1、-1- -2-一、方阵问题学法指导 日常生活中，往往需要把人或物摆成正方形的形式，如正方形的体操队列，正方形花坛周围摆花盆，插旗子，还有正方形棋盘上摆棋子等问题，在数学上人们通常称这类问题为方阵问题。解方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，找出巧妙的解法。例 1 军训的学生进行队列表演，排成了一个 7 行 7 列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？分析与解答 右图表示的是一个 4 行 4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点： (1)正方形队列每行、每列的人数相等，因此，总人数 = 每行人数每行人数；(2)去掉横竖各一排时，有且只有 1 人是同时属于被
2、减去的一行和一列的，如图中 A 点所示。因此去掉的总人数 原每行人数21或去掉的总人数减少后每行人数21本题中所求，即去掉的人数72113（人）或去掉的人数（71）2113（人）还剩的人数（71）（71）36（人）或还剩的人数7713491336（人）答：若去掉一行一列，需去掉 13 人，还剩 36 人。例 2 光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉 27 人，问四年级原来准备多少人参加表演？分析与解答 此题刚好是例 1 的逆问题，根据正方形队列的特点，可知，原每行人数（去掉一行一列的人数1）2即：原来每行人数：（271）214（人
3、）原来准备参加表演的人数：1414196（人）答：四年级原准备 196 人参加表演。例 3 一队学生站成 20 行 20 列方阵，去掉 4 行 4 列，要减少多少人？分析与解答一 把去掉 4 行 4 列转化为一行一列的去掉，就可利用例 1 的结论：去掉一行一列的总人数原每行人数21反复利用 4 次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为：去掉 4 行 4 列的总人数-3- -4-(人)答：去掉 4 行 4 列，要减少 144 人。分析与解答二见右图，是一个 7 行 7 列的方阵，若去掉 4行 4 列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4 行 4 列的总人数原正方形方阵人数剩下的小正方
4、形方阵人数，且小正方形方阵每边人数原正方形方阵每边人数4，即去掉的总人数2020(204)(204)400256144(人)答：去掉 144 人。前三个例题涉及的都是实心方阵问题，下面我们看一些空心方阵问题。例 4 正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边装 12 盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？分析与解答一 从下左图中可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为： 124444(盏)分析与解答二 按上右图可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：(121)444(盏)答：这个舞厅四周共装彩灯 44 盏。例 5 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三
5、层的方阵，最外边一层每边 12 人，问彩车周围少先队员共有多少人？分析与解答一 右图为一个两层空心方阵的示意图，不难发现，有如下特点： (1) 外层每边点的个数都比相临内层的每边点的个数多 2；(2) 每相邻两层之间，点的总数相差 8 个最外层队员的总数：124444(人)三层共有队员的总数：44(448)(4482)443628108 (人)分析与解答二 见右图，可分成相等的四-5- -6-部分，每一部分的人数：(123)39327(人)三层共有队员数：274108(人)答：彩车周围的少先队员共有 108 人。这个题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。例 6 小明用围棋子摆了一个五层的空心
6、方阵，共用了 200 个棋子，问最外层每边有多少个棋子？分析与解答一 利用相邻两层之间，每层的总数相差 8 的特点，可知最外层共有棋子数：(2008828384)556(个)最外层每边的棋子数：564115(个)分析与解答二 见右图，把棋子分成想的相等的四部分。每一部分的棋子数：200450(个)每一部分每排的棋子数：50510(个)最外层每边的棋子数：10515(个)综合列式：20045515(个)答：最外面一层每边有棋子 15 个。练一练1.运动会入场式要求运动员排成一个 9 行 9 列的正方形方阵，如果去掉 2 行 2 列，要减少（ ）名运动员。 2.参加军训的学生进行队列表演，排成了一
7、个正方形队列，如果这个队列横竖各增加一排，还需补充 39 人，参加表演的学生有（ ） 人。3.在一块正方形的场地四周插上彩旗，四个角上都插 1 面，每边插了 32 面，这块场地四周共需插（ ） 面彩旗。4.小军用棋子摆成了一个三层空心方阵，最外面一层每边有棋子 14 个，小军摆这个方阵共用了（ ） 个 棋子。-7- -8-5.街心雕像四周用花盆摆成了一个四层的正方形花坛，共用了 576 盒花，最外层每边有（ ） 花盆。6.128 名 学 生 原 计 划 在 彩 车 周 围 排 成 一 个 每 边 2 层 的 方 阵 ， 后来 决 定 在 方 阵 外 面 再 增 加 一 层 成 为 三 层 方
8、阵 ， 需 要 增 加 （ ） 名学 生 。二、鸡兔同笼与假设学法指导1、看一看：2 元 2 元 2 元 2 元 2 元 2 元5 元 5 元 5 元2 元币和 5 元币有（ ）张，共（ ）元。如果错把 2元币全部看成 5 元币，每张币多算了（ ）元，6 元币多算了（ ）元。2、填一填：2 元币和 5 元币有 10 张，共 32 元，假设把 2 元币全部看成5 元币，一共是（ ）元，比原来多（ ）元，这是因为一张 2 元币看成 5 元币多算了 3 元， （ ）张 2 元币多算的钱数就是比原来多的钱数。3、想一想：5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 图中 5
9、元币 9 张，2 元币 0 张，5 元币比 2 元币多 45 张。5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 如果将一张 5 元币换成 2 元币，5 元币减少 5 元，2 元币增加2 元，相差 25 7 元，5 元币比 2 元币多（ ）元。5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 5 元 如果将两张 5 元币换成 2 元币，5 元币减少（ ）元， 2元币增加（ ）元，5 元币比 2 元币多（ ）元。当 5 元币比 2 元币总数多 3 元时，有（ ）张 5 元币换成了 2 元币，算式是（ ） 。例 1 停车场共停 24 辆车，其中有 4 个轮子的
10、汽车和 3 个轮子的摩托车。这些车共有 86 个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？分析与解答 假设这 24 辆车都是 3 个轮子，那么一共有32472 个轮子。比实际轮子数少了 867214 个轮子。为什么会少了 14 个轮子呢？因为我们把 4 个轮子的汽车假设成 3 个轮子来计算了。每辆汽车少算了（43）个轮子。14114 说明-9- -10-这 24 辆车中有 14 辆是汽车。有 241410 辆摩托车。（86324）（43）14（辆）241410（辆）答：汽车有 14 辆，摩托车有 10 辆。想一想：假设这 24 辆都是 4 个轮子的，那该怎样解答呢？例 2 松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采
11、 20 个，雨天每天只能采 12 个。它一连采了 112 个松籽，平均每天采 14 个。问这几天中有几天下雨？分析与解答 由 112148（天）可以知道，松鼠妈妈一共采了 8 天松籽。假设 8 天都是晴天，应该采 208160（个） 。比实际采到的多 16011248（个） 。怎么会多算出 48 个呢？因为这 8 天中有雨天，每个晴天比每个雨天多采 20128（个） 。48 里面有 6 个 8，所以有 6 天是雨天。112148（天）（208112）（2012）6（天）答：这几天中有 6 天下雨。也可以假设这 8 天都是雨天，请你用这样的假设再算一算有几天下雨？例 3 数学竞赛抢答题共 10
12、道题，规定答对一题得 15 分，答错一题倒扣 10 分（不答按答错计算） 。小敏回答了所有的问题，结果共得 100 分，问：答对和答错各几题？分析与解答 假设小敏 10 道题都答对了，应该得1510150（分） 。比实际分多算了 15010050 分。因为这10 道题中有做错的题，每做错一题，不仅不能得 15 分，而且还倒扣 10 分。也就是说，错一题就减少 151025（分） 。50252，所以，小敏答错了 2 道题，答对了 8 道题。（1510100）（15+10）2（道）1028（道）答：小敏答对 8 道题，答错 2 道题。例 4 某农民养鸡兔若干只。已知鸡比兔多 13 只，鸡的脚比兔的
13、脚多 16 只。问鸡和免各有多少只？分析与解答 假设兔子也只有 2 只脚，那么，鸡比兔多 13 只，鸡的脚就应该比兔的脚多 21326（只） 。实际上鸡的脚只比兔的脚多 16 只，怎么会多出了 261610（只）脚呢？因为兔子有 4 只脚，每只兔子少算了 2 只脚。10 里面有 5 个 2，所以有 5只兔子。有 5+1318 只鸡。（21316）（42）5（只）5+1318（只）答：鸡有 18 只，兔有 5 只。例 5 五（1）班 50 名同学为灾区人民捐款。平均每个女同学捐 8 元，每个男同学捐 5 元。已知全班女同学共比男同学多捐101 元，求这个班男、女同学各多少人？分析与解答 假设五（
14、1）班男、女生各 25 人。那么同学共捐款 825200（元） ；男同学共捐款 525125（元） 。女同学-11- -12-比男同学多捐 20012575 元，比实际少算了 1017526（元）。这说明女同学人数要比 25 人多，每减少一个男同学后增加一个女同学，女同学的捐款数就会增加 8513（元） 。26 元里有 2个 13 元，所以，要减少 2 个男生，增加 2 个女生，即男同学25223（人） ，女同学 25+227（人） 。设男、女生各 25 人。101（825525）26（元）26（8+5）2（人）25+227（人）25223（人）答：五（1）班男生有 23 人，女生有 27 人
15、。例 6 有面值分别为拾元、伍元、贰元的人民币 34 张，共值178 元。拾元的张数和伍元的张数同样多。拾元、伍元和贰元的人民币各多少张？分析与解答 这题中有 3 个未知量。假设 34 张人民币都是贰元币，共值 23468（元） 。比原来少了 17868110（元） ，为什么？是因为把拾元和伍元币当作贰元币了。把拾元币、伍元币各一张算成 2 元币，少算了 105（22）11（元）拾元币、伍元币各几张少算了 110 元？1101110（张） 。贰元的张数为 3410214（张） 。（178234）10+5-（2+2）1101110（张）3410214（张）答：拾元币 10 张；伍元币 10 张；
16、贰元币 14 张。例 7 一群公猴、母猴和小猴共 38 只，每天共摘桃 266 个。已知一只公猴每天摘桃 10 个，一只母猴每天摘桃 8 个，一只小猴每天摘桃 5 个。已知公猴比母猴少 4 只。那么这群猴子中，小猴有多少只？分析与解答 题中公猴、母猴和小猴的只数不一样，每天摘桃数也不一样，似乎无法把某两类合并。但可根据条件“公猴比母猴少 4 只” ，假设公猴和母猴一样多，共可摘桃266+104306（个） ，这样公猴与母猴的只数一样了，就可以把它们视为一类。再假设 38+442（只）猴全部是小猴，一天共摘桃 542210（个） ，与条件 306 个相比少 30621096（个） ，因为把公猴和
17、母猴都假设成小猴了。为了使猴子总数不变，须拿1 只公猴和 1 只母猴换 2 只小猴，每天摘的桃子数就少108528（个） ，所以公猴、母猴各有 96812（只） 。而实际上公猴只数比母猴少 4 只，所以公猴有 1248（只） ，小猴有 3812818（只）266+1045（38+4）（10+852）266+402108-13- -14-96812（只）38（124+12）18（只）答：小猴有 18 只。练一练1.有 10 分和 20 分的邮票共 18 张，总面值为 2.80 元。10分邮票（ ） 张 ， 20 分的邮票 （ ） 张。2.小 兔 妈 妈 采 蘑 菇 。 晴 天 每 天 可 采 1
18、6 次 ， 雨 天 每 天 只 能 采 11次 ， 它 一 共 采 了 195 次 ， 平 均 每 天 采 13 次 。 这 几 天 中 有 （ ）天 雨 天 。3.李华参加射击比赛，共打 20 发。约定每中一发记 10 分，脱靶一发则倒扣 6 分，结果得了 168 分。他一共打中了（ ）发。4.鸡兔同笼，共有 27 个头，72 只脚。笼中鸡（ ） 只 、兔（ ） 只。5.五（2）班 52 位同学参加植树。男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，已知男生比女生多种 36 棵。五（2）班有（ ） 位男生。6.大 、 中 、 小 型 卡 车 共 42 辆 ， 每 次 共 运 货 315 箱 。 已
19、 知 每 辆 大卡 车 每 次 能 运 10 箱 ， 每 辆 中 卡 车 每 次 能 运 8 箱 ， 每 辆 小 卡 车 每 次 能运 5 箱 。 又 知 中 卡 车 的 辆 数 和 小 卡 车 同 样 多 。 大 卡 车 有 （ ） 辆 。7.有 面 值 分 别 为 拾 元 、 伍 元 、 贰 元 的 人 民 币 27 张 ， 共 108 元 。拾 元 的 的 张 数 比 伍 元 的 少 7 张 ， 那 么 拾 元 （ ） 张 、 伍 元 （ ） 张 和 贰 元 （ ） 张 。-15- -16-三、盈亏问题与比较学法指导1、说一说：（1）9 人栽树，若每人栽 5 棵，一共栽（ ）棵，若每人栽
20、 7 棵，共栽（ ）棵。第二种方案的结果比第一种方案多栽（ ）棵。算式 （ ）9 ，第二种解法的道理是（ ） 。（2）有学生若干人参加植树活动，每人栽 2 棵的结果与每人栽 5 棵的结果相差 24 棵， （ ）人参加植树，算式是（ ） ，道理是（ ） 。2、想一想：（1）学校买来一批图书，按第一种方案分，结果多 14 本。按第二种方案分，结果少 4 本；第二种方案的结果比第一种方案的结果多（ ）本，如果两种方案每班分的本数相差 2 本，这个学校有（ ）个班。（2）学校买来一批图书，按第一种方案分，结果多 14 本；按第二种方案分，结果多 6 本。第二种方案的结果比第一种方案的结果多（ ）本。（
21、3）学校买来一批图书，按照第一种方案分，结果少 14 本；按第二种方案分，结果少 6 本，第一种方案的结果比第二种方案的结果多（ ）本。-17- -18-像以上通过比较，把若干个物品平均分给若干人（人数一定）的两种分配方案和分配后出现的余数，求分配的总人数和总数量的应用题叫盈亏问题。例 1 小明去买练习本，他付给营业员的钱买 4 本多 1 元，买 6 本又差 2 元。小明付给营业员多少钱？每本练习本多少元？分析与解答 首先画线段图看一看由题意可知，小明付的钱数和每本练习本的价钱是不变的。比较两种购买方案，结果相差 1+23（元） ，即第二种购买方案比第一种要多 3 元钱。为什么要多用 3 元钱
22、呢？因为第二种方案比第一种多买 642（本） ，所以用 321.5（元）就是每本练习本的价钱。再用 1.54+17（元）就是小明付给营业员的钱了。1、请写出解答计划（1） （2） 1+23（元） 642（本）（3） （4） 321.5（元） 1.54+17（元）2、综合算式（1+2）（64）1.5（元）1.54+17（元）答：小明付给营业员 7 元；每本练习本 1.5 元。例 2 六（1）班第一小队的同学去栽树，如果每人栽 8 棵则少 27 棵；如果每人栽 6 棵则少 5 棵。六（1）班第一小队有多少个同学？他们要栽多少棵树？分析与解答 我们先写出题中的已知条件和问题再进行观察：每人栽 8 棵
23、 少 27 棵每人栽 6 棵 少 5 棵从题意可知，六（1）班第一小队学生人数和树的总棵数是不变的。比较这两种不同的方案的结果可知，第一种方案要比第二方案多 27522（棵） 。为什么会多 22 棵呢？因为第一种方案比第二种方案每人多栽 862 棵。每人多栽 2 棵，多少人就多栽 22 棵呢？22211（人） 。这就是这个小队的人数。再用6115 或 81127 就可以求出一共要栽多少棵树了。（275）（86）11（人）611561（棵）答：六（1）班第一小队有 11 个同学，他们要栽 61 棵树。例 3 老师将一批铅笔奖给三好学生，每人 4 支多 10 支；每人 6 支多 2 支。问：三好学
24、生有多少人，铅笔有多少支？分析与解答 先写出已知条件和所求问题进行观察：?棵树-19- -20-每人 4 支 多 10 支每人 6 支 多 2 支由题意可知，三好生人数和铅笔的总支数是不变的。第二种分法要比第一种分法多分掉 1028 支铅笔。为什么会多分掉 8支铅笔呢？因为第二种分法比第一种分法每人多分 2 支铅笔。每人多分 2 支，824（人） ，说明有 4 个三好学生。共有44+1026（支）铅笔。（102）（64）4（人）44+1026（支）答：三好学生有 4 人，铅笔有 26 支。例 4 某校五年级学生去人民公园划船，若每条船坐 5 人，有 15 人没有座位；如果每条船坐 6 人，则多
25、 2 条船。求公园里有多少条船？五年级有学生多少人？分析与解答 每条船 5 人 多 15 人每条船 6 人 空 2 条船根据题意“每条船坐 6 人则空出 2 条船”可转化为每条船坐6 人则少 6212（人） ，这样两种方案结果就可以进行比较。第一种方案多出 15 人，第二种方案少 12 人，两个方案的结果就相差 15+1227（人） ，每条船相差 651（人） ，船的条数是27127（条） ；人数为 527+15150（人） 。（15+62）（65）27127（条）527+15150（人）答：公园里有 27 条船，五年级有 150 个学生。例 5 一些学生分练习本。其中两人每人分 6 本，其余
26、每人分 4 本，就会多 4 本；如果有一人分 10 本，其余每人分 6 本，就会少 18 本。这些学生有多少人？练习本有多少本？分析与解答 根据题意，把其中两人分 6 本，其余每人分 4本就多 4 本，转化成每人分 4 本就多 4+（64）28（本） ；再把如果 1 人分 10 本，其余每人分 6 本就少 18 本，转化成每人分 6 本，就少 18（106）14（本） 。然后再根据前面所学的方法进行计算。每人 4 本 多 8 本每人 6 本 少 14 本比较两种方案，第二种分法比第一种多分 14+822（本） ，是因为第二种分法比第一咱分法每人多分了 642（本） ，所以一共有 22211（人
27、） ，练习本有 411+852（本） 。4+（64）28（本）18（106）14（本）（14+8）（64）11（人）411+852（本）?支铅笔?条?人 ?本-21- -22-答：这些学生有 11 人，练习本有 52 本。例 6 小波从家去体育馆参加比赛，先以每分钟 50 米的速度走了 4 分钟后，发现这样走下去，就要迟到 6 分钟；后来他改变速度，每分钟走 65 米，结果提前 3 分钟到达。小波家和体育馆相距多少米？分析与解答 由每分钟走 50 米，要迟到 6 分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有 506300（米） ；由每分钟走 65米，早到 3 分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以
28、走653195（米） 。每分钟 50 米 少 300 米每分钟 65 米 多 195 米比较两种方案，每分钟相差 655015（米） ，结果相差300+195495（米） 。时间为 4951533（分） ，即准时到达体育馆还要行 33 分钟，先行了 4 分钟，一共要行 33437（分钟），小波家与体育馆相距 50（37+6）2150（米） 。50（506+653）（6550）+4+65049515+105033+102150（米）答：小波家和体育馆相距 2150 米。例 7 猴王给小猴分桃子，如果每只小猴分 8 个桃子，还剩10 个桃子；如果每只小猴分 9 个桃子，那么就有一只小猴分不足9 个
29、，但仍可以分到桃子。有多少只小猴子？分析与解答 先写出题中的已知条件和问题每只猴 8 个 多 10 个每只猴 9 个 不足 9 个“每只猴 9 个桃，有一只猴不足 9 个，但仍可以分到。 ”不足9 个可以是 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个。所以本题有多种答案。如最后一只小猴分到 1 个，即每只猴分 9 个桃，桃子总数少8 个，则小猴只数是：（10+8）（98）18（只）如最后一只小猴分到 1 个，即每只猴分 9 个桃，桃子总数少7 个，则小猴只数是：（10+7）（98）17（只）如最后一只小猴分到 1 个，即每只猴分 9 个桃，桃子总数少6 个，则小猴只数是：（
30、10+6）（98）16（只）如最后一只小猴分到 1 个，即每只猴分 9 个桃，桃子总数少1 个，则小猴只数是：（10+1）（98）11（只）答：可能有 18 只、17 只、16 只、15 只、14 只、13 只、12只或 11 只小猴。?分钟 ?米?个桃?只猴 -23- -24-练一练1.小明去买橘汁，他付给营业员的钱买 3 瓶多 1 元，买 5 瓶又差 5 元。每瓶橘汁（ ） 元。2.小红把自己的一些连环画借给她的几位同学。若每人借 5本则差 17 本；若每人借 3 本，则差 1 本。小红的同学有（ ）人，她一共有（ ） 本连环画。3.幼儿园小朋友分五角星。每人分 8 个还多 20 个；每人
31、分 9个还多 2 个。有（ ） 个小朋友，共有（ ） 个五角星。4.某校安排学生宿舍，如果每间住 12 人，就会有 34 人没有宿舍住；如果每间住 14 人，就会空出 4 间宿舍。这所学校有（ ） 间宿舍，要安排（ ） 个新生。5.大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃。每只小猴分 10 个桃子，有 2 中猴没有分到；第二次重分，每只小猴他 8 个桃子，刚巧分完。一堆桃子有（ ） 个，小猴有（ ） 只。6.小华从家到学校。她以每分钟 40 米的速度走了 2 分钟后，发现这样走下去要迟到 2 分钟；后来她改用每钟 50 米的速度前进，结果提前 2 分钟到校。小华家到学校有（ ） 米 。四、消去法学法
32、指导1、说一说：爸爸和叔叔去买水果，爸爸买了一箱苹果和一箱梨，共付25 元；叔叔买了 2 箱苹果和一箱梨，共付 40 元。一箱苹果和一箱梨各多少元？苹果（箱） 梨（箱） 总价（元）爸爸 1 1 25叔叔 2 1-25- -26-叔叔比爸爸多付（ ）元，因为叔叔比爸爸多买了（ ）箱苹果。所以，一箱苹果（ ）元，一箱梨（ ）元。2、想一想：小明买了 3 本练习本和 4 支铅笔，共用去 10 元钱；小刚买了同样的 3 本练习本和 6 支铅笔，共用去 12 元钱。一本练习本多少元？一支铅笔多少元？练习本（本） 铅笔（支） 总价（元）小明 3 4 10小刚 3 6 12小明和小刚比，小刚比小明多买了（
33、）支铅笔，多用了（ ）元钱。所以，一支铅笔（ ）元。知道了铅笔的价钱，怎样求每本练习本多少钱呢？在一些较复杂的应用题中，有的是由两个或多个量的某种关系构成的，解题时我们可以先把每组的数量用等式表示，然后进行比较，将其中的一个量先消去，这样的思考方法怠做消去法。消去法是初中学习方程的基础，其实质就是根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数等式仍然成立的道理来求未知量。怎样用消去法解应用题？1、如果同类事物的数量相同，可以直接用加、减法将数量相同的同类事物消去。2、如果同类事物的数量不相同，必须先分别用扩大几倍的方法，使其中一种同类事物的数量相同，然后消去它。例 1 学校第一次买了 3 个水瓶
34、和 20 个茶杯，共用去 134 元；第二次又买了同样的 3 个水瓶和 16 个茶杯，共用去 118 元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？分析与解答 我们用数量关系式来比较对应的未知量的情况。第一次：3 个水瓶的价钱20 个茶杯的价钱134 元第二次：3 个水瓶的价钱16 个茶杯的价钱118 元比较这两个等式可以知道：134 与 118 元的差正好是 4 个茶杯的价钱。因为我们两次买水瓶的个数相等，可以把 3 个水瓶的价钱消去，先求出茶杯的价钱，再求出水瓶的价钱。（1）每个茶杯多少钱？（134118）（2016）4（元）（2）每个水瓶多少钱？（134420）318（元）答：每个水瓶 18 元，每个
35、茶杯 4 元。想一想：在求出每个茶杯 4 元后，还可以怎样求每个水瓶多少元？例 2 3 蒌苹果和 5 蒌梨一共是 86 只；6 蒌苹果和 4 蒌梨一共是 112 只。每蒌苹果和每蒌梨各有多少只？-27- -28-分析与解答 要求出题中的两个数量，可以先列出题中的数量关系式，设法消去其中的一个未知量，然后再解答。3 蒌苹果5 蒌梨86 只6 蒌苹果4 蒌梨112 只虽然现在苹果和梨的蒌数都不同，但只要把第一个关系式的每一项都乘以 2，就可以得到 6 蒌苹果10 蒌梨172 只，再和第二个关系式比，就可以得 6 蒌梨共 60 个，从而算出 1 蒌梨的个数和 1 蒌苹果的个数。（1）6 蒌苹果和 1
36、0 蒌梨一共多少只？862172（只）（2）一蒌梨多少只？（172112）（104）10（只）（3）一蒌苹果多少只？（86105）312（只）答：每蒌苹果 12 只，每蒌梨 10 只。例 3 买一本故事书和一本科技书要用 20 元；买同样的 3 本故事书和 4 本科技书要用 72 元。一本故事书多少元？一本科技书多少元？分析与解答 我们用数量关系式来比较对应的未知数量的情况。1 本故事书的价钱1 本科技书的价钱20 元3 本故事书的价钱4 本科技书的价钱72 元把第一个关系式乘以 3 就可以知道：买 3 本故事书和 3 本科技书要用 20360 元。再把这个结论和第二个关系式相减，就得到一本科
37、技书的价钱是 726012（元） ，从而得出一本故事书的价钱是 20128（元） 。（1）3 本故事书和 3 本科技书多少元？20360（元）（2）1 本科技书多少元？726012（元）（3）1 本故事书多少元？20128（元）答：一本故事书 8 元，一本科技书 12 元。例 4 买 9 张桌子和 3 把椅子共要 780 元，5 张桌子的价钱比3 把椅子的价钱多 340 元。每张桌子多少元？每把椅子多少元？分析与解答 和前面的题目一样，首先把题中的数量关系式写出来，并设法消去其中的一个未知量，然后进行解答。9 张桌子的价钱3 把椅子的价钱780 元5 张桌子的价钱3 把椅子的价钱340 元通过
38、观察可以发现：只要把两个关系式对应着合并起来（即相加起来） ，就能得到（95）张桌子的价钱正好是（780340）元。从而算出一张桌子多少元和一把椅子多少元。（1）每张桌子多少元？（780340）（95）80（元）-29- -30-（2）每把椅子多少元？（780809）320（元）答：每张桌子 80 元，每把椅子 20 元。例 5 买 1 千克水果糖、2 千克奶糖和 3 千克巧克力共要 76元；买这样的 2 千克水果糖、4 千克奶糖和 5 千克巧克力共要 136元。且奶糖的单价是水果糖的 1.25 倍。求水果糖、奶糖和巧克力的单价。分析与解答 首先列出题中已知的数量关系式：1 千克水果糖2 千克
39、奶糖3 千克巧克力76 元2 千克水果糖4 千克奶糖5 千克巧克力136 元通过观察可以发现：把第一关系式乘以 2，就得到 2 千克水果糖4 千克奶糖6 千克巧克力152 元，再把这个数量关系式和第二个关系式相减，就可以知道 1 千克巧克力的价钱了。知道了巧克力的单价后，在第一个关系式中，从 76 元去掉 3 千克巧克力的钱就是 1 千克水果糖和 2 千克奶糖的价钱，根据“奶糖的单价是水果糖的 1.25 倍”这个条件，就可以分别算出水果糖和奶糖的单价。（1）1 千克巧克力多少元？（762136）（325）16（元）（2）1 千克水果糖2 千克奶糖一共多少元？7616328（元）（3）1 千克水
40、果糖多少元？28（1+21.25）8（元）（4）1 千克奶糖多少元？（288）210（元）答：1 千克水果糖 8 元，1 千克奶糖 10 元，1 千克巧克力 16元。例 6 运一批砖，用 2 辆汽车和 3 台拖拉机装运，32 次可以运完；如果用 5 辆汽车和 2 台拖拉机装运，16 次可以运完。现在用 11 辆汽车装运，几次可以运完？分析与解答 “2 辆汽车和 3 台拖拉机 32 次运完”可以理解为“23264 辆和 33296 台拖拉机 1 次运完” ；“5 辆汽车和 2 台拖拉机 16 次运完”可以理解为“51680 辆汽车和21632 台拖拉机 1 次运完” 。这样可以列出下面的数量关系
41、式：64 辆汽车运的96 台拖拉机运的这批砖的总数80 辆汽车运的32 台拖拉机运的这批砖的总数通过观察可以发现，把第二个关系式乘以 3 就得到：240 辆汽车运的96 台拖拉机运的这批砖的总数3再把这个结论和第一个关系式相减得到：176 辆汽车运的这批砖的总数2则：这批砖的总数88 辆汽车运的。即这批砖 88 辆汽车可以 1 次运完。现在有 11 辆汽车，只需运 88118（次）-31- -32-（1）这批砖多少辆汽车可以 1 次运完？（5163232）（131）（24064）2176288（辆）（2）11 辆汽车几次可以运完？ 88118（次）练一练1.哥 哥 买 4 本 练 习 本 和
42、3 支 铅 笔 ， 共 用 9 角 钱 ； 姐 姐 买 了 同 样的 4 本 练 习 本 和 1 支 铅 笔 ， 共 用 了 7 角 钱 。 每 本 练 习 本 （ ） 角 ，每 支 铅 笔 （ ） 角 。2.光明小学买 2 张桌子和 5 把椅子共付 110 元；育才小学买同样的 6 张桌子和 6 把椅子共付 240 元。每张桌子（ ） 元 ，每把椅子（ ） 元。3.体育老师去买球，若买 1 个篮球和 1 个足球就付 118 元；若买 3 个篮球和 5 个足球就要付 480 元。每只篮球（ ） 元 ，每只足球（ ） 元 。4.买 3 千 克 茶 叶 和 5 千 克 糖 一 共 用 去 420
43、元 ， 买 同 样 的 2 千 克茶 叶 比 5 千 克 糖 贵 130 元 。 每 千 克 茶 叶 （ ） 元 ， 每 千 克 糖 （ ） 元 。5.1 箱橘子、2 箱苹果和 3 箱梨共重 100 千克；2 箱橘子、4箱苹果和 1 箱梨共重 100 千克。每箱梨（ ） 千克。6.运一堆煤，2 辆大卡车和 3 辆小卡车运，16 次可以运完；如果用 5 辆大卡车和 2 辆小卡车运 8 次可以运完。现在用 4 辆大卡车运， （ ） 次可以运完。-33- -34-五、简单列举学法指导有些题目，因其所求问题的答案有多种，用算式不容易表示，需用采用一一列举的方法解决。这种根据题目的要求，通过一一列举各种
44、情况，最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。用列举法解题时需要掌握以下三点：1、列举时应注意有条理的列举，不能杂乱无章的罗列。2、根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏。3、排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。例 1 营业员有 1 个伍分币，4 个贰分币，8 个壹分币。他要找给顾客 9 分钱，有几种找法？伍分币 贰分币 壹分币1 0 41 1 21 2 00 1 7伍分币 贰分币 壹分币0 2 50 3 30 4 1分析与解答 如果不按一定的顺序思考，就可能会遗漏或重复，因此，我们在列举时，按照从大到小、从小到多的顺序，先排伍分币，再排贰分币，最后排壹分币。列举时可把组成 9 分钱的各种情况用表格列举出来。-35- -36-这样可从上面表中得到找出 9 分钱的 7 种方法。例 2 小明从家到学校两条路可走，从学校到少年宫有四条路可走，小明从家经过学校到少年宫共有几种走法？分析与解
