1、第 1 页，共 21 页人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 锐角 中，已知 ，则 的取值范围是 =3， =3 2+2+3 ( )A. B. C. D. (5， 15 (7， 15 (7， 11 (11， 152. 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，则 ， ， ， ， =2的形状为 ( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形3. 在 中， ，则 的值等于=60， =1， =3 2+2+( )A. B. C. D. 2393 2633 833 234. 在 中，有正弦定理： 定值，这个定值就是 的
2、外接= 圆的直径 如图 2 所示， 中，已知 ，点 M 在直线 EF 上从左到右运. =动 点 M 不与 E、F 重合 ，对于 M 的每一个位置，记 的外接圆面积与( ) 的外接圆面积的比值为 ，那么 ( )A. 先变小再变大B. 仅当 M 为线段 EF 的中点时， 取得最大值C. 先变大再变小D. 是一个定值5. 已知三角形 ABC 中， 边上的中线长为 3，当三角形 ABC 的面积最大=， 时，AB 的长为 ( )A. B. C. D. 25 36 26 35第 2 页，共 21 页6. 在 中， 分别为内角 所对的边， ，且满足， ， ， ， =若点 O 是 外一点， ，平=1. =(0
3、0 =3.(11)故 的面积为 分 =12=332.(14)解法二：由正弦定理，得 ，73=2从而 分 =217， (9)又由 知 ， 所以 =277故 分 =(+)=(+3)=3+3=32114.(12)所以 的面积为 分 12=332.(14)22. 解： 由已知，根据正弦定理， (1) =()得， ，即 22=()2+22=由余弦定理得 =2+222=12又 (0， )所以 =3，(2)=3， =3， +=23，可得： ，=332=2 =2， =2=2(23)+=3+2+2(23)=3+2+2(32+12)=23(+6)+3由 可知， ，可得： 00， =12 00 4， 1， 30，
4、83时 ，三角形无解；(2)当 =，即 12=60，即 =83时 ，三角形有 1解(3)当 ，即 6012，即 1283，三角形有 2个解；当 ，即 时，三角形有 1 个解(4)0 012综上所述：当 时，三角形恰有一个解012或 =83故答案为： 012或 =83要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有 1 个解、有 2 个解，从中得出恰有一个解时 k 满足的条件本题主要考查三角形解得个数问题，重在讨论 易错点在于可能漏掉 这种情况. =8319. 解：由 ，利用正弦定理可得： ，=1 =2=2， =2=2，=， =第 19 页，共 21 页，=422 =2，=(2)=2即 ，+=(+)=
5、2，即 ，0， =12 =3，=2+222=12，=2+22=2+2(2)2=2+2323当且仅当 时，取等号 ，3( = )面积为 ， =1212332=334则 面积的最大值为： 334故答案为： 334利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据 不为 0，可得出 的值，然后利用余弦定理表示出 ，根据 的值，得出 ， =2+22再利用正弦定理表示出 a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出 bc 的最大值，进而由 的值及 bc 的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 面
6、积的最大值此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题20. 利用正弦定理可求角 C 的大小(1)直接利用 的面积 求解出 b，再用余弦定理可得(2) =12本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力21. 由弦定理化简已知可得 ，结合 ，可求 ，(1) =3 0 =3结合范围 ，可求 A 的值0解法一：由余弦定理整理可得： 即可解得 c 的值，利用三角形面积公(2) 223=0.式即可计算得解解法二：由正弦定理可求 的值，利用大边对大角可求 B 为锐角，利用同角三
7、角函数基本关系式可求 ，利用两角和的正弦函数公式可求 ，进而利用三角形面积 公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题22. 通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出 C 的余弦值，得到 C 的(1)值由已知利用正弦定理可得 ，利用三角函数恒等变换的应(2) =2， =2(23)第 20 页，共 21 页用化简可求 ，根据 的范围，利用正弦函数的图象和+=23(+6)+3 +6性质得到结果本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换
8、的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题23. 化简函数 的解析式为 ，可得函数的最小值为 ，最小正周期(1) () (26)1 2为 22中，由 ，求得 再由向量 与(2) ()=(26)1=0 =3. =(1， )共线可得 ，再由 可得 ，化简=(2， ) 2=0 =23 (23)=2求得 ，故 再由正弦定理求得 a、b 的值=6 =2.本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题24. 由正弦定理求得外接圆半径 再由 ，可得 ，化简(1) . =， =得 2=2再由 ，可得 ，由此可得 C 的值 2+2=由于 再由 ，利用正弦(2) +=+=2(+4)+1.
9、 4函数的定义域和值域求得 的范围，即可求得 的取值范围(+4)+12+1 +本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题25. 结合三角形的内角和定理及诱导公式可得 ，再对已知(1) (+)=，利用正弦定理化简可求 B (2)=结合三角形的面积公式 ，可求 ac，由已知 ，再利用余弦定理(2) =12 ， 可求 2=2+22 +本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要是考生具备综合应用公式的能力26. 由条件利用正弦定理可得 再由余弦定理可得 (1) 2+2=4. =3利用基本不等式可得 ，当且仅当 时，取等号，此时， 为等边(2) 4
10、=2 三角形，从而求得面积的最大值本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题27. 首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求( )函数在固定区间内的增减区间 把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的( )取值范围第 21 页，共 21 页本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题28. 利用向量共线定理可得： ，再利用和差公式、三角函数求值(1) 3=1即可得出由题知 ，利用倍角公式化为 ，因此 ，解
11、(2)1+2 2 2=3 +=3 1+1=3得 再利用 ，展开代入即可得出. =(+)=(+)本题考查了向量共线定理、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题29. 利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关(1)系求出 利用求出的三角函数的值将角 C 的范围缩小，求出 C 的余弦；将已知等式配方求(2)出边 ；利用余弦定理求出 c， 本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理30. 利用正弦正理化简已知等式可得： ，由余弦定理可得求得() 2+22=，结合 A 的范围，即可求得 A 的值=12由正弦定理用 、 表示出 a、b，由内角和定理求出 A 与 B 的关系式，代入() 利用两角和与差的正弦公式化简，根据 A 的范围和正弦函数的性质得出 的+ +取值范围本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题
