1、 让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 1 页 共 10 页第 4 讲 简单的三角恒等变换知 识 梳理 1 升降幂公式:;cos21cos2in2 同角正余弦化积公式，其中 ； =2sinssi()axbabxsi2bacos2ab重 难 点 突 破 1.重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式”问题 1:
2、 （07 江苏）若 ， ，则 _1cos()53cos()5tanA点拨：已知条件中的角是 ，待求式中的角是 ，故只需将条件展开，再由, ,同角关系式来处理。由 1sincs)cs(53ino)cos( 求出 51sin221cosinta(2) 处理三角式的化简、求值和证明问题的基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征” 。问题 2：已知 ， 求 和 的值tancot24且cos2in()4点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。先将切化弦，再寻找角之间的关系。由 得 则5tancot,2sic5,
3、in2,sin2.si5因为 所以()4(,)3co1,sinsi.cos.in422.50让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 2 页 共 10 页热 点 考 点 题 型 探 析考点 1: 三角求值题的处理题型 1.给角求值问题例 1 （山东省聊城一中 20082009 学年度上学期高三年级期末综合测试）不查表求值 2cos0in2= 【解题思路】要注意到 ,然后用公式展开.130【解析】原式 = s()sin23cos0co【名师指引】给角求值问题一般考虑通过变角凑出特殊解且设法将非特殊角抵
4、消或约去,注意公式的顺用、逆用和变形用.【新题导练】1. (tan5cot5) 20cos1in解：原式= ta0co22(08 海南省) =（）023sin7c1A. B. C. 2 D. 1 32【解析】 ，选 C。2223sin703cos03(cos01)co11答案：C题型 2 给式求值例 2 (惠州市 2009 届高三第三次调研考试数学试题)已知 02cossinx（1）求 的值；xtan（2）求 的值xsin)4co(2【解题思路】第(1)问注意到 ,第(2)问对三角式化为 的表达式.x解析：（1）由 , ， 02cossinx2tanx让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城
5、区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 3 页 共 10 页 3421tan2t xx（2） 原式 xxsin)2cos(i xxsin)(cos)(i in1t31(4【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.例 3. (福建省师大附中 2008 年高三上期期末考试)设向量 ， 若 ，cos,i,(cos,in)ab0,且 45ab，求 的值。4tn3tn【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析: 4cossin54()5034tan()ta7tant()121()ab又 03sin-=t()4又【名师指引】三角与向量是近几年高
6、考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换【新题导练】1. 已知函数 f(x)2sin xcosxcos2 x.()求 f ( )的值；4()设 (0， )， f ( ) ，求 cos2 的值.3251解析：（）f(x)=sin2x+cos2x,f( )=sin +cos =142（）f( )=sin+cos= ,1+sin2= , sin2= ,25151254让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 4 页 共 10 页cos2= （0， ）2（， ） cos20.2574323故
7、 cos2= 2. 已知向量 a（3sin，cos）， b(2sin, 5sin4cos)，（），且 a b 求 tan 的值；32，解：（1） a b， ab0而 a（3sin，cos） ， b(2sin, 5sin4cos)，故 ab6sin 25sincos4cos 20 由于 cos0，6tan 25tan4 0解之，得 tan ，或43tan 12（ ） ，tan0，故 tan （舍去） tan 3 ， 1243题型 3.给式求角例 4(广东省揭阳市 2008 年第一次模拟考试)已知：向量 ，(,1)a(sin2,bx，函数 ，若 且 ，求 的值；cos2)x(fxab()0fxxx
8、【解题思路】先由向量运算得出三角函数间的关系，再进一步处理。解析： -()f3sin2cos由 得 即0fxi0x3tax 或,22,67,x 或 -12x7【名师指引】给式求角问题可考虑先求出一种三角函数值，再精确估计角的范围再定角。例 5(2007四川 )已知 ,0,143)cos(,1且2()求 的值.（）求 .2tan【解题思路】由同角关系求出 再求 ；又 结合角 的范围定tant2角。让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 5 页 共 10 页解析（）由 ，得1cos,07222143s
9、in1cos7 ，于是in43tas22ta8t（）由 ，得020又 ，13cos42213sin1cos4由 得：co,所以cossin1341723【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。【新题导练】3已知 A、B、C 的坐标分别为 A（4，0） ，B（0，4） ，C（ ）.若sin3,co，且 ，求角 的大小；)0,(解析：（）由已知得： 2222 )4si(9sin)cos3( 则 因为 sin)0,(34在 ABC 中，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，且 ，求角 A；tan1cBb解析： ，即 ，ta2sin
10、co2sin11ncCbABsiosi2sinACB ， ， si()sicoBA03考点 2: 三角式的化简与证明题型 1:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换进行化简求值.例 1. 化简2cos1tan()i()4【解题思路】对三角函数式化简结果的一般要求：函数种类最少；项数最少；函数次数最低；能求值的求出值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式.让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 6 页 共 10 页解析原式= =2cos1in()4()4s 2cos1in()()4=2co1cs
11、s【名师指引】在三角式的化简方向一般为降次,消项.例 2:证明 tan tan 3x2 x2 2sinxcosx cos2x【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系： 2 x， x3x2 x2 3x2 x2 x sin xsin cos cos sin 3x2 x2 3x2 x2 3x2 x2又 cosxcos2 x2cos cos 3x2 x2即得： tan tan .2sinxcosx cos2x 3x2 x2【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似.【新题导练】5 =（ ）2sins1coA、 B、 C、1 D、tatan12B解析2 222sicoss
12、icostant21 i6求证: .=224tan(1t)sin3sii8+si430（ ）证明:左边= =2ii-sco2(in1)sin4= = = =右边3sin4cos31(in42） si430（ ）方法技巧 利用万能公式得出 = ， = 可简化过程.2ta+co2tan+si抢 分 频 道 让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 7 页 共 10 页基础巩固训练1 已知 ， ，则 （ ）(,0)2x4cos5xx2tanA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp
13、:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 47774解析：D ，(,) 23tan4s,i,ta,t5417xx2.( 汕头金山中学 20082009 学年度上学期高三期末考试)已知 ，且 ，则 等于（ ）,)24cossin2. . . .A75B5C75D245解析：由 且 知 故 = 选 B4cos(,)23sisinicos3 （广东深圳外国语学校 20082009 学年高三第二次月考）已知 ，则3的值为（ ）2sinA B C D 54545453解析： = 选 A2sinco
14、s1sin24设 ， ， ，00i14a00i6cob62则 大小关系（ ）,bcA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j aC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j bC. D. 或4547457解析：D ， ，0sin59a0sin6102sin6c5求值： _ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t2t3ta解析: .30000tta4tan6t(4)31n2000t2att5. 设向量 ， ，(cos),i()(cos),in()b让更多的孩
15、子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 8 页 共 10 页且 43(,)5ab（1）求 ；tn（2）求 2cosi1()4解：（1） ab(cosinscosin,sicosincosin)432,2i)(5 4css5 3tan（2） 2cosi1cos3in1ta57()46. (广东省四校联合体 08 年第一次联考)设函数 ，其中向量()fxab，若函数(2cos,1)cs,3in2,axbxxR ()13,;3fxx且 求解：（1） )62sin(2sico1i2 x436265,32, 3)in
16、()6sin(xx xx且且综合拔高训练7. （中山市高三级 20082009 学年度第一学期期末统一考试）已知向量 , , . (cos,in)a(cos,in)b25ab() 求 的值; () 若 , , 且 , 求0205si13si让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 9 页 共 10 页解:（） , , (cos,in)a(cos,in)b. ib, , 25225is即 , . 4cos3cos5（） , 0,02, 3cs5sin., , in112co3s. issin43551
17、68. 已知 ),24(,)24i()in( aa求 的值.1cotts2解: 由 = )i()4i( )cos()sin(= 得 又 ,所以 .,4cs21sn21a.2ca24125a于是 sincoccosinostti2 = =)65co(s 325)3(9. 已知向量 (cosx,sinx), ( ， )，若 ，且 x ,a b 2 2 a b 85 4 2的值.xtn1)(2si求解： 54)cos(,58sin2co,58ba xx即 3tan,3)4(40243)ct()tan(xx2571)(osossi 2 .8)34(tanitan1)(2 xx让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 10 页 共 10 页
