1、,自动控制原理,第七章 非线性系统的分析,1 一般概念,2 相平面法,3 相平面分析法,退出,4 描述函数法,5 非线性的描述函数分析,6 利用非线性改善控制系统的性能,退出,1 关于非线性系统的基本概念 在前面各章中，我们讨论了线性系统各方面 的问题。但是，理想的线性系统是不存在的。 实际的物理系统，由于其组成元件在不同程 度上具有非线性特性，严格地讲，都是非线 性系统。当系统的非线性程度不严重时，在 某一范围内或某些条件下可以视为线性系统， 采用线性方法进行研究是有实际意义的。但 是，如果系统的非线性程度比较严重，采用 线性方法往往会导致错误的结论。因此，必 须对非线性系统进行专门的探讨。
2、,退出,(一)非线性特性 在实际控制系统中最常见的非线性特性有死区、饱 和、间隙、继电器等。 不灵敏区 又称死区 常见于测量、放大元件中， 其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此 范围时，才有输出信号。执行机构中的静摩擦的影 响往往也可用死区来表示。死区特性如图1(a)所示。 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳差， 而测量元件死区的影响尤为显著。摩擦死区会造成 系统低速运动的不均匀，导致随动系统不能准确地 跟踪目标。,退出,退出,饱和 饱和也是一种常见的非线性，在 铁磁元件及各种放大器中都可遇到，其 特点是，当输入倍号超过某一范围后，
3、 输出信号不再随输入倍号而变化，将保 持某一常数值(图1(b)。饱和特性将使 系统在大信号作用下之等效放大系数减 小，因而降低稳态精度。在有些系统中 利用饱和特性做信号限幅。,退出,退出,间隙又称回环 传动机构的间隙也是一种 很常见的非线性特性。在齿轮传动中，由于 间隙的存在，当主动轮方向改变时，从动轮 保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向 (图1(c)。铁磁元件中的磁滞现象也是一种 回环特性，又称磁滞特性。间隙或回环特性 对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使 系统稳差增大，相位迟后增大，从而使动态 特性变坏。采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可 以消除齿轮间隙对系统的不利影响。,退出,退出,继
4、电器特性 由于继电器吸上电压和释 放电压的不同，其特性中包含了死区、 回环和饱和特性(图1(d)。图中当a0 时的特性称为理想继电器特性。在控制 系统中，有时利用继电器的切换特性来 改善系统的性能。,退出,退出,退出,(二)非线性系统的特点 与线性系统相比较非线性系统具有一些显著 的特点： 线性系统的稳定性和零输入响应的性质只 决定于系统本身的结构和参数，而和系统的 初始条件无关。然而非线性系统的稳定性和 零输入响应的性质不仅取决于系统本身的结 构和元件特性而且与系统的初始条件有关。 对于同一结构和参数的系统，可能出现在较 小初始值时系统稳定，但在饺大初始值时系 统不稳定的情况，也可能相反。因
5、而对非线 性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。,退出,对于线性系统而言，只有两种基本的运 动形式即发散和收敛。只有当系统处于稳 定的临界状态时，才会出现等幅振荡但这 一运动形式是不能持久的。系统参数稍有 细微的变化，这一临界状态就不能继续， 而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统 中，除了发散和收敛两种运动形式外，即 使无外界作用，往往也会发生具有一定振 幅和频率的振荡，称为自持振荡，又称自 激振荡。在有的非线性系统中，还可能产生 不止一种振幅和频率都不相同的自持振荡。,退出,(3) 在线性系统中，当输入信号为正 弦函数时，稳态输出信号也是相同频率 的正弦函数，两者仅在隔值和相位上不 问，因此可
6、以用频率特性来表示系统的 固有特性。但是在非线性系统中，当输 入信号为正弦函数时，稳态输出信号通 常是包含高次谐波的非正弦周期函数， 其周期与输入信号相同。有时还会出现 跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。,退出,(4) 从分忻方法上看，线性系统用线性微分方程来描述，可以应用叠加原理。用典型信号对系统分析的结果，一般也适用于其他情况。而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。在实际上遇到非本质的非线性系统时，常常采用小偏差线性化方法处理。对于本质非线性特性，有时采用分段线性化方法或其他近似方法。应该指出，研究非线性系统并不一定都要求解其暂态
7、过程，通常讨论的重点是系统是否稳定；会不会产生自持振荡，如会产生，其振幅和频率为多少?如何消除自持振荡等。,退出,在工程实际上应用的分析非线性系统的方法 中，描述函数法和相平面法是应用较为广泛 的。相平面法是一种时域分析法，它保留非 线性特性，而将高阶的线性部分近似地化为 二阶来进行分析。描述函数法是一种频域分 析法，它保留线性部分，而对非线性环节进 行谐波线性化分析。它们采用的近似方法是 互相补充的。应该指出，模拟汁算机和数字 计算技术的发展，给分析复杂的非线性系统 提供了力便和有效的条件，必将进一步促进 非线性系统的研究工作。,退出,2 谐波线性化与描述函数 描述函数法是在频域中分析非线性
8、的一种近似方 法。它是频域法于一定条件下和在非线性系统中 的应用，主要用于分忻非线性系统的稳定性，自 持振荡及其在正弦信号作用下之输出。描述函数 法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思想是 用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正 弦输入信号作用下之实际输出。,退出,谐波线性化 设非线性系统的方框图如图2所示。 图中N（A）为非线性元件。设N（A）的输入信号为 一正弦信号 由于非线性特性的作用，其 输出信号的稳态分量y（t）是一个非正弦周期函 数，其周期与输入信号相同。我们作如下假设： （1）高次谐波的幅值通常要比基波的幅值小； （2）系统的线性部分G(s)又具有低通滤波特性； 所以可以认为
9、只有基波分量沿闭环回路反馈到N 的 输入端，而高次谐波经低通滤波后衰减得可以忽略 不计。在这种假设条件下，可以只考虑y的基波分 量。此外，设非线性特性为对称型。,退出,退出,上述情况实际上可以看成如下的情形： 即相当于将非线性元件在一定条件下看成为具有 对输入正弦的响应仍是同频率正弦的线性化特性 的一种线性元件，从而使含有这种非线性元件的 非线性系统变成一类有条件的线性系统，或称线 性化系统，其条件便是指谐波线性化。,退出,描述函数又称等效复放大系数 在谐波线性化系统中，非线性元件的特性，与通 过频率响应描述线性元件特性相类似，也可采用 一复变函数N（A）来描述。该复变函数的模等于 非正弦周期
10、输出的基波 的振幅A与输入正弦 的振幅A之比， 其相角为正弦输出 相对正弦输入 的相移 因此复变函数N（A）称为非线性元件的描述函数 ，它与线性元件的频率响应不同，一般是输入正弦 振幅A的函数，只有当非线性元件具有储能特性时 ，描述函数才既是输入振幅又是角频率的函数。,退出,退出,退出,描述函数N(A)表示当非线性元件的输入信号为正弦函数时，输出信号的基波分量与输入信号在幅值和相位上的相互关系，类似于线性系统中的频率特性。 在一般情况下，N(A)为正弦输入信号幅值的函数，而与频率无关。当非线性元件的特性单值特性时，其撤述函数是一个实数，这时输出信号基波与正强输入信号同相。需强调指出，描述函数中
11、相移是由于非线性元件的非单位特性引起的，与线性系统的频率特性中相移不是一回事。,退出,典型非线性特性的描述函数 下面介绍几种典型非线性特性的描述函数。 这些特性都是对称奇函数。包括： （1）饱和特性的描述函数； （2）不灵敏区特性的描述函数； （3）间隙特性的描述函数； （4）继电器特性的描述函数；,退出,（1）饱和特性的描述函数,退出,退出,退出,退出,问题：请大家绘出,退出,（2）不灵敏区特性的描述函数,退出,退出,退出,退出,问题：请大家绘出,退出,（3）间隙特性的描述函数；,退出,退出,退出,（4）继电器特性的描述函数；,退出,退出,退出,退出,一般概念 1 非线性系统的基本概念 （1
12、）实际控制系统在某种程度上都具有非线 性，所谓线性系统是在实际系统中，忽略了非线 性因素后的理想模型。 （2）若系统的非线性特性y=f(x) 在工作点附近能 展开台劳级数，忽略变量增量的高次项，仅取变 量增量的一次项，则函数增量与变量增量之间是 线性关系。此时，系统可近似成线性系统。若 y=f(x) 在工作点附近不能展开成台劳级数，则称 y=f(x) 为本质非线性，这样的系统只能按非线性 系统理论来进行分析。,退出,一般概念 1 非线性系统的基本概念 （1）实际控制系统在某种程度上都具有非线 性，所谓线性系统是在实际系统中，忽略了非线 性因素后的理想模型。 （2）若系统的非线性特性y=f(x)
13、 在工作点附近能 展开台劳级数，忽略变量增量的高次项，仅取变 量增量的一次项，则函数增量与变量增量之间是 线性关系。此时，系统可近似成线性系统。若 y=f(x) 在工作点附近不能展开成台劳级数，则称 y=f(x) 为本质非线性，这样的系统只能按非线性 系统理论来进行分析。,退出,（3）非线性系统的本质特征是不满足叠加原理。非 线性控制系统区别于线性控制系统的运动规律有以下 3点: 1）非线性系统的稳定性和响应形式除了与系统的结 构和参数有关外，还和系统的初始条件有关。非线性 系统的平稳点可能不止一个，可能在某个局部稳定， 在另一个范围却不稳定。故对非线性系统而言，不能 笼统地讲系统是否稳定，而
14、应该指明在多大范围内的 稳定性。 2）非线性系统响应除了发散或收敛两种运动状态 外，系统本身还回产生幅值，频率与自身结构参数有 关的稳定的自持振荡运动。3）非线性元部件的正弦响应会产生非线性畸变，输 出中除了会有与输入同频率的基波成分外，还有其 他各中谐波分量。,退出,（4）非线性元件的输出与输入有关，所以在非线 性系统结构图中，非线性与线性环节串联的位置不 能互换。 （5）典型的非线性特性 1）饱和特性解析式式中 线性区宽度；线性区特性的斜率；,退出,特性曲线,退出,2）不灵敏区特性 解析式特性曲线,退出,3）间隙特性 解析式式中 间隙宽度；间隙特性斜率。特性曲线,退出,特性曲线,退出,4）
15、继电器特性 解析式式中 继电器吸上电压 ；继电器释放电压 ；饱和输出 。,退出,特性曲线,退出,5）变增益特性 解析式式中 变增益特性斜率；切换点。,退出,特性曲线,退出,（6）非线性系统的特点：1）稳定性往往和初始条件有关；2）不能用纯频率法分析和综合校正系统；3）非线性系统存在闫特振荡现象。 （7）现状 目前由于缺少处理各种非线性问题的一般方法，非 线性系统研究的重点通常在系统稳定性分析上。讨 论非线性系统动态性能问题的条件尚不成熟。,退出,相平面法1 相平面法 它是通过相平面图的分析确定系统所有的动态特 性的方法，它适用于一，二阶非线性系统的运动 分析。2 有关概念 （1）相平面设二阶系
16、统常微分方程为则以 , 为坐标的平面，称为相平面。,退出,（2）相轨迹 它是指当系统运动时， , 相应变化，对应在相 平面上描述出的轨迹。 （3）相平面图 它是指一族相轨迹组成的图像。 （4）奇点，平衡点 在相平面上， 不确定的点称为奇点。在相平面上， 满足的 点，称为平衡点。奇点与平衡点本 质上是同一概念。二阶线性系统奇点性质与相诡计 如表7-1所示。,退出,退出,退出,退出,绘制相轨迹的方法 相轨迹实际是相平面上x- 关系曲线。所以，只要 通过系统微分方程找出x- 关系，并描绘在相平面 上，就得到了该系统的相轨迹，绘制相轨迹的方法 可以归纳为两种：解析法和图解法。 设二阶系统的微分方程为f
17、(,x). （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和的关系，从而可在 相平面上绘制相轨迹。这种方法称做“解析法”。解 析法可以分为两种：,退出,消去变量t 由 直接解出x(t), 通过求导得到 . 在这两个解中，消去作为参变量的时间t,就得到关系。 直接积分因为 （6）所以若该式可以分解成： 则由,退出,例1 二阶系统的微分方程为，其中M为常量，并已知初始条件 及，试绘出其相平面图。 解：系统方程可写为用分离变量法积分可得代入初始条件，得则,退出,退出,（2）图解法 在 易解式7成立且式（8）易解的情况下 ，应用解析法求解 关系才是方便的。而在复 杂情况下，只能利用图解法来绘制相轨迹。这里介
18、 绍两种图解法： 等倾线法 所谓等倾线，是指在相平面内，对应相轨迹上具有 等斜率点的连线。 因为所以 （9）,退出,其中 为相轨迹在某一点的切线斜率。设 为常 量，令 则满足此方程的点 处的切线斜率为 。由 式（9）确定的 关系曲线称为等倾线。相轨 迹必然以 的斜率经过等倾线。当给出了不同的 数值时，总可以找出一簇等倾线。以初始条件 为起点作相轨迹，每经过一条等倾线， 相轨迹的斜率就是这条等倾先所对应的 。按照这 个原则画下去，可以大致得到该系统的相轨迹图。 如果等倾线足够多，从理论上讲，所画出的相轨 迹就足够精确，但是工作量增加，在工程上，一 般取相邻两条等倾线之间的夹角为510 。,退出,
19、例2,退出,圆弧法（ 法） 设 是单值连续函数（线性，非线性甚至时 变），将 改写为(10) 其中 为一常数，令(11)则在相平面上某一点 处有,退出,在 附近， 可以看做是常数。这样， 式（10）变为（12）求解式（12），得（13）其中,退出,相平面分析法 1 奇点的作用 根据奇点类型可知系统的响应类型。 为画出完整的相轨迹提供依据。 2 非线性系统相平面的特点 每一个线性系统对应一个相平面。 除奇点外，对于不同初始点的相轨迹不相交。 相轨迹可能关于x轴对称；也可能关于轴对称； 还可能关于坐标原点对称 相轨迹一般与x轴正交。 相轨迹为顺时针正交； 非线性系统相平面由多页相平面组成。 多页相
20、平面存在切换线,退出,存在实，虚奇点。 存在极限环。,退出,描述函数法 非线性系统的方框图如下图所示。它由两部 分组成；N(A)代表非线性元件，G(s)代表线 性部分,退出,1，应用描述函数法的基本条件 对线性环节G(s)的要求： 非线性特性与时间无关； 具有较好的低通滤波特性。 对非线性环节G(s)的要求： 非线性特性与时间无关； 非线性的输出可只考虑基波分量。,退出,2，描述函数的定义 输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比， 即,退出,3. 典型环节的描述函数 计算非线性特性描述函数的方法如下： 根据非线性特性，求在x(t)=Asinwt 作用下的输出 波形，或写出其表达式y(t); 根
21、据式（15）和（16），求富氏系数和； 根据式（14）求描述函数N(A). 在计算和时，可以利用被积函数y(t)coswt 或 y(t)sinwt 在积分区间内的对称性等简化计算。 例如，当非线性特性是单值函数时，=0。表7-2给出了12种典型非线性特性，输出波形及 相应的描述函数。由表7-2可见，若非线性是单值 函数，则=0，N(A)是实数；若非线性是多值函数， 则描述函数N(A)是复数，。,退出,非线性系统的描述函数分析 所谓非线性系统是稳定的，是指非线性系统在受 到扰动后，能够恢复原来的平衡位置。说非线性 是不稳定的，是指非线性系统受到扰动后，其输 出将增大，不能恢复原来的平衡位置。介于
22、稳定 不稳定之间的状态，成为y点界状态，周期运动 解就是一种临界状态。由式,对照线性系统中乃 氏稳定判据知，相当于线性系统稳定分析时复平 面上（-1，j0）点地位。所以，非线性系统中的 “临界点”为曲线。在描述函数法中，可用系统中 线性部分的频率特性G(jw)和“临界点”轨迹的相对 位置来判断非线性系统的稳定性。,退出,2 下面给出乃氏稳定判据判断非线性系统稳定性和 确定系统是否存在自持振荡状态的若干结论。 （1）设线性部分传递函数G(s)中正极点个数为P。 若G(jw)曲线与没有交点，则系统不存在周期运动 解。当w由-到+时，G(jw)曲线逆时针包围整个曲 线P圈，则该非线性系统是稳定的；否
23、则，该系统 是不稳定的。 （2）若G(jw)曲线有交点，则非线性系统于临界稳 定状态，对应着系统存在着近似于正弦的周期运动 解X(t)=ASinwt,交点处的参数A，w分别为周期运动 的振幅和频率。若该周期运动是稳定的，则系统出 现自持振荡。,退出,（3）为了判断系统是否存在自持振荡（即判 断有无稳定的周期运动解），只需在曲线上， 在G(jw)和交点邻近沿A增大方向一侧取一点， 见图F由坐标原点过该点作一直线，G(jw)曲线 在该点以内，正，负穿越此直线的一个自持状 态，相应的周期运动解是稳定的；否则，是不稳定的自持状态。,退出,（4）如果G(s)中没有正极点，即P=0,此时， 上述结论要简单
24、一些。没P=o,此时，上述结 论要简单一些。设P=0，若G(jw)曲线不包围 曲线，则非线性系统稳定；若G(jw)曲线包围 曲线，则非线性系统是不稳定的。若G(jw)曲 线和曲线相交，则系统存在周期运动；若交点 处轨迹向G(jw)轨迹包围的区域外移动，则该 点对应的周期运动就是稳定的自持振荡。,退出,3 系统结构的简化 在上述讨论的非线性系统，在结构组成上均属一个 非线性部分与一个线性部分串联。然而，实际系统 作出的原始结构并非完全符合上述形式。为了应用 描述函数法分析系统的自振及稳定性，需要将各种 结构图简化为图C所示的典型结构。由于在讨论自 振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运 动，
25、并不考虑外作用，因此在将结构简化时，可以 认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。 与线性系统等效变换一样，简化的 原则是信号的等效变换。,退出,（1）非线性环节串联 若两个非线性环节串联，可将两个环节的特性归化 为一个特性，即以第一个非线性环节的输入和第二 个非线性环节的输出分别作为归化后非线性特性的 输入和输出，从而作出等效非线性特性。注意，若 两个非线性特性的描述函数分别为和，等效非线性 的描述函数为N(A),则在一般情况下，N(A). 串联非 线性环节的次序亦不可交换。对于多个非线性环节 串联，其处理方法可以按照串联的次序，先归化前 两个非线性环节，等效后的非线性特性再与第三个 环
26、节进行归化变换,退出,（2）非线性环节并联 若两个并联的非线性环节其描述函数分别为） 和），则并联后的等效非线性环节的描述函数 （N(A)= ) .利用这一特性，可将一个比较复 杂的非线性特性，分解为若干个比较简单的非 线性环节并联。,退出,例9 将下图中非线性系统结构土化简成非线 性部分N(A)和等效的线性部分G(s)相串联的 单位反馈控制系统结构图。,退出,退出,7.6 利用非线性特性改善控制系统的性能 控制系统都存在着不同程度的非线性。控制系统中的非线性因素，在一般情况下对控制系统性能能产生不良的影响。但是，在控制系统中人为地引入特殊形式的非线性元件，有可能使某些控制系统的性能得到改善，
27、这就是非线性校正。在某些系统中，非线性校正环节与线性校正环节相比，往往用一些极为简便的装置，便能使系统的性能得到较大地改善，成功地解决系统快速性能和振荡性能之间的矛盾等特点。例如，在线性系统中，增益的选择需要兼顾调节时间。超调量及振荡次数等性能指标。当增益k值大时，系统快速性较好，但超调量大，振荡次数多，如图G曲线所示。若k值小，超调量，振荡次数将小，但系统快速性差，如图G曲线所示。在线性系统中，只能选取折衷方案。如若采用非线性校正，则可能得到较好的效果。,退出,退出,例10：如图所示含有非线性串联校正的控制系统， 其中N（A）是变增益非线性环节，试分析变增益 非线性串联校正环节在改善系统性能方面的作用。,
