1、第 1 页（共 19 页）锐角三角函数培优-题型分类【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义菁优网版权所有1 （2009牡丹江二模）直线 y=kx4 与 y 轴相交所成锐角的正切值为 ，则 k 的值为（ ）A B2 C2 D【分析】首先确定直线 y=kx4 与 y 轴和 x 轴的交点，然后利用直线 y=kx4 与 y轴相交所成锐角的正切值为 这一条件求出 k 的值【解答】解：由直线的解析式可知直线与 y 轴的交点为（0， 4） ，即直线y=kx4 与 y 轴相交所成锐角的邻边为|4|=4，与 x 轴的交点为 y=0 时，x= ，直线 y=kx4 与 y 轴相交所成锐角的正切值为
2、，即| |=4 ，k=2故选 C 【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理2 （1998台州）如图，延长 RtABC 斜边 AB 到 D 点，使 BD=AB，连接 CD，若 cotBCD=3，则 tanA=（ ）A B1 C D【分析】若想利用 cotBCD 的值，应把BCD 放在直角三角形中，也就得到了RtABC 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比【解答】解：过 B 作 BEAC 交 CD 于 EAB=BD，E 是 CD 中点，第 2 页（共 19 页）AC=2BE，ACBC ，BE BC，CBE=90 BE AC又cotBCD=3，设 BE=x，则 BC=3x，AC=2
3、x，tanA= = = ，故选 A【考点 3】锐角三角函数的定义3将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接 AC，则 tanDAC 的值为（ ）A B C D【分析】欲求DAC 的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中过 C 作 CEAD 于 E，设 CD=BD=1，然后分别表示出 AD、CE、DE 的值，进而可在 RtACE 中，求得DAC 的正切值【解答】解：如图，过 C 作 CEAD 于 EBDC=90，DBC= DCB=45 ，BD=DC，设 CD=BD=1，在 RtABD 中，BAD=30，则 AD=2第 3 页（共 19 页）在 RtEDC 中， CDE=BAD=30，CD=1，则
4、 CE= ，DE= tanDAC= = = 故选 C【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题菁优网版权所有4 （2007连云港）如图是一山谷的横断面示意图，宽 AA为 15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，OA=0.5m，OB=3m（点 A，O，OA在同一条水平线上） ，则该山谷的深 h 为 30 m 【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解【解答】解：设 A、A到谷底的水平距离为 AC=m，AC=nm+n=15根据题意知，OBCDOBOA=1，OB=3，OA=0.5，OB=3 = =3， = =6（ + ）h=15解得 h=30（m）
5、第 4 页（共 19 页）【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题菁优网版权所有5 （2007娄底）去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过 45时，可以确保山体不滑坡某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知 AFBC，斜坡 AB 长 30 米，坡角ABC=60改造后斜坡 BE 与地面成 45角，求 AE 至少是多少米？（精确到0.1 米）【分析】连接 BE，过 E 作 ENBC 于 N，则四边形 AEND 是矩形，有NE=AD，AE=DN，在 RtADB 和 RtBEN 中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出 AD 和 BD、AE 的
6、长【解答】解：在 RtADB 中，AB=30 米ABC=60AD=ABsinABC=30 sin60=15 25.9826.0 （米） ，DB=ABcosABC=30cos60=15 米连接 BE，过 E 作 ENBC 于 NAE BC四边形 AEND 是矩形 NE=AD26 米在 RtENB 中，由已知EBN45 ，当EBN=45时，BN=EN=26.0 米AE=DN=BN BD=26.015=11 米第 5 页（共 19 页）答：AE 至少是 11.0 米【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题菁优网版权所有6 （2010新密市自主招生）某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A 射出的光
7、线 AB、AC 与地面 MN 的夹角分别为 8和 10，大灯 A 离地面距离1m（1）该车大灯照亮地面的宽度 BC 约是多少（不考虑其它因素）？（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是 0.2s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以 60km/h 的速度驾驶该车，从 60km/h 到摩托车停止的刹车距离是 m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由 （参考数据： ， ， ）【分析】 （1）本题可通过构造直角三角形来解答，过 A 作 ADMN 于 D，就有了ABN、 ACN 的度数，又已知了 AE 的长，可在直角三角形 ABE、ACE
8、中分别求出 BE、CE 的长，BC 就能求出了（2）本题可先计算出最小安全距离是多少，然后于大灯的照明范围进行比较，然后得出是否合格的结论第 6 页（共 19 页）【解答】解：（1）过 A 作 ADMN 于点 D，在 RtACD 中， tanACD= = ，CD=5.6（m） ，在 RtABD 中，tanABD= = ，BD=7（m） ，BC=75.6=1.4（m） 答：该车大灯照亮地面的宽度 BC 是 1.4m；（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求理由如下：以 60 km/h 的速度驾驶，速度还可以化为： m/s，最小安全距离为： 0.2+ =8（m） ，大灯能照到的最远距离是 B
9、D=7m，该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有 7 （2010赤峰）关于三角函数有如下的公式：sin（ +）=sincos+cossincos（+）=coscos sinsintan（+）= 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105=tan（45+60）= = = =（2+第 7 页（共 19 页） 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物 CD 上方 A 点处测得建筑物顶端 D 点的俯角 =60，底端 C 点的俯角 =75，此时直升飞机与建筑物 CD
10、的水平距离 BC 为 42m，求建筑物 CD 的高【分析】先由俯角 的正切值及 BC 求得 AB，再由俯角 的正切值及 BC 求得A、D 两点垂直距离 CD 的长由二者相减即可求得【解答】解：由于 =60，=75，BC=42，则 AB=BCtan=42tan75=42 =42 =42（ ） ，A、D 垂直距离为 BCtan=42 ，CD=AB42 =84（米） 答：建筑物 CD 的高为 84 米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有 8 （2010巴中）巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基
11、 3.3 米的一平坝内（如图） ，测得树顶 A 的仰角ACB=60 ，沿直线 BC 后退6 米到点 D，又测得树顶 A 的仰角ADB=45 ，若测角仪 DE 高 1.3 米，求这棵树的高 AM （结果保留两位小数， 1.732）第 8 页（共 19 页）【分析】可在 RtABD 和 RtABC 中，利用已知角的三角函数，用 AB 表示出BD、BC，根据 CD=BDBC=6 即可求出 AB 的长；已知 HM、DE 的长，易求得 BM的值，由 AM=ABBM 即可求出树的高度【解答】解：设 AB=x 米RtABD 中，ADB=45，BD=AB=x 米RtACB 中，ACB=60 ， BC=ABta
12、n60= x 米CD=BDBC=（1 ）x=6 ，解得 x=9+3 ，即 AB=（9+3 ）米BM=HMDE=3.3 1.3=2，AM=AB BM=7+3 12.20（米） 答：这棵树高 12.20 米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有9 （2015甘南州）如图，从热气球 C 上测得两建筑物 A、B 底部的俯角分别为30和 60 度如果这时气球的高度 CD 为 90 米且点 A、D、B 在同一直线上，求建筑物 A、B 间的距离第 9 页（共 19 页）【专题】计算题；压轴题【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可【解答】解：由
13、已知，得ECA=30，FCB=60， CD=90，EF AB，CDAB 于点 DA=ECA=30，B=FCB=60在 RtACD 中， CDA=90，tanA= ，AD= =90 =90 在 RtBCD 中，CDB=90，tanB= ，DB= =30 AB=AD+BD=90 +30 =120 答：建筑物 A、B 间的距离为 120 米【考点】解直角三角形的应用方向角问题10 （2007徐州）如图，一艘船以每小时 30 海里的速度向东北方向航行，在A 处观测灯塔 S 在船的北偏东 75的方向，航行 12 分钟后到达 B 处，这时灯塔S 恰好在船的正东方向已知距离此灯塔 8 海里以外的海区为航行安
14、全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：1.41 ， 1.73）第 10 页（共 19 页）【分析】问这艘船能否可以继续沿东北方向航行，只要证明 D 与 S 的距离要大于 8 海里，可以做与正北方向平行的直线，与 SB 的延长线相交于点 C则ABC，ACS 都是直角三角形，可以运用勾股定理来计算【解答】解：作与正北方向平行的直线，与 SB 的延长线相交于点 C，过点 S 作SDAB 于 DAB=30 =6（海里） ，CAB=45 ，ACB=90，AC=BC=ABsin45=6 =3 （海里） ，CAS=75，ACS=90，SC=ACtan75=3 （2+ ）=6 +3 （海
15、里） ，BS=3 +3 （海里） ，DBS=ABC=45，SD=BSsin45=（3 +3 ） =3+3 8.2 8，这艘船可以继续沿东北方向航行第 11 页（共 19 页）【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形菁优网版权所有11 （2010兰州）已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点O，AC=10 ，BD=8 （1）若 AC BD，试求四边形 ABCD 的面积；（2）若 AC 与 BD 的夹角AOD=60，求四边形 ABCD 的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形 ABCD”改为“四边形 ABCD”，且AOD=，AC=a，BD=b，试求四边形 AB
16、CD 的面积（用含 ，a，b 的代数式表示） 【分析】 （1）因为 ACBD，所以四边形 ABCD 的面积等于对角线乘积的一半；（2）过点 A 分别作 AEBD，CF BD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出AOD 的面积，那么四边形 ABCD 的面积=4AOD 的面积；（3）作辅助线 AEBD，CFBD，利用正弦定理求出BCD、ABD 的高，那么四边形 ABCD 的面积=BCD 的面积+ABD 的面积【解答】解：（1）AC BD，四边形 ABCD 的面积= ACBD=40（2）分别过点 A，C 作 AEBD，CFBD ，垂足分别为 E，F 四边形 ABCD 为平行四边形，AO=CO=
17、 AC=5，BO=DO= BD=4在 RtAOE 中， sinAOE= ，AE=AOsin AOE=AOsin60=5 = S AOD = ODAE= 4 5=5 四边形 ABCD 的面积 S=4SAOD =20 第 12 页（共 19 页）（3）如图所示，过点 A，C 分别作 AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F 在 RtAOE 中， sinAOE= ，AE=AOsin AOE=AOsin同理可得CF=COsinCOF=COsin 四边形 ABCD 的面积S=SABD +SCBD = BDAE+ BDCF= BDsin（AO +CO）= BDACsin= absin平行四边形的性质；全等三
18、角形的判定与性质；解直角三角形12 （2006潍坊）已知平行四边形 ABCD，AD=a ，AB=b ，ABC= 点 F 为线段BC 上一点（端点 B，C 除外） ，连接 AF，AC，连接 DF，并延长 DF 交 AB 的延长线于点 E，连接 CE（1）当 F 为 BC 的中点时，求证：EFC 与ABF 的面积相等；第 13 页（共 19 页）（2）当 F 为 BC 上任意一点时，EFC 与ABF 的面积还相等吗？说明理由【分析】 （1）S EFC = FC高 h，S ABF = BF高 h，而EFC 与ABF 的面积相等且当 F 为 BC 的中点，所以必须证明 h=h，而 h=ABsin，h=
19、EBsin，所以证明方向转化为求证 EB=AB，而 EB=CD，可利用证EBF DCF 来解答，因此便可求证所求；（2）由于ABC 和CDE 为等底等高三角形，所以 SABC =SCDE ，又因为ACF和CDF 同底等高，所以 SAFC =SCDF S ABC SAFC =SCDE SCDF ，即 SABF =SEFC 【解答】 （1）证明：点 F 为 BC 的中点，BF=CF= BC= ，又BFAD，BE=AB=b，A，E 两点到 BC 的距离相等，都为 bsin， （3 分）则 SABF = bsin= absin，SEFC = bsin= absin，S ABF =SEFC ；（5 分）
20、（2）解：法一：当 F 为 BC 上任意一点时，设 BF=x，则 FC=ax，四边形 ABCD 是平行四边形，第 14 页（共 19 页） ， ， ， （7 分）在EFC 中， FC 边上的高 h1=BEsin， ， ， （9 分）又在ABF 中，BF 边上的高 h2=bsin，S ABF = bxsin，S ABF =SEFC ；（11 分）法二：ABCD 为平行四边形，S ABC =SCDE= absin，又S AFC =S CDF，S ABC SAFC =SCDE SCDF ，即 SABF =SEFC （11 分）菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形菁13 （20
21、09龙岩）在边长为 6 的菱形 ABCD 中，动点 M 从点 A 出发，沿ABC 向终点 C 运动，连接 DM 交 AC 于点 N（1）如图 1，当点 M 在 AB 边上时，连接 BN：求证：ABN ADN；若ABC=60 ，AM=4，ABN=，求点 M 到 AD 的距离及 tan 的值（2）如图 2，若ABC=90，记点 M 运动所经过的路程为 x（6x 12） 试问：第 15 页（共 19 页）x 为何值时，ADN 为等腰三角形【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】 （1）ABN 和 ADN 中，不难得出 AB=AD
22、，DAC=CAB，AN 是公共边，根据 SAS 即可判定两三角形全等通过构建直角三角形来求解作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H由可得MDA=ABN，那么 M 到 AD 的距离和 就转化到直角三角形 MDH 和 MAH中，然后根据已知条件进行求解即可（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA ，AN=AD 进行讨论【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AB=AD， 1=2又AN=AN，ABN ADN（SAS） 作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H由 ADBC，得MAH= ABC=60在 RtAMH 中，MH=AMsin60=4 sin60=2 点 M 到 AD 的距离
23、为 2 AH=2DH=6+2=8在 RtDMH 中，tanMDH= ，由知，MDH=ABN= ，tan= ；（2）ABC=90 ，菱形 ABCD 是正方形CAD=45第 16 页（共 19 页）下面分三种情形：（）若 ND=NA，则ADN=NAD=45 此时，点 M 恰好与点 B 重合，得 x=6；（）若 DN=DA，则DNA=DAN=45 此时，点 M 恰好与点 C 重合，得 x=12；（）若 AN=AD=6，则1=2ADBC，1=4，又2=3，3=4CM=CNAC=6 CM=CN=ACAN=6 6故 x=12CM=12（6 6）=18 6 综上所述：当 x=6 或 12 或 186 时，A
24、DN 是等腰三角形第 17 页（共 19 页）等边三角形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有14 （2009莆田）已知：等边ABC 的边长为 a探究（1）：如图 1，过等边ABC 的顶点 A、B 、C 依次作 AB、BC、CA 的垂线围成MNG，求证： MNG 是等边三角形且 MN= a；探究（2）：在等边ABC 内取一点 O，过点 O 分别作ODAB、OE BC、OFCA，垂足分别为点 D、E、F如图 2，若点 O 是ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论 1 OD+OE+OF= a；结论 2 AD+BE+CF= a；如图 3，若点 O
25、 是等边 ABC 内任意一点，则上述结论 1，2 是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由【分析】 （1）本题中ABC 为等边三角形，AB=BC=a，ABC=60，求出N， G 的值，在直角 AMB、CNB 中，可以先用 a 表示出 MB，NB 然后再表示出 MN，这样就能证得 MN= a；（2）判定是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论是否正确【解答】 （1）证明：如图 1，ABC 为等边三角形，ABC=60 第 18 页（共 19 页）BC
26、MN，BAMG，CBM= BAM=90 ABM=90 ABC=30M=90ABM=60 同理：N=G=60MNG 为等边三角形在 RtABM 中，BM= a，在 RtBCN 中，BN= a，MN=BM+BN= a（2）：结论 1 成立证明：如图 3，过点 O 作 GHBC，分别交 AB、AC 于点 G、H，过点 H 作HMBC 于点 M，DGO=B=60，OHF=C=60 ，AGH 是等边三角形，GH=AHOEBC，OEHM，四边形 OEMH 是矩形，HM=OE在 RtODG 中，OD=OGsinDGO=OGsin60= OG，在 RtOFH 中，OF=OHsinOHF=OHsin60= OH
27、，在 RtHMC 中，HM=HCsinC=HCsin60= HC，第 19 页（共 19 页）OD+OE+OF=OD+HM+OF= OG+ HC+ OH= （GH+HC）= AC= a（2）：结论 2 成立证明：如图 4，连接 OA、 OB、OC，根据勾股定理得：BE2+OE2=OB2=BD2+OD2，CF2+OF2=OC2=CE2+OE2，AD2+OD2=AO2=AF2+OF2，+得：BE 2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，BE 2+CF2+AD2=（aAD） 2+（aBE ） 2+（aCF）2=a22ADa+AD2+a22BEa+BE2+a22CFa+CF2整理得：2a（AD +BE+CF）=3a 2AD+BE+CF= a
