1、 1第一课时 等量代换第一站：倒酒例 1：群宴时，曹丞相让曹冲给大家倒酒。于是，曹冲就把 720 毫升酒倒入 6 个小杯和 1 个大杯，正好倒满。大杯的容量是小杯的 3 倍，小杯和大杯各可以装多少毫升酒？思路点拨：一个大杯的容量可以换成 3 个小杯， “把 720 毫升酒倒入 6 个小杯和 1 个大杯” ，就可以替换成“把 720 毫升酒倒入（ ）个小杯” 。尝试解答：第二站：奖赏例 2：曹操为了把宴会搞得更加隆重，他对每个大臣都进行了赏赐。他给每个文官奖励 4 只羊，每个武官奖励2 头猪。如果 6 只同样的小猪和 18 只同样的小羊总共价值 648 文钱，且 2 只小猪和三只小羊的价钱相等。
2、问：每只小猪和每只小羊各是多少文钱？思路点拨：已知 2 只小猪和 3 只小羊的价钱相等，如果把小猪替换成小羊，那么 6 只小猪的价钱= 只小羊的价钱。尝试解答：第三站：取剑例 3：宴会结束后，曹操把曹冲带到一个藏宝室。曹操对曹冲说：“这里有很多宝剑和宝刀，你可以任选一样，但得回答我的一个问题。 ”曹冲说：“没问题！”曹操说：“3 把同样的宝刀和 20 把同样的宝剑，一共价值 134 两银子；同样的 3 把宝刀和 16 把宝剑，一共价值 118 两银子。宝刀和宝剑的单价各是多少两银子?”思路点拨：把两组条件进行比较，可以发现，第一组比第二组多 两银子，是因为第一组比第二组多了 把宝剑的价钱。尝试
3、解答：2大胆闯关1、曹冲把 40 个同样质量的苹果和 5 个同样质量的西瓜一起称了一下，一共重 12 千克，并且每个西瓜的质量是每个苹果质量的 8 倍。问每个苹果和每个西瓜各重多少克？2、一个大臣先取出 5 个同样质量的橙子和 6 个同样质量的梨子，一共重 3120 克；又取出 5 个同样质量的橙子和 9 个同样质量的梨子，一共重 4080 克。你知道每个橙子和每个梨子的质量分别是多少克吗？3、曹冲用大小两种车运石头，大车运了 9 次，小车运了 10 次，一共运了 132 吨，大车 3 次运的石头等于小车 4 次运的石头。大、小车的载重量各是多少吨？34、小强在 3 个同样的大盒和 5 个同样
4、的小盒里装满乒乓球，正好是 98 个。每个大盒比小盒多装6 个，每个大盒和小盒各装多少个？5、同学们去公园划船，如果租 6 条大船和 4 条小船可坐 52 人，如果租 4 条大船和 4 条小船则可坐 40 人，那么每条大船坐多少人？4第二课时 和差问题第一站：多少人参加例 1：生日这天，兰兰的好朋友都来向她祝贺生日。参加她的生日宴会的男同学和女同学一共 35人，女同学比男同学多 5 人，男同学和女同学各是多少人？提示：根据题意，可以画出线段图，假设男生人数与女生人数一样多。？人男生 5 人 35 人女生？人解答：5第二站：准备多少钱例 2：兰兰的同学准备了 5 元、10 元、20 元的纸币共
5、50 张，给兰兰买些礼物。5 元纸币张数比10 元少 6 张，20 元的张数比 10 元多 5 张，5 元、10 元、20 元纸币各有多少张？提示：本题中有 3 个未知数量，需要我们找其中一个数量作为标准数。先画出示意图来理解。解答：第三站：买多少水果例 3：兰兰父母为同学们准备了两筐水果，已知甲乙两筐水果共重 32 千克，从甲筐取出 3 千克水果放到乙筐去，结果甲筐的水果还比乙筐多 2 千克，原来甲乙两筐各有水果多少千克？第四站：买了多少菜例 4：兰兰的妈妈今天买了很多菜，准备为同学们做一顿丰盛的午餐，其中青菜和萝卜共重 2800克，青菜和番茄共重 1200 克，萝卜和番茄共重 3200 克
6、。问萝卜、青菜、番茄各买了多少千克？提示：每两种菜的质量和已经知道了，怎么求出它们的差呢？解答：6大胆闯关：1、同学们分成两组进行夹弹珠比赛，已知第一组和第二组在 1 分钟内共夹 156 颗弹珠，第一组比第二组少夹了 6 颗弹珠，两个小组分别夹了多少颗弹珠？2、同学们送了兰兰最喜欢看的书樱桃小丸子分上、中、下三册，全书共 208 元，上册比中册贵 15 元，下册比中册便宜 8 元，上、中、下册各是多少元？3、第一组和第二组共有 64 颗糖果，如果第一组给第二组 8 颗糖，那么第一组比第二组少 2 颗糖，两组原来各有多少颗糖？4、兰兰心中想了两个幸运数。如果两个数的和与这两个数差的积是 77，这
7、两个数可能是多少？75、兰兰和她的好朋友小聪、小林、大志四人的年龄和为 77 岁，最小的小林今年 10 岁，最大的与最小的年龄之和比另外两个人年龄和大 7 岁，最大的大志今年多少岁？第三课时 和倍问题例 1：我们一行 96 人，分别乘坐大小两辆客车。已知安排在大客车上的同学人数是小客车上人数的 3 倍，大小两辆客车分别安排了多少人？提示：1 倍8小客车 3 倍96 人女生从线段图中可知，把 看作一份数，那么 就有 份数。解答：例 2：一个农场原有水田 325 公顷，旱田 155 公顷。现在计划把一部分旱田改成水田，使全场水田的公顷数相当于旱田的 3 倍。问：应该把多少公顷旱田改成水田？提示：改
8、成水田，农场的总公顷数就是旱田剩下公顷数的 倍。这时水田和旱田的总面积有没有变化？解答：例 3： 植树节实验小学四、五年级学生参加植树活动。五年级学生植树的棵数比四年级学生植树棵数的 3 倍多 10 棵，两个年级学生共植树 410 棵，这两个年级学生各植树多少棵？提示：五年级学生植树棵数比四年级学生植树棵数的 3 倍多 10 棵，不是整倍数，我们应该先变成整倍数，即去掉多出的 10 棵。解答：9小结：关键是要找到和所对应的倍数和。总数（倍数和）=较小数（1 倍数） 总数较小数=较大数（几倍数）大胆闯关：1、一块长方形的草地周长是 32 米，已知长是宽的 3 倍。这块长方形草地的面积是多少平方米
9、？2、书架上总共有书 864 本，其中第二层的书是第一层的 5 倍，那么两层书架各有多少本书？3、学校买来三中球，一共 90 个，其中篮球是足球的 2 倍，排球是足球的 3 倍。这三种球各买了多少个？4、师傅和徒弟共生产了 200 个零件，师傅生产的零件个数比徒弟生产的 3 倍少 16 个，师傅和徒弟各生产了多少个零件？105、两箱茶叶共重 88 千克，如果从甲箱取出 15 千克茶叶放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的 3倍，两箱原来各有茶叶多少千克？6、一天，小红的爸爸拿了 14 粒糖果和大、中、小三只盘子，要求小红把这 14 粒糖果放在这三只盘子里，使大盘子里的糖果是中盘子的 2 倍，中盘子
10、里的糖果是小盘子里的 2 倍。那么每个盘子各放多少粒糖果？课后作业：1、甲、乙两个车间共有职工 795 人，甲车间的人数是乙车间的 4 倍，两个车间各有职工多少人？2、一块长方形木板，长是宽的 2 倍，周长是 84 厘米。这个长方形木板的面积是多少平方厘米？113、有大小两个数，其中大数的个位是 0，如果将这个 0 去掉，就和小数相等。如果大小两个数的和是 792，那么这两个数分别是多少？第四课时 差倍问题【专题导引】解答差倍应用题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般情况下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中
11、有关数量转化为标准量之间倍数关系对应的数量。解答差倍应用题的基本数量关系是：差（倍数1）=小数小数倍数=大数 或 小数+差=大数【典型例题】【例 1】学校去年有 12 人参加体育兴趣小组，今年是去年的 2 倍少 3 人，今年体育兴趣小组有多少人？【试一试】1、小红有 15 颗星，亮亮的颗数是小红的 3 倍还少 4 颗，亮亮有多少颗星？122、有甲、乙两个数，甲是 32，乙是甲的 3 倍还多 4，乙是多少？【例 2】暑假里，兄弟两人去池塘钓鱼，哥哥比弟弟多钓 20 条，哥哥钓的条数是弟弟的 3 倍，哥哥与弟弟各钓了多少条鱼？【试一试】1、哥哥与弟弟做题比赛，哥哥做的数学题比弟弟多 18 道，哥哥
12、做的题是弟弟的 4 倍。两人各做了多少道数学题？2、甲、乙两人出钱买礼物，甲比乙多出 90 元，甲出的钱是乙的 10 倍。甲、乙各出了多少钱？13【例 3】有大小两个书架，大书架上书的本数是小书架上的 4 倍，如果从大书架上取出 150 本放到小书架上，这时，两书架上的书的本数相等。大小书架原来各有多少本？【试一试】1、甲桶酒是乙桶的 5 倍，如从甲桶中取出 20 千克倒入乙桶，那么两桶酒重量相等。两桶酒原来各多少千克？2、小明的铅笔支数是小华的 3 倍，如果小明给小华 6 支后两人就同样多。两人原来各有多少支铅笔？【例 4】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多 3900 千克，面粉的千
13、克数比大米的 2 倍还多 100 千克，问仓库有大米和面粉各多少千克？【试一试】141、三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的人数的 3 倍多 2 人。已知做游戏的比打球的多 38 人，打球和做游戏的各有多少人？2、学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多 41 人，今年的人数比去年的 3 倍少 35 人，今年有多少人参加？【例 5】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球 7 只，排球比篮球多 11 只，足球的只数是篮球的 3 倍，足球、排球、篮球各买了多少只？【试一试】1、玩具厂二月份比一月份多生产玩具 2000 个。三月份比二月份多生产 3000 个，三月份生产的玩具个数是一
14、月份的 2 倍，每个月各生产多少个？2、某农具厂第三季度比第二季度多生产 2800 套轴承，第一季度比第二季度少生产 1200 套。第三15季度生产的是第一季度的 3 倍。求每季度各生产多少？课 外 作 业家长签名： 1、小娟捐给希望工程 50 元钱，小明看见了说：“我捐的钱是你的 2 倍少 27 元钱。 ”小明捐了多少钱？2、已知两个数整除得到的商是 4，这两个数的差是 39。那么它们分别是多少？3、老猫和小猫去钓鱼，老猫钓的是小猫的 3 倍。如果老猫给小猫 3 条后，小猫比老猫还少 2 条。两只猫各钓多少条鱼？4、果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多 1600 棵，苹果树的棵数比
15、桃树的 3 倍多100 棵。苹果树和桃树各种了多少棵？165、三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折 12 架，小强比小亮少折 8 架，小晶折的是小强的 3倍，求三个人各折纸飞机多少架？第五课时 盈亏问题 日常生活中，我们常常要分配东西。已知两种分配方案：按一种方法分配，东西有余（称作“盈” ） ；而按另一种方法分配，东西不足（称作“亏” ） ，求参加分配的人数和被分配的总量。这样的应用题称为盈亏问题。解盈亏问题的关键在于确定两次分配数的差与盈亏的总额（盈数+亏数） 。解答盈亏问题的基本数量关系是：（盈+亏） 两次分配量的差= 参加分配的份数（人数） 。（大盈-小盈）两次分配量的差=参加分配的份
16、数（人数） 。（大亏-小亏）两次分配量的差=参加分配的份数（人数） 。例 1：班主任带我们去坐旋风车，连班主任在内，如果每车坐 12 人，则多出 12 人；如果每车坐20 人，则空出一辆车没人坐。你知道公园里有多少旋风车吗？我们一共去了多少同学？提示：比较两次分的结果，第一次多出 12 人，第二次空出一辆车没人坐（也就是少 人） ，这是因为第二次比第一次每辆车上多坐了 人。解答：17例 2：玩过了旋风车，班主任给同学们分发了苹果，如果每人分 3 个，则少 61 个苹果；如果每人分 2 个，则少 1 个苹果。想一想，班主任一共准备了多少个苹果？提示：同学人数和苹果总数是不变的，每人少分 1 个苹
17、果，就少要 个苹果，所以一共有 个同学。解答：例 3：分完苹果，来到了民俗街，正好有促销活动。我们第一小组的同学打算每人买一个奥运福娃。如果都买大号的，则一共还剩 20 元钱；如果都买小号的，则共剩 120 元钱。你知道我们第一小组一共带了多少钱去民俗街吗？提示：买小号的比买大号的多剩（ ）元，因为每个小号福娃比每个大号福娃便宜（ ）元。解答：大胆闯关：1、下午在民俗街玩具店，第二组同学也买了一些玩具。若每人分 5 个，还多两个；若每人分 7 个，则少 8 个；如果每个玩具的平均价格为 5 元，第二组同学在玩具店一共用去多少元？商品名称 促销价大号福娃 30 元/只小号福娃 20 元/只182
18、、回到住宿的旅馆，他们发现了一棵古树，旅馆的工作人员告诉他们，用一根绳子绕树三圈，余8 米，如果绕树五圈，则绳子余下 2 米。你知道树周长是几米吗？绳子有多长？3、晚饭后，班主任给第三小组的同学分发写日记的稿纸。如果每人分 5 张，则缺 32 张；如果每人分 3 张，则缺 2 张。第三小组有多少名同学？班主任一共准备了多少张稿纸？4、孙悟空采到一堆桃子，平均分给花果山的小猴子吃。每只小猴子分 9 个，有 4 只小猴子没有分到；第二次重分，每只小猴分 7 个，刚好分完。问：孙悟空采到多少个桃子？小猴子有多少只？5、育才小学安排学生住宿，如果每间 12 人，则有 34 人没有床位；如果每间 14
19、人，则多出 4 间宿舍。问：宿舍几间？学生几人？6、学校组织乘汽车外出春游，如果每车坐 45 人，则有 10 人乘不上车。如果每车多坐 5 人，恰好多余了一辆车。问：一共有几辆车？有多少学生？19课后作业：1、小朋友分糖果，每人 10 颗少 9 颗，每人 8 颗多 7 颗。问：有多少个小朋友和多少颗糖果？2、长缨小学在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分 18 棵，就会余下 12 棵；如果每班分 20 棵，则少 12 棵。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？3、四（2）班同学去兴庆公园租船游玩，如果每条船坐 6 人，则空出 1 人的位置；如果每条船坐7 人，则空出 8 人的位置。问有
20、学生多少人？共租了多少条船？4、同学们来到香港迪士尼乐园游玩，首先在美国小镇大街乘坐古董车，开始怀旧之旅。如果每车坐 6 人，则多出 6 人；如果每车坐 8 人，则少 2 人。一共多少辆古董车？共有多少名同学？205、同学们来到探险世界，由勇敢的船长带领大家去体验原始森林中的河流之旅。如果每条船坐10 人，则多出 8 人；如果每条船改坐 12 人，则有 4 人没有座位。一共有多少名同学来到探险世界？6、到了午饭时间，老师给同学们分饼干，如果每人分 6 块，还有 1 人分 9 块就正好分完；如果其中两人各分 5 块，其余每人分 7 块饼干，也恰好分完所有饼干。你知道有多少块饼干吗？21第六课时
21、等差数列像 1,2,3,4,10 这样一组数，每相邻的两个数之间的差是固定不变的，我们就叫它是等差数列。如：2,4,6,85,10,15,20等差数列的相关概念：公差：等差数列的后一项与前一项的差，叫做这个等差数列的公差。项：数列中的每一个数都是数列的项。项数：数列的所有项的个数叫做这个数列的项数。首项：数列的第一项称为首项。22末项：数列的最后一项称为末项。例 1：少先队员们兴致勃勃地观看解放军叔叔的刻苦训练，不时地为他们精湛的军事技术喝彩。训练队伍是这样的：第一排 1 人，第二排 3 人，第三排 5 人一共站了 15 排，你知道最后一排有多少名解放军叔叔？提示：观察 1、3、5发现后一个数
22、都比前一个数多 ，那么第 15 个数比第一个数多 个2。解答：本题是等差数列中的求 类问题，解决这类问题用的公式：末项=（ ）+公差（项数- ）例 2：同学们观看完解放军叔叔的表演后，又来到了会议厅。会议厅里座无虚席，联欢活动就要开始了。张玲同学数了一下，第一排有 20 个座位，每往后一排都比前一排多 2 个座位，最后一排有 58 个座位。你们知道有多少排座位吗？提示：第二排比第一排多 2，第三排比第一排多 个 2，第四排比第一排多 个 2最后一排比第一排多了 个 2，也就是第 排。说明一共有 排。解答：本题是等差数列中的求 类问题，解决这类问题用的公式：项数=（ - ）（ ）+（ ）例 3：
23、活动要结束了，在告别仪式上，张指导员代表驻地部队送给我们一套书。他拿出一本钢铁是怎样炼成的 ，问我们，如果他第一天看了 20 页，以后每一天比前一天多看 5 页，最后一天看了 60 页。这本书一共有多少页？23提示：每天读的页数依次是：20、25、30、3560，这是一个等差数列，求这个等差数列的和，先要知道项数，即一共看了几天，然后再求一共有多少页？解答：本题是等差数列中的求 类问题，解决这类问题用的公式：和=（首项+ ）项数2大胆闯关：1、求下列等差数列的和（1）6，11，16，76 （2）9，18，27，36，108（3）11，20，29，38，452 （4）101，98，95，17，1
24、4，112、有 20 个小朋友参加聚会，如果见面时每个人都和其他人握手一次，那么一共握手多少次？3、某剧院第一排有 20 个座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有 72 个座位，这个剧院共有多少个座位？4、有一数列 5，9，13，17，求 117 在这数列中的第几项，第 20 项是多少？245、有一数列 3,8,13,18，求 98 在这数列中是第几项，第 30 项是多少？6、在北京与上海之间往返的火车，除起点和终点站外，还要停靠 8 个火车站。问：一共要准备多少种火车票？课后作业：1、求 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 的和。2、求 93+97+101+105+109+
25、113+117+121 的和。3、小茜和爸爸进行体能训练。她和爸爸从第一周起每天跑步 500 米，第二周每天跑步 650 米，第三周每天跑步 800 米，照这样的进展，到第 11 周她每天跑多少米？254、晚上 18 名同学相约每两人之间互通一次电话，他们一共通了多少次电话？5、一辆列车从南京开往北京一共要经过 24 个站（不包括南京和北京两个站） ，那么铁路部门共需要为往返于南京和北京的这辆列车准备多少种不同的车票？6、数列 5,8,11,296,299 中，299 是第几项？7、一本书的页码从 162 共有 62 页，小强把这本书所有页码数累加起来的时候，发现这本书有一张被撕掉了，他把其它
26、页码加起来的和是 1858。问被撕掉的这张纸上的页码是多少？26第七课时 周期问题例 1：国庆节，在人民广场的一边挂了 200 个灯笼，这些灯笼是按 3 个红的，2 个绿的，1 个黄的27顺序轮流排列的。问：第 200 个是什么颜色的灯笼？这 200 个灯笼中红色的有多少个？提示：题中以 个灯笼为一个周期。200 个灯笼里有 个周期还余 个，余下的灯笼是什么颜色？解答：例 2：小 学 生 小 学 生 小 学 生 小 学 我 们 爱 科 学 我 们 爱 科 学 我 上表中，将每列上下两个字组成一组。例如，第一组（小，我） ，第二组（学，们）。那么，第 128 组是什么字？提示：这题上下两行的变化
27、规律不统一，也就是周期里的字数不同，要分别找出两行中第 128 个字。解答：例 3：有一列数：2,5,1,3,2,5,1,3，第 129 个数是多少？这 129 个数相加的和是多少？解答：巩固练习：1、我国农历有鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表年号。例如，第一年是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎年。如果公元 1 年是鸡年，那么公元2016 年是什么年？282、有一列数字，按 945367294536729453672排列。那么前 50 个数字之和是多少？3、2015 年 11 月 1 日是星期日，问 2016 年 1 月 1 日是星期几？4、2011
28、 年的元旦是星期六。你能算一算 2012 年元旦是星期几吗？5、有一个 100 位的数，各位数字都是 8，这个数除以 6 后余数是几？6、有一列数：4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7,1，第 57 个数是多少？这 57 个数相加的和是多少？297、红红把积存袭来的硬币按先四个 1 元，再三个 5 角，最后两个 1 角这样的顺序一直往下排。她排到第 100 个是什么硬币？这 100 个硬币合起来是多少元钱？8、河岸上种了 100 棵果树，第 1 棵是桃树，接着是 2 棵苹果树，苹果树的后面是 3 棵梨树。接下去一直按照 1 棵桃树，2 棵苹果树，3 棵梨树这样的排列方式种下去。问第 100 棵是什么树？三种树各有多少棵？30第八课时 策略问题例 1：王大叔:24 根 1 米长的栅栏围成一个长方形羊圈，怎样围面积最大？由题意可知长方形的周长是 24 米，那么长与宽的和是 米，再把长和宽分别是多少米一一列举出来，通过列表进行分析。长宽面积变式练习：将 1、2、3、4、5、0 这 6 个数字填入下面的算式中，使乘积最大。
