1、2007 年考研数学二真题一选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当 时，与 等价的无穷小量是 （ ） 0xxA. B. C. D.e1ln1x1cosx（2）函数 在区间 上的第一类间断点是 ( )1()ta)xef,A. 0 B. 1 C. D. 22（3）如图.连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下半()yfx3,圆周，在区间 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设2,则下列结论正确的是： （ ）0()(),xFftd. A3)4F.B(3)5()4FC()(2D
2、2(4)设函数 f（x ）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若 存在，则 B. 若 存在, 0lim(0)f0()limxfx0fC. 若 存在, 则 D. 存在, ()xf ()（5）曲线 渐近线的条数为 （ ）1ln),xye0 1 2 3.A.B.C.D(6)设函数 在 上具有二阶导数，且 , 令 = 则()fx,)“()0fxnu()1,2.,fn下列结论正确的是 ( )A.若 ，则 必收敛 B. 若 ，则 必发散 12un12unC. 若 ，则 必收敛 D. 若 ，则 必发散u（7）二元函数 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ）(,)fxyA. ,0,lim,
3、xyfB. ，且0,0,limxff0,0,limyffC. 2,0, ,lixyffyD. 且0li,(0,),xxxff0li,(0,),yyyfxf（8）设函数 连续，则二次积分 等于 （ ）,fy1sin2xdd.A10arcsin(,)ydfx.B0arcsi(,)yfx.C2,d.D1n2,dd（9）设向量组 线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) 123,（A） （B） ,1,1231（C） （D）123 2（10）设矩阵 A= ，B= ,则 A 于 B， （ ） 120(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空题：1
4、116 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上_.(1)30arctnsilimxx曲线 上对应于 的点处的法线斜率为_22o1sitty4t设函数 ，则 _.(13)3x0ny二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解 y_.4 23xye设 是二元可微函数， ,则 .(15),)fuv()zfx_z设矩阵 ，则 的秩为_.(16)01A3A三、解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设 是区间 上单调、可导函数，且满足()fx0,4，其中 是 的反函数，求 .()100cosinfxttddt
5、1f()fx（18） （本题满分 11 分）设 D 是位于曲线 下方、 轴上方的无界区域.yxa,0x（）求区域 D 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ；()Va（）当 为何值时， 最小？并求此最小值.a()V（19）求微分方程 满足初始条件 的特解.2yxy(1)y（20）已知函数 具有二阶导数，且 1，函数 由方程 所()f 0f()x1yxe确定.设 求 ， .lnsi,zfyx0xdz20xz(21)（本题 11 分）设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值，(),fg,ab(,)ab证明：存在 使得 .()fa， ()fg（22） （本题满分 11 分）设二元函数22.
6、 1.(,)1,2xxyfyy计算二重积分 其中(,).Dfxd(,)xy(23)（本题满分 11 分）设线性方程组1231230(1)4xax与方程 123()有公共解，求 的值及所有公共解 a(24)设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 是 A 的属于123,1(,)T的一个特征向量,记 其中 为 3 阶单位矩阵1534BE验证 是矩阵 的特征向量,并求 的全部特征值的特征向量；()I1求矩阵 .2007 年考研数学二真题解析一选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（2） 当 时，与 等价的
7、无穷小量是 （B） 0xxA. B. C. D.1e1ln1x1cosx（2）函数 在区间 上的第一类间断点是 (A)1()ta)xef,A. 0 B. 1 C. D. 22（3）如图.连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下半()yfx3,圆周，在区间 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设2,则下列结论正确的是：（C）0()(),xFftd. A3)4F.B(3)5()4F()(2D2(4)设函数 f（x ）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若 存在，则 B. 若 存在, 0lim(0)f0()limxfx(0)fC. 若 存在, 则 D. 存在, ()xf
8、（5）曲线 渐近线的条数为 （D）1ln),xye0 1 2 3.A.B.C.(6)设函数 在 上具有二阶导数，且 , 令 = 则()fx,)“()0fxnu()1,2.,fn下列结论正确的是 (D)A.若 ，则 必收敛 B. 若 ，则 必发散 12un12unC. 若 ，则 必收敛 D. 若 ，则 必发散u（7）二元函数 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B）(,)fxyA. ,0,lim,xyfB. ，且0,0,limxff0,0,limyffC. 2,0, ,lixyffxyD. 且0li,(0,),xff0li,(0,),yyyfxf（8）设函数 连续，则二次积分 等于 （B）(
9、,)fy1sin2xdd.A10arcsin,ydfx.B0arcsi(,)yfx.C2(,)d.D1n2,dd（9）设向量组 线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) 123,（A） （B） ,1,1231（C） （D）123 2（10）设矩阵 A= ，B= ,则 A 于 B， （B）120(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)30arctnsilimxx16曲线 上对应于 的点处的法线斜率为（ ）.22ositty4t21设函数 ，则 .(1
10、3)13x0ny3n二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解 y_ .4 2xye3212xxCee设 是二元可微函数， ,则(15),)fuv()zfx.122(,)(,)zyyxxff设矩阵 ，则 的秩为_1_.(16)01A3A三、解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设 是区间 上单调、可导函数，且满足()fx0,4，其中 是 的反函数，求 .()100cosinfxttddt1f()fx【详解】：设 则 .(),yft1()fy则原式可化为： 1(0)0cosinxxf tdydt 等式两边同时求导得： ic
11、osin()xf（18） （本题满分 11 分）设 D 是位于曲线 下方、 轴上方的无界区域.ya1,0xx（）求区域 D 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ；x()Va（）当 为何值时， 最小？并求此最小值.a()V【详解】： 22200()()(ln)xaIVydxd得241(ln)(l() 0aI l(1)0a故 l1即 是唯一驻点，也是最小值点，最小值ae 2()Ve（19）求微分方程 满足初始条件 的特解.2yxy1y【详解】：设 ，则 代入得：dpp22()dpdxpxx设 则u(udup1du1pc即 由于21xpc(1)y故 0即 2xp32dyxxyxc由 或21(1)3yc2
12、5特解为 或x32yx（20）已知函数 具有二阶导数，且 1，函数 由方程 所()fa(0)f()yx1yxe确定.设 求 ， .lnsi,zfyx0xdz20xz【详解】：两边对 求导得1yxe 1()yye得 （当1y0)x，故有102xey0 0(lnsi)(cos)()10x xdzfxyf 2 220 01()(li)()(lnsisin)x xyf fyxdy 220(1)1ff（本题 11 分）(21)设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值，(,)fxg,ab(,)ab证明：存在 使得 .(),()fagfb(,)ab， ()fg【详解】：证明：设 在 内某点
13、同时取得最大值，则 ，此时的(),fx(,)a(,)c()fcc 就是所求点 .若两个函数取得最大值的点不同则有设fg使 得故有 ，由介值定理，()ma(),ax()ffxd()0,()0fcgdf在 内肯定存在 由罗尔定理在区间 内分别存在一点,cf使 得 ,)ab0 在区间 内再用罗尔定理，即1212()f使 得 12(,).,()abfg存 在 ， 使 得（22） （本题满分 11 分）设二元函数22. 1.(,)1,2xxyfyy计算二重积分 其中(,).Dfxd(,)xy【详解】：D 如图（1）所示，它关于 x,y 轴对称， 对 x,y 均为偶函数，得(,)fx，其中 是 D 的第一
14、象限部分.1(,)4(,)Dfxyfxy11D21D222 xyx1 212y(1) (2)由于被积函数分块表示，将 分成（如图（2） ）： ,且1D112D1:,0 :2,0Dxyyxyy于是 .而11212(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd1001, 342f1212 2cosin120(,) ()DDfxyddrdxy极 坐 标 变 换2002112 220 002112001cosincosinsico(ta) ()n()2lnlnln(21)utdduduttt 所以1 2(,)l()1Dfxyd得(,)4(ln(21)Dfxy（本题满分 11 分）(23)设线性方程组
15、1231230(1)4xax与方程 123()x有公共解，求 的值及所有公共解.【详解】：因为方程组(1)、(2) 有公共解，即由方程组(1) 、(2)组成的方程组的解.1231230(3)41xax即矩阵 方程组(3)有解的充要条件为21041a21034a.1,a当 时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1) 的基础解系为 此时的公共解为：(,01)T,12,xk当 时，方程组(3)的系数矩阵为 此时方程组2a100241(3)的解为 ，即公共解为： 1230,1xx(0,1)Tk(24)设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 是 A 的属于23,(,
16、1)T的一个特征向量,记 其中 为 3 阶单位矩阵1534BE验证 是矩阵 的特征向量,并求 的全部特征值的特征向量；()I1求矩阵 .【详解】：（）可以很容易验证 ，于是1(,23.)nA5351 11(4)4BE于是 是矩阵 B 的特征向量.B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到，即，53()4()1所以 B 的全部特征值为 2，1，1.前面已经求得 为 B 的属于2 的特征值，而 A 为实对称矩阵，1于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设 B 的属于 1 的特征向量为 ，所以有方程如下：123(,)Tx0于是求得 B 的属于 1 的特征向量为 23(,)(1,0)TT（）令矩阵 ，则 ，所以1231,0P1(2,1)PBdiag13112(2,)0(2,)3BPdiagPdiag 01
