1、 数学堂 只教简单数学特殊的平行四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：2014 届四边形卖萌大赛最佳表演奖：等腰梯形矩形 菱形 正方形边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角性质 对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等 ,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角 ;是平行四边形且有一个角是直角 ;是平行四边形且两条对角线相等 .四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性 既
2、是轴对称图形，又是中心对称图形数学堂 只教简单数学四边形分类专题汇总专题一：特殊四边形的判定【知识点】1.平行四边形的判定方法：（1）_ （2）_ （3）_ （4）_ （5）_ 2.矩形的判定方法：（1）_ （2）_ （3）_ 3.菱形的判定方法：（1）_ （2）_ （3）_ 4.正方形的判定方法：（1）_ （2）_ （3）_ 5.等腰梯形的判定方法：（1）_ （2）_ （3）_ 【练一练】一选择题1能够判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是（ ） AABCD，AD=BC BA=B，C=DCAB=CD，AD=BC DAB=AD，CB=CD2具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（
3、 ） A相邻的角互补 B两组对角分别相等C一组对边平行，另一组对边相等 D对角线交点是两对角线中点3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等4如下左图所示，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列判断正确的是（ ） A若 AO=OC，则 ABCD 是平行四边形;B若 AC=BD，则 ABCD 是平行四边形;C若 AO=BO，CO=DO，则 ABCD 是平行四边形;D若 AO=OC，BO=OD，则 ABCD 是平行四边形 5不能判定四边形
4、 ABCD 是平行四边形的条件是（ ）AAB=CD ，AD=BC BABCD，AB=CDCAB=CD，ADBC DABCD，ADBC6.四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，能判断它为矩形的题设是（ ）AAO=CO，BO=DO BAO=BO=CO=DOCAB=BC，AO=CO DAO=CO，BO=DO，ACBD7.四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）AAB=CD BAD=BC CAB=BC DAC=BD8.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ）数学堂 只教简单数学A、ACBD ， ABCD，A
5、BCD B、ADBC ，AC C、AOBO CODO，ACBD D、AC CO， BODO ，ABBC9.在下列命题中，真命题是（ ）两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线互相垂直的四边形是菱形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10.在下列命题中，正确的是（ ）A 一组对边平行的四边形是平行四边形 B 有一个角是直角的四边形是矩形C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形11.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A当 AB=BC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形C当ABC=
6、90 0 时，它是矩形 D当 AC=BD 时，它是正方形12.如图，在 中，点 分别在边 ， ， 上，且 ， 下列四个判断中，ABC EDF， ， ABCDECA FB不正确的是（ ）A四边形 是平行四边形 B如果 ，那么四边形 是矩形F90C如果 平分 ，那么四边形 是菱形DD如果 且 ，那么四边形 是菱形EF13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ） 。A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形14.下列命题中，假命题是（ ） 。A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形C、既是菱形
7、又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形15.在四边形 中， O是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ） 。A、 ， C/ B、 CAD/， C、 B， BDA D、 O， ， BCA16.下列命题正确的是（ ）A对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D对角线相等的四边形是等腰梯形17.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A、当 AB=BC 时，它是菱形 B、当 ACBD 时，它是菱形C、当ABC=90时，它是矩形 D、当 AC=BD 是，它是正方形18.顺次
8、连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ）A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形DCBAAB CD数学堂 只教简单数学一矩形例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为 例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补例 3： 已知：如图， ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形二菱形例 1 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形例 2、已知如图，菱形 ABCD
9、 中，E 是 BC 上一点，AE 、BD 交于 M，若 AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。例 3（中考题）如图，在菱形 ABCD 中，A=60, B=4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为 E求线段 BE的长例 4、如图，四边形 ABCD 是菱形，DE AB 交 BA 的延长线于 E，DFBC，交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想B M A D C E DABE60数学堂 只教简单数学例 5、如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2.（1）
10、求证：BDEBCF ； （2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.三正方形例 1、 （2011 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设 AP=x, PBE 的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.AB CPDE数学堂 只教简单数学专题二：矩形的有关线段计算1.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
11、点 O，已知 ，AB=2.5，则 AC 的长为 。012AD2. 如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH3 厘米，EF4 厘米，则边 AD 的长是_厘米.3. 如图，矩形 ABCD中， 35BC， 过对角线交点 O作 EAC交 D于 E， 则 A的长是（ ）A1.6 B2.5 C3 D3.44. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为（ ）A1 B 34 C 2 D25. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，BAE30，AB
12、3，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1处，并且点 B 落在 EC1边上的 B1处则 BC 的长为（ ） A、 3 B、2 C、3 D 、 326. 黄冈 )如图矩形纸片 ABCD，AB5cm，BC 10cm， CD 上有一点 E，ED 2cm，AD 上有一点 P，PD3cm，过P 作 PFAD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与 E 点重合，折痕与 PF 交于 Q 点，则 PQ 的长是_cm.7. 把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B和点 D重合，折痕为 EF若 AB = 3 cm， BC = 5 cm，则重叠部分 DEF的面积是 cm 28. 如图 (十二
13、)，长方形 ABCD 中，E 为 中点，作 的角平分线交 于 F 点。若 6， 16，则BCAEADBAD的长度为（ ）FD题 2B F CA H DE GAGDBCAAB CFE题 11（ ）BD ABB1CDE数学堂 只教简单数学A4 B5 C6 D8 9. 如图，将长 8cm，宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与 C 重合，则折痕 EF 的长为_cm.10. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB2cm，点 E 在 BC 上，且 AECE 若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 B1 重合，则 AC cm专题三：菱形的有关线段计算1. 已知一个菱形的周长是 2
14、0cm，两条对角线的比是 43，则这个菱形的面积是（ ）A12cm 2 B 24cm2 C 48cm2 D 96cm2 2. .若一个菱形的边长为 2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ）A 16 B 8 C 4 D 13. 如图，P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上一点，PEAB 于点 E，PE4cm，则点 P 到 BC 的距离是_cm. 4. 菱形 ABCD 中，B60，AB2，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 AE、EF、AF，则AEF 的周长为（ ） A B C D 3233435. 已知菱形 的面积是 ，对角线 cm，则菱形的边长是_cm；CD21cmA6. 菱形 中， 垂
15、直平分 ，垂足为 ， 那么，菱形 的面积是 ，对角线AEE4cmBABCD的长是 B7. 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，BAD=120，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A、16 B、16 C、8 D、8338. 如图为菱形 ABCD 与ABE 的重迭情形，其中 D 在 BE 上若 AB=17，BD=16，AE=25，则 DE 的长度为何（ ）A、8 B、9 C、11 D、129. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD，若 AD=6cm，ABC=60，则四边形 ABCD 的面积等于 cm2专题四：正方形的有关线段计算1. 如图，正
16、方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A落在 MN 上，落点记为 A，折痕交 AD 于点 E,若 M、N 分别是 AD、BC 边的中点，则 AN= ; 2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，E 、 F 分别是 BC、 CD 的中点，连接 BF、 DE，则图中阴影部分的面积是FADEBCADCEB数学堂 只教简单数学cm23. 如图，将边长为 8的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则线段CN 的长是（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm4.
17、如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连结 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接BE、DF ，1=2 ， 3=4. （1）证明：ABE DAF；（2）若AGB=30，求 EF 的长.5. 如图，四边形 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 折叠，使点 落在 边上的 处，点 对应点为ABCDMNBCDBA，且 ，则 的长是 BA3MA 1.52.252.5专题五：有关特殊四边形的角度计算1. 如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP = BC，则 ACP 度数是 2. 如图， lm ，矩形 ABCD的顶点 在直线 m上，则 度
18、3. 如图，在菱形 ABCD 中， 72ADC，AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，连接 CP，则CPB_度4. 如图，在菱形 ABCD 中，A=110，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EPCD 于点 P，则FPC=（ ）A35 B45 C50 D55ANMB CA DEBCEAD FNMFEDCBA题 3ACBEF143B CDAPDABC ml65DCBAEPADE PCB F数学堂 只教简单数学5. 如图 19，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C处，折痕为 EF，若ABE20，那么EFC的度数为 度6. 如图，已知矩形纸
19、片 ABCD，点 E是 AB的中点，点 G是 BC上的一点， 60BEG，现沿直线 EG将纸片折叠，使点 落在约片上的点 H处，连接 ，则与 E相等的角的个数为（ ） A.4 B. 3 C.2 D.1四边形动点专题：专题一：证明与计算与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。1.如图 l，在四边形 A8CD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结 EF 并延长,分别与 BA、CD 的延长线交于点M、N，则BME=CNE(不需证明)(温馨提示：在图 1 中，连结 BD，取 BD 的中点 H，连结 HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得 HE=HF，从而
20、HFE=HEF，再利用平行线的性质，可证得BME=CNE)问题一：如图 2，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结 EF，分别交DC、AB 于点 M、N，判断OMN 的形状，请直接写出结论问题二：如图 3，在ABC 中，ACAB，D 点在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G， 若EFC=60 0，连结 GD，判断AGD 的形状并证明ACBDF ENMOEB CDHA FNM12图 1 图 2 图 3AB CDFGE数学堂 只教简单数学2.在图 1 至图 3
21、 中，点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形AE 的中点是M（1）如图 1，点 E 在 AC 的延长线上，点 N 与点 G 重合时，点 M 与点 C 重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图 1 中 的 CE 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 一 个 锐 角 ， 得 到 图 2， 求 证 ： FMH 是 等 腰 直 角 三 角 形 ；（3）将图 2 中 的 CE 缩 短 到 图 14-3 的 情 况 ， FMH 还是等腰直角三角形吗？ 3.已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC
22、于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？图 1AHC(M) D EBF G(N)G图 2AHCDEBF NMAHCDE图 3BF GMNFBA DCEG图FBA DCEG图DFBACE图数学堂 只教简单数学4.已知：在 Rt ABC 中，AB=BC，在 RtADE 中，AD=DE，连结 EC，取 EC 的中点 M，连结 DM 和 BM（1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，探索 BM、DM 的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图M D B A C E 图M D B A C E
