1、第四章 曲线运动 万有引力与航天,第3讲 圆周运动,过好双基关,一、匀速圆周运动及描述 1.匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长 ，就是匀速圆周运动. (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向 ，是变加速运动. (3)条件：合外力大小不变、方向始终与 方向垂直且指向圆心.,相等,圆心,速度,2.描述匀速圆周运动的物理量,快慢,m/s,转动快慢,rad/s,一圈,s,方向,圆心,r2,m/s2,答案,自测1 (多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则 A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s C.轨迹半径为
2、 mD.加速度大小为4 m/s2,二、匀速圆周运动的向心力 1.作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的 . 2.大小,mr2,3.方向 始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个变力. 4.来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的 提供，还可以由一个力的 提供.,方向,大小,圆心,合力,分力,答案,自测2 (多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是 A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C.向心力就是物体所受的合外力 D.向心力和向心加速度的方向都
3、是不变的,答案,自测3 教材P25第3题改编 如图1所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是 A.重力、支持力 B.重力、向心力 C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D.重力、支持力、向心力、摩擦力,图1,三、离心运动和近心运动 1.离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做 圆心的运动. 2.受力特点(如图2) (1)当Fmr2时，物体做 运动； (2)当F0时，物体沿 方向飞出； (3)当Fmr2时，物体逐渐向圆心靠近，做 运动. 3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力_ 做
4、匀速圆周运动需要的向心力.,图2,逐渐远离,匀速圆周,切线,远离,近心,小于,研透命题点,1.对公式vr的理解 当r一定时，v与成正比. 当一定时，v与r成正比. 当v一定时，与r成反比.,命题点一 圆周运动的运动学问题,基础考点 自主悟透,在v一定时，an与r成反比；在一定时，an与r成正比.,3.常见的传动方式及特点 (1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.图3,(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.图4,(3)同轴传动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物
5、体，角速度相同，AB，由vr知v与r成正比.图5,例1 如图6所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑.在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1r2r3211，求： (1)A、B、C三点的线速度大小之比vAvBvC；,答案 221,图6,解析 令vAv，由于皮带传动时不打滑，所以vBv.因AC，由公式vr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC v，所以vAvBvC221.,答案,解析,(2)A、B、C三点的角速度大小之比ABC；,答案 121,解析 令A，由于轮O1、O3共轴转动，所以C.因vAvB，由公式 知，当线速度一定时
6、，角速度跟半径成反比，故B2，所以ABC121.,答案,解析,(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aAaBaC.,答案 241,解析 令A点向心加速度为aAa，因vAvB，由公式a 知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB2a.,答案,解析,又因为AC，由公式a2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比.故aC a. 所以aAaBaC241.,变式1 (多选)(2018辽宁丹东质检)在如图7所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为236，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点 A.A点和B点的线速度大小之比为11 B.A点和B点的角速度之比为11 C.A点和B点
7、的角速度之比为31 D.以上三个选项只有一个是正确的,图7,解析 题图中三个齿轮边缘线速度相等，A点和B点的线速度大小之比为11，由vr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为31，选项A、C正确，选项B、D错误.,答案,解析,命题点二 圆周运动的动力学问题,能力考点 师生共研,1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力. 2.几种典型运动模型,3.“一、二、三、四”求解圆周运动问题,例2 (多选)如图8所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半
8、径R90 m的大圆弧和r40 m的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O距离L100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g10 m/s2，3.14)，则赛车 A.在绕过小圆弧弯道后加速 B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s,图8,答案,解析,变式2 两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕
9、共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是,答案,解析,解析 小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan m2Lsin ，整理得：Lcos ，则两球处于同一高度，故B正确.,命题点三 竖直面内圆周运动的两类模型问题,能力考点 师生共研,1.两类模型比较,模型构建,2.解题技巧 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同. (2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v 及杆模型中v0这两个临界条件. (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. (4)受力分析：对物体在最高点
10、或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合F向. (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.,模型1 绳球模型 例3 如图9所示，一质量为m0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.g取10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？,答案 2 m/s,答案,解析,图9,解析 在最高点，对小球受力分析如图甲， 由牛顿第二定律得mgF1 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值， 亦即F10 联立得v ， 代入数值得v2 m/s 所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少
11、为2 m/s.,(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？,答案 15 N,解析 将v24 m/s代入得，F215 N.,答案,解析,(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？,答案 4 m/s,解析 由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得,答案,解析,变式3 (2017广东汕头二模)如图10甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是 A.
12、数据a与小球的质量有关 B.数据b与圆周轨道半径有关 C.比值 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径,图10,答案,解析,模型2 球杆模型 例4 如图11所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时 A.球B的速度为零 B.球A的速度大小为 C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg,答案,解析,图11,变式4 如图12所示，一质量为M的
13、光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为 A.Mg5mg B.Mgmg C.Mg5mg D.Mg10mg,答案,解析,图12,命题点四 圆周运动中的两类临界问题,能力考点 师生共研,1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力. (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm ，静摩擦力的方向一定指向圆心. (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条
14、件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心.,2.与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零. (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.,例5 (多选)如图13所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是,答案,解析,图13,例6 如图14所
15、示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动.,答案,解析,图14,答案 见解析,解析 小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN0，如图甲所示，设此时小球的线速度为v0，则,因v1v0，FN0，对小球受力分析，如图乙所示，有,FTcos 30FNsin 30mg,答案 见解析,解析 因为v2v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有,FTcos mg,答案,解析,变式5 (多选)(2018江西吉安模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和
16、B点，如图15所示，绳a与水平方向成角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大 C.当角速度 ，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化,答案,图15,解析 当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，mgcos 30mgsin 30m2r 解得1.0 rad/s，故选项C正确.,图16,答案,解析,课时作业,1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图1所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内
17、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处， A.路面外侧高、内侧低 B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动 C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小,图1,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确. 当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确. 同样，速度稍小于vc时，车
18、辆不会向内侧滑动，选项B错误. vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(多选)如图2所示，当正方形薄板绕着过其中心O与板垂直的轴转动时，板上A、B两点的 A.角速度之比AB11,图2,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.(2015天津理综4)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图3所示.当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地
19、球表面时相同大小的支持力.为达到上述目的，下列说法正确的是 A.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小 C.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小,解析 由题意知有mgFm2r，即g2r，因此r越大，越小，且与m无关，B正确.,图3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.如图4所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是 A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于零 B.小球过最高点时，速度至少为 C
20、.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定不小于杆对球的作用力 D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反,答案,解析,图4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,本题是轻杆模型，小球过最高点时，速度可以为零，选项B错误； 小球的重力和杆对小球的弹力的合力提供向心力，向心力指向圆心，如果重力和杆的弹力方向相反，重力必须不小于杆的弹力，选项C正确； 小球过最高点时，杆对球的作用力方向与重力方向可能相同，也可能相反，选项D错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,5.如图5所示，“
21、旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 A.A的速度比B的大 B.A与B的向心加速度大小相等 C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小,图5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 根据题意可知，座椅A和B的角速度相等，A的转动半径小于B的转动半径，由vr可知，座椅A的线速度比B的小，选项A错误； 由anr2可知，座椅A的向心加速度比B的小，选项B错误；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
22、14,6.(多选)如图6所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的 A.周期相同 B.线速度的大小相等 C.角速度的大小相等 D.向心加速度的大小相等,答案,解析,图6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为，小球到悬点的高度差为h，则有mgtan manm2htan ，可得向心加速度angtan ，所以向心加速度大小不相等，选项D错；,由于水平面内做圆周运动的半径不同，线速度vhtan ，所以线速度大小不
23、相等，选项B错；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.(多选)(2018新疆石河子调研)图7为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的半径比为k，下列说法正确的是 A.从动轮是顺时针转动的 B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等 C.从动轮的转速为nk D.从动轮的转速为,图7,解析 主动轮逆时针转动，带动从动轮逆时针转动，因为用链条传动，所以两轮边缘线速度大小相等，A错误，B正确； 由r主r从k，2nr主2n从r从，可得n从nk，C正确，D错误.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
24、,8.(2017河北保定一模)如图8所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg， g为当地重力加速度，则,C.小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D.小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg,图8,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图9所示，已知绳长为l，重力加速度为
25、g，则 A.小球运动到最低点Q时，处于失重状态 B.小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大 C.当v0 时，小球一定能通过最高点P D.当v0 时，细绳始终处于绷紧状态,答案,解析,图9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故处于超重状态，选项A错误；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.(多选)如图10甲所示，一长为l的轻绳，一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知、可视为质点的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动.小球通过最高点时，绳对小球的拉力F大小与其速
26、度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是,C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变,图10,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由于bgl，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，选项D正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.(2016全国卷16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图11所示.将两球由静止释放.在各自
27、轨迹的最低点 A.P球的速度一定大于Q球的速度 B.P球的动能一定小于Q球的动能 C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力 D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度,答案,解析,图11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为EkmgL，又mPmQ，LPLQ，则两小球的动能大小无法比较，选项B错误；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.(多选)如图12所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴OO的距离为2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度
28、大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 A.b一定比a先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等,图12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 因圆盘从静止开始绕轴缓慢加速转动，在某一时刻，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则由牛顿第二定律可得Ffm2R，由于小木块b的轨道半径大于a的轨道半径，故b做圆周运动需要的向心力较大，选项B错误； 因为两木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，选项A正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
29、2,13,14,13.(多选)(2018新疆喀什质检)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图13所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O分别为两轮盘的轴心.已知两个轮盘的半径比r甲r乙31，且在正常工作时两轮盘不打滑.今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O的间距RA2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动 起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是 A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为甲乙13 B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aAaB29 C.转速增加后，滑块B先发生滑动 D.转速增加后，两滑块一起
30、发生滑动,图13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有甲3R乙R，得甲乙13，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为13，A正确； 滑块相对轮盘滑动前，根据an2r得A、B的向心加速度之比为aAaB29，B正确； 据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为FfAmAg，FfBmBg，最大静摩擦力之比为FfAFfBmAmB，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为FfAFfB(mAaA)(mBaB)mA(4.5mB)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误.,
31、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,14.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图14所示. 已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为 d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力. (1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；,图14,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得,水平方向dv1t,1,2,3,4,5,6,7,8,
32、9,10,11,12,13,14,(2)求绳能承受的最大拉力；,解析 设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变.,绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为x，时间为t1，则,水平方向xv3t1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
