带入 （*）中 得： 是原方程的解.xy343cxy332() 21()227.(1),() )1()dxPxd PxddyxQeeQc(x)d23解 ：方 程 的 通 解 为 ： y=+*+ (x)2321)1,()()dycdyxxyQeQydc24P(y)Py)d()x = 即 ： c+为 方 程 的 通 解 。8.解 ：则 = 方 程 的 通 解 为 ： x=233
3、1*2ycy 即 x=+c是 方 程 的 通 解 ， 且 =0也 是 方 程 的 解 。() ()()19.,() )01adxPxPxdxdadyxQeeQca为 常 数解 ： （方 程 的 通 解 为 ： y=+1 当 时 ， 方 程 的 通 解 为 yxln/c 当 时 ， 方 程0a的 通 解 为 =+l/-1当 ， 时 ， 方 程 的 通 解 为x yc- 331() ()()310.,() )*dxPxdPxdPxddyxxQeeQccxc3解 ：方 程 的 通 解 为 ： y=1 4方 程 的 通 解 为 ： y=2232332331.()(),()pxxdpxpxdyxyxyd
4、yzPQeedQce -解 ：两 边 除 以令方 程 的 通 解 为 ： z= 221),0xcyy 故 方 程 的 通 解 为 ： (且 也 是 方 程 的 解 。22121()()222ln112.(ln)4lnl2lnl, )ln1(PxdPxdxxcxyxdxyydxyzdxxQzecx解 ： 两 边 除 以 令方 程 的 通 解 为 ：22ln)l14ln1:(),4xdcccxy方 程 的 通 解 为 且 =0也 是 解 。13 2()1xydxdy这是 n=-1 时的伯努利方程。两边同除以 ，1y2dyx令 2zdyx1dyxP(x)= Q(x)=-12x由一阶线性方程的求解公式
5、 22()dxdxzec= 2cyx14 23de两边同乘以 y2()3yydexx令 yezy这是 n=2 时的伯努利方程。223dxz两边同除以 令22213dzx1Tz2dTxzTP（x）= Q(x)=32x由一阶线性方程的求解公式 3321()dxdxTec= 3= 132xc()z13yexc2y3xec15 31dyx3y这是 n=3 时的伯努利方程。两边同除以 3x3321dxy令 2z3y= P(y)=-2y Q(y)=32dyx32z 32y由一阶线性方程的求解公式223()ydydzeec= 22= 21yce22()xy222yece2(1)yxx16 y= +xe0()
6、ytddxyeP(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式x11()dxdxyec= ()xec0()xecdc=1y= ()xec17 设函数 (t)于 t 上连续， (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s)试求此函数。令 t=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 故 或2(0)()0()1（1） 当 时 即 (0)()ttt, )t(2) 当 时 =(0)1 0()()limtt0()()litt= =0()1)tt0()(0)limttt= (0)t于是 变量分离得 积分 (0)dtt()dt(0)tce由于 ，即 t=0 时 1= c=1110ce故
7、 (0)tte20.试证：（1）一阶非齐线性方程（ 2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3 ）之解；（2）若 是（2.3）的非零解，而 是（2.28）的解，则方程()yx()yx:（2.28）的通解可表为 ，其中 为任意常数.()cyx:c（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明： （2.28）()dyPxQ（2.3）（1） 设 ， 是（2.28 ）的任意两个解1y2则 （1）1()()dPxyQ（2）22（1）-（2 ）得1212()dyPxy即 是满足方程（2.3）12所以，命题成立。（2） 由题意得：（3）()dyxPy（4）()(
8、)xQx:1）先证 是（2.28）的一个解。yc:于是 得34()()cdycPxyQxx:()()(dcyPxcyQx:故 是（2.28）的一个解。:2）现证方程（4）的任一解都可写成 的形式cy:设 是(2.28)的一个解1y则 （4 ）1()()dPxyQ于是 （4 ）- （4）得11()()dyxy:从而 ()1Pdce:即 y所以，命题成立。（3） 设 ， 是（2.3）的任意两个解3y4则 （5）3()dPxy（6）44于是（5） 得 c33()dcPxy即 其中 为任意常数33()(dyx也就是 满足方程（2.3）3c（5） （6 ）得3434()()dyPxyx即 (也就是 满足
9、方程（2.3）34y所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设 为曲线上的任一点，则过 点曲线的切线方程为(,)pxyp()YyXx从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 (,0)()yxy即 横截距为 ，yx纵截距为 。由题意得：（5） 2yx方程变形为2dxy1于是 1()(dxdxyeclnln1()xdxc:()xc2所以，方程的通解为 。2yxc（6） xy方程变形为 2dyx1于是 1()22(dxdxyeec11lnln22()xx1122()xdxc1122():12xc所以，方程的通解为 。12yxc22求解下列方程。（1） 0)(2xy解： 122y)(12122cexedxdx= /2122= /1232cxdx=c/2（2） 3sincosin0yxyx2sinsicodyxxP(x)= Q(x)=1ix2icosx由一阶线性方程的求解公式 112sincosincoi()dxdxyee= i)s= in(cox= sitg
