1、抽样分布定理的证明及推广李泽州、骆非凡（七院三旅三营）摘要：论文主要介绍了抽样分布的四个定理，以及对它们的证明过程。同时，抽样分布定理不是局限的，有许多定理的推广，在这里也进行了一一的列举并进行了证明。关键词：正态总体的样本均值；样本方差；正态分布； 分布； 分布； 分布2xFt1抽样分布定理一定理一 设 是来自正态总体 的的样本， 是样本均值，则有1,2.nX2(,)NuX,Xn证明 ，同时，若 ， ，且他们相互独立，则1nii2(,)iiu1,.i他们的线性组合仍然服从正态分布，即 是不完全为1212.(,.)nnCXC0 的常数。 。所以1211.(,)nnniiCXXNu2(,2抽样分
2、布定理二的证明和推广定理二 设 是来自正态总体的 的样本，对于正态总体1,2.nX2(,)Nu的样本均值 和样本方差 ，则有：2(,)Nu2S1. ；22(1)nSxn2. 与 相互独立.X证明 令 ， ，由定理二假设知， 相互独立，且都iiuZ1,2.n12,.iZ服从 分布。(0,1)N22 22 2 211 1()()()()()nn nkk kXuXuSnn 附： 分布定义。设 是来自正态总体 的样本，则2x1,2.nX(0,1)N，自由度为 的 分布，记为 。2212.nX2x2xn其可加性为： 。1212()x推广 可推广到多个同方差正态总体的情形。例如，对于两个同方差正态总体的情
3、形。设 是定理二中的正态总体 和 的样本均值和样本方差。只21,XYS21(,)Nu2(,)要引人正交矩阵 ，其中 为 阶矩阵，其第一行元素都是 ，120ATiin1(,2)in与上面同样的做法，考查各分量的独立性，就可证得 相互独立。21,XYS对于 个同方差的正态总体情形，设 分别是总体m()i的样本均值和样本方差，且各样本相互独立，则2(,)1,.iNu相互独立。2212.,mmXS三抽样分布定理三定理三 设 是来自正态总体的 的样本，对于正态总体的样本均值1,2.nX2(,)Nu和样本方差 ，则有：XS(1)utn证明 由定理一和定理二得 ， 且两者独立。由(0,1)XuNn2)(1)
4、nSxn分布定义得， 。化简左边式子，即得上式。t 2(1)()uStn附： 分布定义。设 ， ，且 相互独立，则称随机变量t0,XN2Yxn,XY服从自由度为 的 分布，记为tYnnt()t四抽样分布定理四的证明和推广定理四 设 与 分别是来自正态总体分布 和112,.nX2,.nY21(,)Nu的样本，且这两个样本相互独立。设 ， 分别是两个2(,)Nu 1niiX21niY样本的样本均值； 和 分别是这两个样本1221()niiS221()niiS的 样本方差，则有：1. ；2112(,)Fn2.当 时， ，其中 ，22112()wXYuSn2221()(1)wnS。2wS证明 (1)由
5、定理二得 ， 由假设 ，211()()Sxn22()(1)Sxn相互独立，则由 分布的定义知： ，2SF221 12(,)()()F即2112(,)n（2）易知 ，即有 。21(,)XYNun12()()(0,1)XYuUNn又由题大的条件知 ， ，且他们相互独立，211()()Sx22()()nSx故由 分布的可加性知， 。又因为 相互2x221 12()nVn,UV独立，从而由 分布的定义知 。t 121212)()()XYuUtn附： 分布定义。设 ，且 ， 相互独立，则称随机变量F221(),()xnVV服从自由度为 的 分布，记为 。12UnV12,F12(,)Fn推广 不仅对两个正
6、态总体有这样的定理，对多个正态总体也具有这样的定理。四、小结 ：四个抽样分布定理和三个统计分布在统计学习中具有很重要的意义。掌握了三种分布和四个抽样分布定理，有助于我们解决相关问题。通过对四个抽样分布定理的证明和推广，使得我们对抽样分布有了更深的理解，对后几章内容的学习很有帮助。五、参考文献：1盛骤、谢式千、潘承毅.浙江大学第四版概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社.2胡京爽.大学教材全解概率论与数理统计M.青岛：中国海洋大学出版社.六、学习体会：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，经过这学期教员的辛勤讲解使得我们对概率论以及数理统计有了一个崭新而又深刻的认识，以及不断的理解加深有关知识的理解内化为实际生活所用。虽然我们作为指挥院系专业学员将来对这门课程的实际应用的机会可能不会很多，但是通过教员的悉心讲解我们更多地是掌握了一种先进的数学思维方式，学习思维方式，这一点无疑对日后大多数走向指挥管基层岗位的我们，有着非常积极的现实意义。
