1、二面角一二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二二面角的平面角的特点： 顶点在棱上； 两条边分别在两个平面内； 与棱都垂直。三二面角的平面角的范围： 018,四求二面角的平面角的方法：1.定义法（或垂面法） 图 A2.三垂线法 图 B3.射影面积法 图 CbaP图 ARQP图 C图 BBAQP典型例题：方法一：定义法1 已知 ，过点 引 所在平面的斜线 与 ， 分别成 ，09OBAOOAB045角，求二面角 的大小。06BCOCBA2 是 所在平面外一点，连接 ，DAC aABCD2,则二面角 的余弦值是_.
2、aCDBACBCDA3如图，正方体 中， 为棱 的中点，那么截面 和截面1E1BDA1所成的二面角为_EBDED1B1C1A1D CBA4在 中， , 垂直平分 ,且分别交 于 ，BCA,平 面SDESCSA,ED,又 ,求二面角 的大小。S, CSED CBA5如图，正方体 的棱长为 1， 是 的中点，求二面角1DBAPAD的大小。PDA1D1B1C1A1D CBA P6如图，已知点 为正方体 的棱 的中点，求二面角P1DCBA1的余弦值。1DACPD1B1C1A1D CBAP方法二：三垂线法：7如图所示，平面 平面 是正三角形，则二CABDCAD,90,面角 的平面角的正切角为_ （ ）A
3、BD 32DCBA8如图，矩形 中， ，沿对角线 将 向上折起，使点BC32,6BCABDA移至点 ，且 在平面 的射影 在 上。APO（1）求二面角 的平面角的余弦值。 （ ）1（2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 （ ）DCB32POD CBA9如图，已知 是 所在平面外一点，连接 后，CDADCB,平面 ，求二面角ABAD,30,2,0的大小。 （答案： ）arcosDCBA10已知棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 是 的中a1DCAM1CNBC点，求截面 和底面 所成的角。1ANMNMD1 C1B1A1D CBA11如图，已知 ,斜边 在平面 内，点 不在 内。 分别与平面AR
4、tAACB,成 角、 角，求 所在平面与平面 所成的角。03045CCBA12如果二面角 的平面角是锐角，点 到 和棱 的距离分别为 ，l P,l 24,求二面角的大小。13如图，已知直二面角 ， ,线段 与 成 的角，lBA, ABa,205与 成 的角，过 分别作 的垂线 分别是垂足，求二面角03B, DC的大小。DABCl DCBA14如图， 是二面角 的棱 上的两点，在面 内，以 为直径的半圆上有A,llAB一点 ，若 和 成 的角，求二面角 的大小。PP,6,303llPBA综合问题：1 如图，二面角 的平面为 ， 为 上一定点，且 的面积为NCDMAMADC，过点 作直线 ，使 ，
5、且 和平面 成 的角，当aS,ABDCBN03变化时，求 面积的最大值。NMD CBA2 是边长为 1 的正方形， 分别是边 上的点， ，交ACM,BCDA,MNAB于 ，沿 折成直二面角 。OA（1）求证：无论 怎样平行移动， 的大小不变；O（2）求 在怎样的位置时， 和 的距离最小，最小值是多少。MNCO NMD CBA3 是边长为 的棱形， ，沿对角线 折成 的二面角BCDa06ADBD012后，求 和 间的距离。DCBA4如图，已知点 是菱形 所在平面外一点， ， 为边长等于 2 的PABCADP正三角形，面 与底面 所成的二面角为 。D012（1）求点 到平面 的距离；（2）求面 与
6、平面 所成的二面角的大小。PD CBA5如图，点 是正方形 所在平面外一点， 平面 , , 是PADPDABCDPE的中点，作 交 于点 。CEFF（1）证明： 平面（2）证明： 平面（3）求二面角 的大小。BFEPD CBA6.如图，线段 是夹在互相垂直的平面 之间，它和 所成的角分别是 ，, 03,45两点在这两个平面的交线上的射影是 ,且 ，求：, DC1（1） 的长；AB（2）平面 和平面 所成的二面角的平面角的正弦值。DADBA7如图，在边长为 的菱形 中， 平面 ， ，aABCDPC,60ABDaPC为 的中点。EPA（1）求证：平面 平面EDBAC（2）求点 到平面 的距离；（3
7、）求二面角 的正切值。PED CBA8在ABC 中，两直角边的长分别为 AC=，BC= 沿斜边上的高 CD 将平面 ACD2折到平面 ，使平面 平面 BCD，求折叠后点 D 到平面 的距离。CDBCACA BaDa2A AD BEAAC（2）（1）9如图，设 的面积为 S，BC=a，作 DEBC，且分别交 ， 于 D，E，把BCA BC折起，使折起后的ADE 所在平面和平面 BCED 所成的角为 （ 为常数，E ） ，问 DE 在何处时，A 到 BC 的距离最小，并求出这个最小值。180A AEDHABMC10在长方形 ABCD 中，P 是 CD 上的一个动点，BAP= ,沿 AP 把长方形拆成直二面角 D-AP-B，设 AB=a，BC=b，ab。 （1）求 BD= 的函数式；（2） 为何值时，BD 最小，最)(f小值为多少？ BD CA Pb（1）A（2）PMN（D）DCBA
