1、泛函分析习题解答1、设 为一度量空间，令 ，(,)Xd00(,)|,()UxXdx00(,)|,()SxXdx问 的闭包是否等于 。0,Ux0(,)S解答：在一般度量空间中不成立 ，例如：取 的度量子空间 ，则 中00(,)(,)xS1R,12,3的开球 的的闭包是 ，而(1,);(1,)xXd1;(,)0xXd2、设 是区间 上无限次可微函数全体，定义 ，证,Cab, ()()01|(,max2rrrtbftgtfg明： 按 构成度量空间。,(,)dfg证明：（1）显然 且 有,0f(,)0dfg()()1|,ax02rrrtbftgt,rtab，特别当 时有 有 。()()|0rrftgt
2、,rtab|()|0fg,tab ()ftg（2）由函数 在 上单调增加，从而对 有1tf0),fhC()()0()()()()0()()|(,)max21| | =| ax2rrrtbrrrrrtrrrtbfttdfggfthtttgftt()()()()() ()0 ()()() |1| =m| | ax21|rrrrrr rt rrrrtb ttfthtftgtttft()() ()() ()0 0|1| max|2|(,), rrrrrrrat tbhhttftt gdfhg 即三角不等式成立 。(,()fg3、设 是度量空间 中的闭集，证明必有一列开集 包含 ，而且 。BX12,nO
3、 B1nOB证明：设 为度量空间 中的闭集，作集： ， 为开集，从而只要|(,),(2,)nxdn证 ；1nO可实上，由于任意正整数 ，有 ，故： 。nnBO1n另一方面，对任意的 ，有 ，01nx0(,)dx(,2)令 有 。所以 （因 为闭集） 。这就是说， n(,)d0 1nOB综上所证有： 。1nBO4、设 为度量空间 上的距离，证明 也是 上的距离。(,)dxy(,)Xd(,)(,)1dxyX证明：首先由 为度量空间 上的距离且 ，因此显然有 且(,)(,)(,)(,)xy(,)dxy的充要条件是 ，而 的充要条件是 ，因此 的充要条件是 。(,)0dxy,0dxy,0dxy(,)0
4、y其次由函数 在 上单调增加有(1tf)(,)(,)(,)(,1, , ()()1()(), ,1xydxzydzzdxdyzxzy即三角不等式成立。所以 也是 上的距离。(,)dxyX5、证明点列 按题 2 中距离收敛于 的充要条件为 的各阶导数在 上一致收敛于 的nf ,fCabnf,abf各阶导数。证明：由题 2 距离的定义： 则有：()()01|(,)max2rrrtbftgtdfg若 上述距离收敛于 ，则 。所以对任何非负nff ()()0| |(,) 0()rrnnratbftftf n 整数 有： 。由此对任何非负实数 有r()()| |max2(,)()1rrrn ntbftf
5、tdf r。()()max| |0rrntbftftn从而对任何非负整数 ， 的各阶导数 在 上一致收敛于 的各阶导数 。rnf()r,bf()rf反之：若对每个 ， 的各阶导数 在 上一致收敛于 的各阶导数 ，则对每个 有()rnfa()r0,12，则 有：()()max| |0(rrntbftft0,rrNn()()max| |rntbftft从而对任意的非负实数 有： 。又由于r()()| |max11rrntbftft从而； ，于是 有：()()0 0| |(,)22rrnnr ratbfftdf 0,R。从而取 时12rR01x(,),RNN ()()0| |(,)ma2rrnnrt
6、bftftdf()() ()()0 1| | | |1 xmax2rr rrRn nr ratb tbRfftftft 01()3.+2+Rrr于是 有 。从而点列 按题 2 中距离收敛于 。0,Nn(,)ndfnf ,fCab7、设 及 是度量空间中两个集，如果 ，证明必有不相交开集 及 分别包含 及 。EF(,)0dEFOGEF证明：记 。 ，以 为半径作点 的邻域,(,)if(,)xEyFrx1(,)2xdFx，令 ，则 是开集且 。同理可作开集 ，使得(,)xUxFOUO。1(,)(,)2yyFGUdyE余证 ，如若不然即 ，则存在 ，由 及 的作法可知，必有 ，使得GPOG,xEyF
7、，即 ， 。从而有(,)(,)xyPU1(,)(,)2xdd1(,)(,)2yd,yxFE另一方面 ， ，从而有(,)(,)dxFy()()Ex，1,(,)(,)2dydyxy由于 ，故得矛盾。因此 。,(,)(,)inf()0xEyFxyrOG9、设 是可分距离空间， 为 的一个开覆盖，即 是一族开集，使得对每个 ，有 中的开集 ，XXFxXFO使 ，证明必可从 中选出可数个集组成 的一个开覆盖。xOF证明：因 是可分距离空间，所以在 中存在可数稠密子集 。因 是 的一个开覆12,nBx 盖。因此 ，存在 中的开集 ，使得 且 是 的内点。存在 ，使xXOxO0r，因 在 中稠密，从而可在
8、上取出 中的点 ，再取有理数 ，使得(,)xUrOBX(,)4rUxBkxr（此处的有理数 与 均有关系）于是 ，由 的任意性从而满足42rr,kx (,)krOX该条件的开集 的全体覆盖 。又由于 的 和 均为可数故这种开集 的全体至多可数。(,)krkxr10、设 是距离空间， 为 中的子集，令 ，证明 是 上的连续函数。XAX(inf(,)xAfdy()fx证明： ，则由 可得0,x0(,)(,),)dxy000infif(),)(yAyAfxf0),xd同理可得： 。因此当 即 时有00()(,)fxfdx0|(|()fx0x0(,)dx。所以 在 处连续，由 在 上的任意性得|()|
9、fin,)xAyX0X在 上连续。in(,)xAdyX14、 Cauahy 点列是有界点列。证明：设 是度量空间中的 中的 Cauahy 点列，则 有 。特别n(,)d0,Nnm(,)nmdx取 ， 则对任意的 有 ，则 ，即点列 的直径1N,mN,1nmx.sup(,)1nnmdx,1N，从而点列 是 有界集。其次对于 ，取(,)1nx,(,)X,，则 即 是 中的有界集。ma(,ijMdxij,nxNMnx(,)Xd又集 ，所以 有界。n,1nNn设 是赋范空间， 是 中的 Cauahy 点列点列，则 时有(|)XAx(|)XA0,Nnm，今取 ，则 ，使得 。 ，取|nmx11|nNx1,|nx，则 ，有 。所以点列 有界。121|,|,|NMx |nxMn18、设 为完备度量空间， 是 到 中的映射，记 ，若 ，则映射XAX(,)supnnxdAxa1na有唯一不动点。A证明：因 ，由级数收敛之必要条件有 ，于是对于 ， ， 时有 。1nalim0na1Nn|na于是 时， 。从而从 后，映射 是 到 的压缩映射。nN(,)dAx(,)(,)ndAxdxAX又由于 是完备的，所以映射 有唯一不动点。XA
