1、非线性四阶常微分方程具非线性三点边值问题解的存在性第 38 卷第 2 期南开大学(自然科学版)2005 年 4 月 ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisNankaiensisVol_38N92Apr.2005文章编号:04657942(2005)02 002904非线性四阶常微分方程具非线性三点边值问题解的存在性高永馨,石新华(中国民用航空学院理学院,天津 300300)摘要:利用上一下解方法,讨论了非线性 4 阶常微分方程具非线性三点边值问题解的存在性关键词:非线性四阶常微分方程;非线性三点边值问题;解的存在性中图分类号:0241.81 文献标识码:A
2、0 引言1984 年,赵为礼在文献1中利用上下解的方法,讨论了三阶非线性常微分方程具有两点,三点简单边界条件的边值问题解的存在性.1991 年,王金枝在文献 E2中用同样的方法,得到了三阶非线性常微分方程具有非线性两点边值问题解的存在性.本文利用上下解的方法,讨论了非线性四阶常微分方程具非线性三点边值问题解的存在性.1 准备知识全文总假设:(H)函数 f(t,Y,2,W,71)在区域一 Ea,c3R 上连续;(H.)方程Y“一 f(t,Y,Y,“,Y)(1)初值问题的解可延至,c或在其最大存在区间上无界.定义若函数)c,c, 使得()f(t,( ),(),(),( )(ntC),则称) 为方程
3、(1)于,c上的上解 ;若函数 air(t)CEa,c3,使得“()f(t,air(t),( ),“(),()(ntc), 则称 x/r(t)为方程(1)于n,c 上的下解.利用 Kamke 定理,便不难证明下面的引理 (见文献 E53 的引理 1).引理 1 假设(H),(H.)成立,若函数列厂棚 (,Y,2,W,)(一 1,2,)在上连续,且在的任一紧子集上一致收敛于 f(t,Y,2,W,71),且方程 y“一厂棚(,y,y,“,Y)的解 Y()及其Y( ),棚()所构成的序列皆于n,c上一致有界,则方程(1)在,c上必有解 (),且y() 存在子序列.()使lim()一 Y“()(一 0
4、,1,2,3)在,c上一致地成立.2 三点边值问题为叙述方便,用()(一 1,2,6)表示下述各条件.()函数 f(t,Y,2,W,)在,c上关于 y 不增,在n,6 上关于 2 不减,在6,c上关于 2 不增.(.)方程(1)在,c上存在上解()和下解 x/r(t),满足收稿日期:2003 一 ll 一 13作者简介:高永馨(1966 一),女,吉林辽源人,理学硕士,副教授,主要从事常微分方程边值问题研究.?3O?南开大学 (自然科学版) 第 38 卷(f) gt(t),(f)“(f),t 口,f,()(f),t ,bJ,(f)(f),t6,f.(.)函数 h(,)在 R 上连续,关于 Y
5、不增,且 h(6),(6)一 0,h(6),(6)一 0.()函数 g(z,Y,2,)在 R 上连续 ,关于,不增,关于不减,且g(口),(口),(口),( 口)一 0,g(gr(a),(口),“(口),( 口)一 0(s)函数 h.(,2)在 R.上连续 ,关于 2 不减,且ho(6),(6),(6)一 0,h.(6),(6),(6)一 0(s)函数志(z,Y,2, 叫)在 R 上连续,关于,不增,关于不减,且志(c),(c),(c),(c):0,走(c),(c),“(c),(c)一 0应用 Schauder 不动点定理 ,可以证明下面的引理(见文献 5中的引理 2,引理 3).引理 2 如
6、果函数 f(t,Y,2,77)在,c R 上连续有界,则方程(1)在条件(口)一 a2,(6)一 6o,Y(6)一 61,“(f)一 c2(2)下有解.引理 3 假设(H),(H),(A),()成立 ,如果(a) 口(口),gr(b)6.6),(6) 一 b一(6),(c)cz(c),则方程(1)在条件(2)下有解(),并且满足()y(t)(),()( )( ),ta,c,()() (),t ,6,()() (),t6,c(3)定理 l 假设(H),(H),(A),(),()成立,如果(口)口(d),gr(b)b.驴(6),(c)c (c)则方程(1)在边界条件Y(以 )一以 2,(6)一 b
7、o,hl(6),(6)一 0,(c)一 c2(4)下有解 y(t),并且满足 (3)式.证明对于满足(6)一 S 一(6)的 S,根据引理 3 知,方程(1)在边界条件Y“(口)一口 z,(6)一 b0,Y(6)一 S,Y(c)一 c2(5)下有解 Y(f),并且满足(f) Y(f)(f),(f) ( )(f),t,c,(f) (f)(f),t ,bJ,(f) Y(f)(f),t6,c因为(6):(6)这时,由(6)一(6),Y(6) (6), 以及(.)知 h(6),Y(6)h(6),(6)一 0.另一方面,由 Y(6)一(6),Y(6) “(6) 及(.)知 h(6),Y6)h(6),(6
8、):=0因此,h1(6),(6)一 0这说明,方程(1)在条件() 下的解 (f),即为方程(1)在条件()的解.定理 2 假设(H),(H),(),(),(.),()成立,如果(6) b.(6),“(f)c2(f),则方程(1)在边界条件g(y(a),Y(以),Y(以).Y(以)一 0,(6)一 b.,h1(6),Y(6)一 0,Y(c)一 c2(6)下有解 y(t),并且满足 (3)式.证明由定理 1 知,对于满足()S()的任意 S,方程(1)在边界条件Y(口 )一 5,(6)一 b0,h1(6),Y“(6)一 0,(c)一 c2下有解 Y(f),并且满足(f) Y(f)(f),(f)
9、(f)(f),t,c,(f) Y(f)( ),t,6,(f)(f)(f),t 6,c记丌(s)一Y(f):(口)S (口), 显然(s).第 2 期高永馨等:非线性四阶常微分方程真非线性三点边值问题解的存在性 31下面分两种情况讨论.情况 1,(口) 一 “(口)这时,由()一()及(f)(f) 知,(n)(d).再由(A)知g(y(),(口),r(a),()g(),(口),(),()一 0另一方面,由()一()及(f)(f) 知,(口)().再知()知g(Y(),(),(),()g(gr(a),(),“(),( 口)一 0因此,g(y(),(),(),(a)一 0.这说明,当()一“()时,
10、方程(1)在条件(6)下有解(f),并且满足(3)式 .情况 2,()(口)用反证法,假设对于 V(f)Err(s),(f)均不是方程(1)在条件 (6)下的解,这时,g(),(),(以),()0(7)1 若(f)E 丌(), 贝 0g(),()(),()0.2 若(f)Err(gt(),贝 4g(),(),(以),(以)0.记 E 一(f)(f)rr(s)且 g(y(),(),(),Y()0,显然Ej2.记 SOsup():(f)EE.由 s.的定义知,存在(f)EE(,z 一 1,2,),满足()一 s 一 So(,z 一.).根据引理 1知,方程(1)在边界条件()一 S0,(6)一 ,
11、h1(6),(6)一 0,“(f)一 f2下有解.(f),并且满足gt(t)0(f) (f),“(f) “0(f)(f),tE,f,(f) .(f)(f),t ,6,(f).(f)(f),tE6,f由 g(y(),(),“(),()0 及(7)式知,g(y.(),.(),o(),o()0,即 Yo(f)EE,因此,S0().如果用.()代替定理 1 中的下解(f), 上解仍用(f)表示, 由定理 1 知,若,0()s(),Yo(6)6.(6),0(f) f (f),则方程 (1)在边界条件()一 S,(6)一 bo,h1(6),(6)一 0,“(f)一 C2下有解(f),并且满足:0(f)(f
12、)(f),0(f)(f)(f),t,c,(f) (f).(f),tEi-a,6,.(f)(f)(f),tE6,f记 rr(s)一(f):.()S(),显然 rr(s).由于 s.(),则存在正整数,使 s.+1/(a),因此,若N,则 S.+1/n().由引理1 知,(f)(=一 II(s.+寺)存在子序列(f)在,c 上一致收敛于边值问题,一 f(t,tt,),()一 s0,(6)一 bo,h1(6),“(6)一 0,“(c)一 C2的解.(f),并且满足.(f) (f)(f),0(f).(f)(f),ti-a,f,(f) .(f).(f),tEi-a,6,.(f).(f)(f),tE,f由
13、 S.的定义及 (7)式知g(0(),0(),0(),胛 o()0(8)另一方面,由.()=.() 及,0(f) (f)知,.()_,.(). 再由()知gG0(),0(),0(),“o()g(y0(),o(),(),o()0这与(8)式相矛盾 .因此,当(n)()时,方程(1)在条件(A)下有解(f),并且满足(3)式.?32?南开大学(自然科学版 )第 38 卷仿定理定理 3下有解()2 的证明,不难有如下的定理.假设(H),(H.),(),(.),(.),(A),(A5),(A6)成立,则方程(1) 在边界条件g(口),Y(口),Y“(口),Y( 口)一 0,h0(6),y(6),y(6
14、)=0,h1(6),Y(6)=0,五(c),Y(c),Y“(c),Y(c)一 0,并且满足(3)式.参考文献1 赵有礼.三阶非线性微分方程边值问题解的存在性J.吉林大学自然科学,1984,2:lll9.2WangJinzi.ExistenceofsolutionsofnonlineartWOpointboundaryvalueproblemsforthirdordernonlineardifferentialequationsJ,NortheastMath.J,1991,7(2):l8l189.3JacksonLK,Schrader.Subfunctionandthirdorderdiffer
15、entialinequalitiesJ.JDifferentialEquation,1970,8:l8Ol94.4HartmanP.OrdinaryDifferentialEquationsM,NewYork:Wiley,1964.5 高永馨.非线性四阶常微分方程两点边值问题解的存在性及唯一性J.JNortheastNormalUniversity,1996,1:59.ExistenceofSolutionsofNonlinearThreepointBoundaryValueProblemsforFourthorderNonlinearDifferentialEquationGaoYongxi
16、,ShiXinhua(SchoolofScience,GivilAviationUniversityofChina,Tianjin300300,China)Abstract:Inthispaper,theauthorusesthemethodsofuplowersolutiontostudytheexistenceofsolutionsofnonlinearthreepointboundaryvalueproblemsfornonlinearfourthorderdifferentialequation.Keywords:Nonlinearfourthorderdifferentialequation;nonlinearthreepointboundaryvalueproblem;existenceofsolutions
