1、1小升初奥数专题讲座（共二十四讲）第一讲 行程问题 .- 1 -1.1 追及与相遇 .- 1 -1.2 环形路上的行程问题 .- 7 -1.3 稍复杂的问题 .- 12 -1.4 流水行程 - 17 -第二讲 和、差与倍数的应用题 .- 19 -2.1 和差问题 .- 19 -2.2 倍数问题 .- 22 -2.3 盈不足问题 .- 26 -第三讲 数论的方法技巧之一 .- 30 -3.1 利用整数的各种表示法 .- 31 -3.2 枚举法 .- 33 -3.3 归纳法 .- 35 -第四讲 数论的方法技巧之二 .- 38 -4.1 反证法 .- 38 -4.2 构造法 .- 39 -4.3
2、配对法 .- 40 -4.4 估计法 .- 42 -第五讲 整数问题之一 .- 44 -5.1 整除 .- 44 -5.2 分解质因数 .- 49 -5.3 余数 .- 54 -第六讲 图形面积 .- 61 -6.1 三角形的面积 .- 61 -6.2 有关正方形的问题 .- 65 -6.3 其他的面积 .- 69 -6.4 几种常见模型 .- 72 -第七讲 工程问题 .- 75 -7.1 两个人的问题 .- 76 -7.2 多人的工程问题 .- 80 -7.3 水管问题 .- 84 -第八讲 比和比例关系 .- 90 -8.1 比和比的分配 .- 90 -8.2 比的变化 .- 96 -8
3、.3 比例的其他问题 .- 100 -第九讲 经济问题 .- 107 -第十讲 溶液 问题 .- 112 -第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算 .- 117 -11.1 四种常见几何体的平面展开图 .- 117 -11.2 四种常见几何体表面积与体积公式 .- 118 -11.3 例题选讲 .- 119 -2第十二讲 循环小数化分数 .- 126 -12.1 纯循环小数化分数 .- 126 -12.2 混循环小数化分数 .- 127 -12.3 循环小数的四则运算 .- 128 -第十三讲 估计与估算 .- 130 -第十四讲 列方程解应用题 .- 137 -14.1 列简易方程解应用题
4、 .- 137 -14.2 引入参数列方程解应用题 .- 141 -14.3 列不定方程解应用题 .- 143 -第十五讲 巧算技巧 .- 146 -第十六讲 鸡兔同笼与假设法 .- 148 -第十七讲 牛吃 草问题 .- 152 -第十八讲 年龄问题 .- 161 -第十九讲 剩余、余数 定理 .- 166 -第二十讲 周期问题 .- 171 -第二十讲 还原问题 .- 189 -第二十一讲 盈亏问题 .- 194 -第二十二讲 抽屉问题 .- 212 -22.1 抽屉原理 1- 212 -22.2 抽屉原理 2- 215 -第二十三讲 分数拆分 .- 218 -23.1 拆成两个分数单位
5、.- 218 -23.2 拆成几个分数的和 .- 220 -23.3 拆成两个分数差 .- 221 -23.4 应用 .- 224 -第二十四讲 找次品、打电话 .- 229 -24.1 找次品 - 229 -24.2 打电话 .- 229 - 1 -第一讲 行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如 1 小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小
6、学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量人数.工作量=工作效率时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用 5 千米/小时表示速度是每小时 5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒 3 米1.1 追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能
7、追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离= 甲的速度时间-乙的速度时间=（甲的速度-乙的速度）时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.- 2 -例 1 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门 9 千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了 9 千米，而小轿
8、车与面包车的速度差是 6 千米/小时，因此所用时间=961.5（小时）.小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门 9 千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-648（千米/小时）.城门离学校的距离是481.572（千米）.答：学校到城门的距离是 72 千米.例 2 小张从家到公园，原打算每分种走 50 米.为了提早 10 分钟到，他把速度加快，每分钟走 75 米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早 10 分钟出发.考虑小张以 75 米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 10（75- 50） 20（分钟）因此，小张走的距离是75
9、20 1500（米）.答：从家到公园的距离是 1500 米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.- 3 -例 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是 30 千米/小时，要 1 小时才能追上；如果速度是 35 千米/小时，要 40 分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车 1 小时走了301-已超前距离，自行车 40 分钟走了自行车多走 20 分钟，走了因此，自行车的速度是 答：自行车速度是 20 千米/小时.解二
10、：因为追上所需时间=追上距离速度差1 小时与 40 分钟是 32.所以两者的速度差之比是 23.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是 15.自行车速度是35- 15 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例 4 上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：- 4 -图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸
11、骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了41216（千米）.少骑行 24-168（千米）.摩托车的速度是 1 千米/分，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟.881632.答：这时是 8 点 32 分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度时间+乙的速度时间=（甲的速度+乙的速度）时间.“相遇问题”
12、，常常要考虑两人的速度和.例 5 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36123（倍），因此自行车的速度是步行速度的 3 倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的 3 倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的 4 段，小王走了 3 段，小张走了 1段，小张花费的时间是36（31）9（分钟）.答：两人在 9 分钟后相遇.- 5 -例 6 小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地，每小时步行 4 千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地
13、的中点 1 千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图离中点 1 千米的地方是 A 点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多 1 千米，小王走了两地距离的一半少 1 千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2 千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2（5-4）2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5 4）218（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面
14、”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例 7 甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇于 C 点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千米.求 A，B 两地距离.解：先画一张行程示意图如下设乙加速后与甲相遇于 D 点，甲加速后与乙相遇于 E 点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加 5 千米，因此，不
15、论在 D 点相遇，还是在 E 点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到 E 点，而不加速，只能到 D 点.这两点距离是 12 16 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是 5 千米/小时.因此，在 D 点（或 E 点）相遇所用时间是- 6 -285 5.6（小时）.比 C 点相遇少用 6-5.60.4（小时）.甲到达 D，和到达 C 点速度是一样的，少用 0.4 小时，少走 12 千米，因此甲的速度是120.430（千米/小时）.同样道理，乙的速度是160.440（千米/小时）.A 到 B 距离是（30 40）6 420（千米
16、）.答： A，B 两地距离是 420 千米.很明显，例 7 不能简单地说成是“相遇问题”.例 8 如图，从 A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千米平路，从 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是 6 千米/小时，平路速度都是 4 千米/小时，上坡速度都是 2 千米/小时.问：（1）小张和小王分别从 A， D 同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？解：（1）小张从 A 到 B 需要 1660 10（分钟）；小王从 D 到 C 也是下坡，需要 2.5660 25（分钟
17、）；当小王到达 C 点时，小张已在平路上走了 25-1015（分钟），走了因此在 B 与 C 之间平路上留下 3- 1 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2 （4 4）60 15（分钟）.从出发到相遇的时间是25 15 40 （分钟）.（2）相遇后，小王再走 30 分钟平路，到达 B 点，从 B 点到 A 点需要走 1260=30分钟，即他再走 60 分钟到达终点.小张走 15 分钟平路到达 D 点，45 分钟可走- 7 -小张离终点还有 2.5-1.5=1（千米）.答：40 分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有 1 千米.1.2 环形路上的行程问题人在环
18、形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.例 9 小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步.小王的速度是 180米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1 ）75 秒-1.25 分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是5001.25-180=220（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是500（220-180）12.5（分）.22012.5
19、5005.5（圈）.答：（1）小张的速度是 220 米/分；（2）小张跑 5.5 圈后才能追上小王.例 10 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第- 8 -一次相遇时合起来所走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离，应该是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是80
20、3240（米）.240-60=180（米）.1802360（米）.答：这个圆的周长是 360 米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.例 11 甲村、乙村相距 6 千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后 40 分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村 2 千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的 3 倍，因此所需时间是403602（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，
21、小张已走了62-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张 1025（千米/小时），小王 82=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是 5 千米/小时和 4 千米/小时.例 12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？解：画示意图如下.- 9 -第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了3.5310.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米.因此，甲、乙两村
22、距离是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（322）倍的行程.其中张走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村 1 千米.下面仍回到环行路上的问题.例 13 绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以 4千米/小时速度每走 1 小时后休息 5 分钟；小张以 6 千米/小时速度每走 50 分钟后休息 10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？解：小张的速度是 6 千米/小时，5
23、0 分钟走 5 千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：121527 比 24 大，从表上可以看出，他们相遇在出发后 2 小时 10 分至 3 小时 15分之间.出发后 2 小时 10 分小张已走了此时两人相距- 10 -24-（811）=5（千米）.由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这 5 千米所需时间是5（46）0.5（小时）.2 小时 10 分再加上半小时是 2 小时 40 分.答：他们相遇时是出发后 2 小时 40 分.例 14 一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3 只爬虫 A，B，C 分别在这 3 个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A 的
24、速度是 10 厘米/秒，B 的速度是 5 厘米/秒，C 的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？解：先考虑 B 与 C 这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差 30 厘米，每秒钟 B 能追上 C（5-3）厘米 0.30（5-3）15（秒）.因此 15 秒后 B 与 C 到达同一位置.以后再要到达同一位置，B 要追上 C 一圈，也就是追上 90 厘米，需要90（5-3）45（秒）.B 与 C 到达同一位置，出发后的秒数是15，105，150，195，再看看 A 与 B 什么时候到达同一位置.第一次是出发后30（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是
25、 A 追上 B 一圈.需要90（10-5）18（秒），A 与 B 到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，78，96，对照两行列出的秒数，就知道出发后 60 秒 3 只爬虫到达同一位置.答：3 只爬虫出发后 60 秒第一次爬到同一位置.- 11 -请思考， 3 只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？例 15 图上正方形 ABCD 是一条环形公路.已知汽车在 AB 上的速度是 90 千米/小时，在BC 上的速度是 120 千米/小时，在 CD 上的速度是 60 千米/小时，在 DA 上的速度是 80 千米/小时.从 CD 上一点 P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 中点相遇.如果从
26、 PC 中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 上一点 N 处相遇.求解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶 CD 所需时间是 1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以 24.这样，汽车行驶 CD，BC，AB，AD 所需时间分别是 24，12，16，18.从 P 点同时反向各发一辆车，它们在 AB 中点相遇.PDA 与 PCB 所用时间相等.PC 上所需时间-PD 上所需时间=DA 所需时间-CB 所需时间=18-12=6.而（PC 上所
27、需时间+PD 上所需时间）是 CD 上所需时间 24.根据“和差”计算得PC 上所需时间是（24+6）215，PD 上所需时间是 24-159.- 12 -现在两辆汽车从 M 点同时出发反向而行，MPDAN 与 MCBN 所用时间相等.M是 PC 中点.PDAN 与 CBN 时间相等，就有BN 上所需时间-AN 上所需时间=PDA 所需时间-CB 所需时间=（918）-12= 15.BN 上所需时间+AN 上所需时间=AB 上所需时间=16.立即可求 BN 上所需时间是 15.5，AN 所需时间是 0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.1.3 稍复杂的问
28、题在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：（1）在行程中能设置一个解题需要的点；（2）灵活地运用比例.例 16 小王的步行速度是 4.8 千米/小时，小张的步行速度是 5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是 10.8 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇后 5 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？解：画一张示意图：图中 A 点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个 B 点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与小李相遇，也就是 5 分钟的时间，小王和小李共同走了 B 与A 之间这段距离，它等于-
29、13 -这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3（5.4-4.8）60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度 10.8 千米/小时是小张速度 5.4千米/小时的 2 倍.因此小李从 A 到甲地需要1302=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是13065=195（分钟）3 小时 15 分.答：小李从乙地到甲地需要 3 小时 15 分.上面的问题有 3 个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个 B 点，使我们的
30、思考直观简明些.例 17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是 41，那么从公园门口到目的地的距离超过 2 千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？解：先画一张示意图设 A 是离公园 2 千米处，设置一个 B 点，公园离 B 与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到 B 点.现在问题就转变成：骑车从家开始，步行从 B 点开始，骑车追步行，能在 A 点或更远处追上步
31、行.具体计算如下：不妨设 B 到 A 的距离为 1 个单位，因为骑车速度是步行速度的 4 倍，所以从家到 A 的距离是 4 个单位，从家到 B 的距离是 3 个单位.公园到 B 是 1.5 个单位.从公园到 A 是11.52.5（单位）.每个单位是 20002.5800（米）.因此，从公园到家的距离是8001.51200（米）.答：从公园门口到他们家的距离是 1200 米.- 14 -这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.例 18 快车和慢车分别从 A，B 两地同时开出，相向而行.经过 5 小时两车相遇.已知慢车从 B 到 A 用了 12.5 小时，慢车到 A
32、 停留半小时后返回.快车到 B 停留 1 小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？解：画一张示意图：设 C 点是第一次相遇处.慢车从 B 到 C 用了 5 小时，从 C 到 A 用了 12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为 1 个单位.B 到 C10 个单位，C 到 A15 个单位.慢车每小时走 2个单位，快车每小时走 3 个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从 C 到 A，再加停留半小时，共 8 小时.此时快车在何处呢？去掉它在 B 停留 1 小时.快车行驶 7 小时，共行驶 37=21（单位）.从 B 到 C 再往前一个单位到 D 点.离 A
33、 点15-114（单位）.现在慢车从 A，快车从 D，同时出发共同行走 14 单位，相遇所需时间是14（23）2.8（小时）.慢车从 C 到 A 返回行驶至与快车相遇共用了7.50.52.810.8（小时）.答：从第一相遇到再相遇共需 10 小时 48 分.例 19 一只小船从 A 地到 B 地往返一次共用 2 小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米.求 A 至 B 两地距离.解：1 小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了 B 地.我们在 B 之前设置一个 C 点，是小船逆水行驶 1 小时到达处.如下图第二小时比第一小时多行驶
34、的行程，恰好是 C 至 B 距离的 2 倍，它等于 6 千米，就知C 至 B 是 3 千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶 8 千米，在图中再设置 D 点，D 至 C是 8 千米.也就是 D 至 A 顺水行驶时间是 1 小时.现在就一目了然了.D 至 B 是 5 千米顺水行驶，与 C 至 B 逆水行驶 3 千米时间一样多.因此- 15 -顺水速度逆水速度=53.由于两者速度差是 8 千米.立即可得出A 至 B 距离是 123=15（千米）.答：A 至 B 两地距离是 15 千米.例 20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米，在第二段上，汽车
35、速度是每小时 90 千米，在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行。1 小时 20 分后，在第二段的解一：画出如下示意图：当从乙城出发的汽车走完第三段到 C 时，从甲城出发的汽车走完第一段的到达 D 处，这样，D 把第一段分成两部分时 20 分相当于因此就知道，汽车在第一段需要第二段需要 30390（分钟）；- 16 -甲、乙两市距离是答：甲、乙两市相距 185 千米.把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法
36、.例 8、例 13 也是类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.第一段所用时间第三段所用时间=52.时间一样.第一段所用时间第二段所用时间=59.因此，三段路程所用时间的比是592.汽车走完全程所用时间是 802160（分种）.例 21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高 20，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25，则可提前 40 分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？解：设原速度是 1.后，所用时间缩短到原时间的- 17 -这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶需要同样道理，车速提高 25，所用时间缩短
37、到原来的如果一开始就加速 25，可少时间现在只少了 40 分钟， 72-4032（分钟）.说明有一段路程未加速而没有少这个 32 分钟，它应是这段路程所用时间真巧，320-160160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长答：甲、乙两地相距 270 千米.十分有意思，按原速行驶 120 千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为 x，就有x1207232.1.4 流水行程流水问题：顺水行程=（船速+水速） 顺水时间 逆水行程=（船速-水速） 逆水时间
38、顺水速度=船速+ 水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=（顺水速度+ 逆水速度）2 水 速=（顺水速度-逆水速度）2 - 18 -流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、时间（相遇时间、追及时间） 、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。 - 19 -第二讲 和、差与倍数的应用题做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算，而且要 多思考，善于发现题目中的数量关系，可以说做应用题是运用数学的开始.加、减、乘是最基本的运算，和、差、倍数是两数之间最简
39、单的数量关系. 2.1 和差问题说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：大数=（和+差）2小数=（和-差）2会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算.先看几个简单的例子.例 1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是 95 分，数学比语文多得8 分，张明这两门功课的成绩各是多少分？解：95 乘以 2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是 8.因此数学得分=（9528）299.语文得分=(952-8）2 91.答：张明数学得 99 分，语文得 91 分.注：也可以从
40、952-9991 求出语文得分.例 2 有 A，B，C 三个数，A 加 B 等于 252，B 加 C 等于 197， C 加 A 等于 149，求这三个数.解：从 B+C197 与 A+C149，就知道 B 与 A 的差是 197-149，题目又告诉我们，B 与A 之和是 252.因此B=（252 197-149） 2 150，A252-150102，C149-10247.答：A，B，C 三数分别是 102，150，47.注：还有一种更简单的方法- 20 -（A+B）（BC）（CA）2（ABC）.上面式子说明，三数相加再除以 2，就是三数之和.ABC（252197149）2299.因此C299
41、-25247，B299-149150，A299-197102.例 3 甲、乙两筐共装苹果 75 千克，从甲筐取出 5 千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多 7 千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？解：画一张简单的示意图，就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多57 5 17（千克）因此，甲、乙两数之和是 75，差为 17.甲筐苹果数=（7517）2 46（千克）.乙筐苹果数=75-4629（千克）.答：原来甲筐有苹果 46 千克，乙筐有苹果 29 千克.例 4 张强用 270 元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵 140 元，买外衣和鞋比帽子多花 210 元，张强买这双鞋花多少钱？解：我们
42、先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是 270 元，差是 210 元.外衣和鞋价之和=（270 210）2 240（元）.外衣价与鞋价之差是 140，因此鞋价=（240-140）250（元）.答：买这双鞋花 50 元.再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.例 5 李叔叔要在下午 3 点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12 点 10 分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10 分钟.夜里 11 点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才 9 点整.假定李叔叔上班和下班在
43、路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？- 21 -解：到厂时看钟是 2 点 50 分，离家看钟是 12 点 10 分，相差 2 小时 40 分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）.晚上下班时，厂里钟是 11 点，到家看钟是 9 点，相差 2 小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.因此钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.现在已把问题转化成标准的和差问题了.钟停的时间=（160120） 2 140（分钟）.路上用的时间=160-14020（ 分钟）.答：李叔叔的钟停了 2 小时
44、 20 分.还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：以李叔叔家的钟计算，他在 12 点 10 分出门，晚上 9 点到家，在外共 8 小时 50 分钟，其中 8 小时上班，10 分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以上班路上所用时间=（8 小时 50 分钟-8 小时-10 分钟）220（分钟）.钟停时间=2 小时 40 分钟-20 分钟=2 小时 20 分钟.例 6 小明用 21.4 元去买两种贺卡，甲卡每张 1.5 元，乙卡每张 0.7 元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明 3.2 元.问小明买甲、乙卡各几张？解：甲卡与乙卡
45、每张相差 1.5-0.7 0. 8（元），售货员错找还小明 3.2 元，就知小明买的甲卡比乙卡多 3.20.84（张）.现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意1.5甲卡张数+0.7乙卡张数=21.4.1.5乙卡张数+0.7甲卡张数=21.4-3.2.从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是21.4（21.4-3.2）（1.5 0.7） 18（张）.因此，甲卡张数是（18 4） 2 11（张）.乙卡张数是 18-11 7（张）.- 22 -答：小明买甲卡 11 张、乙卡 7 张.注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.例 7 有两个一样大小的长方形，拼合成
46、两种大长方形，如右图.大长方形（A）的周长是 240 厘米，大长形（B）的周长是 258 厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？解：大长方形（A）的周长是原长方形的长2+宽4.大长方形（B）的周长是原长方形的长4+宽2.因此，240+258 是原长方形的长6+宽6.原长方形的长与宽之和是（240258）683（厘米）.原长方形的长与宽之差是（258-240）29（厘米）.因此，原长方形的长与宽是长：（83 9）2 46（厘米）.宽：（83-9）237（厘米）.答：原长方形的长是 46 厘米、宽是 37 厘米2.2 倍数问题当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两
47、个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.例 8 有两堆棋子，第一堆有 87 个，第二堆有 69 个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的 3 倍.解：两堆棋子共有 8769156（个）.- 23 -为了使第二堆棋子数是第一堆的 3 倍，就要把 156 个棋子分成 134（份），即每份有棋子156 （13）39（个）.第一堆应留下棋子 39 个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是87-3948（个）.答：应从第一堆拿 48 个棋子到第二堆去.例 9 有两层书架，共有书 173 本.从第一层拿走 38 本书后，第二
48、层的书比第一层的 2倍还多 6 本.问第二层有多少本书？解：我们画出下列示意图：我们把第一层（拿走 38 本后）余下的书算作 1“份”，那么第二层的书是 2 份还多 6本.再去掉这 6 本，即173-38-6129（本）恰好是 3 份，每一份是1293=43（本）.因此，第二层的书共有432 + 692（本）.答：书架的第二层有 92 本书.说明：我们先设立“1 份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.例 10 某小学有学生 975 人.全校男生人数是六年级学生人数的 4 倍少 23 人，全校女生人数是六年级学生人数的 3 倍多 11 人.问全校有男、女生各多少人？解：设六年级学生人数是“1 份”.男生是 4 份-23 人.女生是 3 份+11 人.全校是 7 份-（23-11）人.每份是（975+12）7141（人）.- 24 -男生人数=1414-23541（人）.女生人数=975-541434（人）.答：有男生 541 人、女生 434 人.例 9 与例 10 是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里？70 双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的 2 倍.问原来两种鞋各有几双？解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作 4 份，售出 1 份，还有 3 份.那么原有皮鞋增加70 双后将是 3
