1、求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数 的值域为 R.0ykxb二次函数 ，当 时的值域
2、为 ，当 时2ac0a24,acb0a的值域为 .，24,b反比例函数 的值域为 .0kyx0yR指数函数 的值域为 .1a且 对数函数 的值域为 R.logya且正，余弦函数的值域为 ，正，余切函数的值域为 R.,二、求函数值域（最值）的常用方法1. 直 接 观 察 法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例 1、求函数 y= 的值域21x解： 显然函数的值域是：2,00,1例 2、求函数 y=2 的值域。解： 0 0 2 2xxx故函数的值域是：- ，2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如
3、或20yaxbc类的函数的值域问题，均可用配方法求解.20Fxafbfxca例 3、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。解：将函数配方得：y=（x-1） +4， x -1，2，由二次函数的性质可知：2当 x=1 时， y =4min当 x=-1，时 =8ax故函数的值域是：4，8 例 4、求函数的值域： 265yx解：设 ，则原函数可化为： .又因为20xy，所以 ，故， ，所以，26534040,2的值域为 .2yx,3、判别式法 2适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。0)()(2yCxByA例 5、求函数的值域21x解
4、： 恒成立， 函数的定义域为 R.210x由 得 。2y2120yxy 当 即 时， ；20yy30,xR 当 即 时， 时，方程 恒有实2120yxy根. 且 .2214yyA15原函数的值域为 .,5例 6、 求函数 y=x+ 的值域。 )2(x解：两边平方整理得：2 -2（y+1）x+y =0（1）2x R， =4 （y+1） -8y02解得：1- y1+但此时的函数的定义域由 x（2-x）0，得：0x2。由0，仅保证关于 x 的方程：2 -2（y+1）x+y =0 在实数集 R 有实根，而不22能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0 求出的范围可能比 y 的实际范
5、围大，故不能确定此函数的值域为 ， 。可以采取如下方法进213一步确定原函数的值域。0x2， y=x+ 0，)2(x=0，y=1+ 代入方程（ 1） ，解得： = 0，2，即当 =ymin 1x241x时，原函数的值域为：0，1+ 。24注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 7、求函数 的值域。12xy分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数。反解得 即12xyyx2x2知
6、识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为： 。),(),(5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用 等。1,cos,1sinxx例 8、求函数 y= 的值域。1xe解：由原函数式可得： =xy0， 0 xe1y解得：-1y1。故所求函数的值域为(- 1,1).例 9、求函数 y= 的值域。3sincox解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为： sinx（x+）=3y12即 sinx（x+）= 132yxR，sinx （x+）-1，1。即-1 1132y解得：- y 故函数的值
7、域为- ， 。4246、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。 （原理：同增异减）例 10、求函数 的值域。)4(log221xy分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得：)0()(2xfxf由复合函数的单调性（同增异减）知：)4,04)2()（所 以 xf。,y例 11、 求函数 y= （2x10）的值域5xlog31x解：令 y = ， = ，则 y ， 在2，10上都是增函数。125x231所以 y= y + 在2，10上是增函数。1当 x=2时， y = + = ，min3log128当 x=10时， = +
8、=33。ax539故所求函数的值域为： ，33。例 12、求函数 y= - 的值域。1x解：原函数可化为： y= 12x令 y = ， = ，显然 y ， 在1 ，+）上为无上界的增函数，所以 y= 1x2yx2y + 在1，+）上也为无上界的增函数。所以当 x=1 时，y=y + 有最小值 ，原函数有最大值 = 。12y 2显然 y0，故原函数的值域为(0, 。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例 13、求函数 y=
9、x+ 的值域。1解：令 x-1=t， （t0）则 x= +12ty= +t+1= + ，又 t0，由二次函数的性质可知2t2)(t43当 t=0 时，y =1，当 t0 时，y+。min故函数的值域为1，+） 。例 14、求函数 y=x+2+ 的值域2)1(x解：因 1- 0，即 12)1(x故可令 x+1=cos， 0，。y=cos+1+ =sin+cos+1 = sin（+/4）+1B2cos20，0+/45/4 - sin（+/4）12 0 sin（+/4）+11+ 。 2故所求函数的值域为0，1+ 。例 15、求函数 y= 的值域1243x解：原函数可变形为：y=- 22x可令 x=t
10、g，则有 =sin2， =cos221x21y=- sin2 cos2=- sin4 214当 =k/2-/8 时， = 。maxy当 =k/2+/8 时，y =-min41而此时 tg 有意义。故所求函数的值域为- ， 。例 16、求函数 y=（sinx+1） （cosx+1 ） ，x-/12/2 的值域。解：y= （sinx+1） （cosx+1 ）=sinxcosx+sinx+cosx+1令 sinx+cosx=t，则 sinxcosx= （ -1）21ty= （ -1）+t+1=21t)(t由 t=sinx+cosx= sin（x+/4）且 x-/12，/2可得： t 2当 t= 时，
11、 = + ，当 t= 时，y= + maxy232432故所求函数的值域为 + ， + 。4例 17、求函数 y=x+4+ 的值域25x解：由 5-x0，可得x故可令 x= cos，0，y= cos+4+ sin= sin（+/4）+45100， /4+/45/4当 =/4 时， =4+ ，当 =时，y =4- 。maxymin5故所求函数的值域为：4- ，4+ 。5108 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例 18、求函数 y= +
12、的值域。)2(x82解：原函数可化简得：y=x-2+ x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时，y=x-2+x+8 =AB=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8 AB=10故所求函数的值域为：10，+ ）例 19、求函数 y= + 的值域1362x542x解：原函数可变形为：y= +)0(2)10(22上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2） ，B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y =AB = =min )12(3，4
13、3故所求函数的值域为 ，+） 。43例 20、求函数 y= - 的值域162x52x解：将函数变形为：y= -)20(32x)10(22x上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP- BPAB= = )12(36即：- y 26（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 AP-BP=AB= 。26综上所述，可知函数的值域为：（- ，- 。 注：由例 17，18 可知，
14、求两距离之和时，要将函数式变形，使 A，B 两点在 x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点 A， B 在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， （ -2，-1） ，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， （2，-1 ） ，在 x 轴的同侧。例 21、求函数 的值域.xycosin分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点 的斜率,又知动点12xk )sin,(cox满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率)sin,(co问题,作出图形观察
15、易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: xB326,y9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。 （如：）abab2,2其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 22、 求函 y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx ）的值域解：原函数变形为： y=（ + ）+1/ +1/xsin2co2xsin2co2=1+ + =3+ + etg3 +2 =523xtg当且仅当 tgx=ctgx，即当 x=k/4 时（kz） ，等号成立。故原函数的值域为：5，+ ） 。例 23、求
16、函数 y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4 cosxxsin2=16y2xsi4co2=8 （2-2 ）nxi28（ + +2- ）xi22s=8（ + +2- ）/3sxin23= 2764当且当 =2-2 ，即当 =时，等号成立。xin2xi2xsi2由 ，可得：- yy2764938故原函数的值域为：- ， ） 。938例 24、当 时，求函数 的最值，并指出 取最值时 的值。0x24)(xf)(xfx分析与解：因为 可利用不等式 即：28)(xf 3abca所以 当且仅当 即 时取”=” 当 时324)(xf1)(f 24x11x取得最小值 12。f例
17、 25、双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则12byax1e12axby2e的最小值是（ ） 。21eA B 4 C 2 D 2分析与解：根据双曲线的离心率公式易得： ，我们知bae221 道 所以 （当且仅当 时取“=” ）xy2abe221a22而 故 （当且仅当 时取“=” ） 。ab21 )(min21e所 以10、导数法设函数 在 上连续，在 上可导，则 在 上的最大值和最fx,ab,abfx,ab小值为 在 内的各极值与 ， 中的最大值与最小值。ff要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足
18、够重视。例 26、求函数 , 的最大值和最小值。326fxx1,解: ,令 ,方程无解.2 0f函数 在 上是增函数.36fx231xfx1,故当 时, ，当 时, 1xmin12fxf1xmax12ff例 27、求函数 的最值.)(2解析: 函数 是定义在一个开区间 上的可导函数,xf ，令 0)2()2f得 的唯一驻点 即为最点.xf 1x时， ，函数递增,10)(f时， ，函数递减,xx故 有最大值 .)(f 1)(f【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是 .1)(2xf 1x注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数 有导函数 存在，那么
19、是)(xfy)(xgf )(xf否有最值的问题可转化为 的导函数 是否有最根的问题来研究：)(xfg（1）若导函数 无根，即 ，则 无最值；g0)()(xf（2）若导函数 有唯一的根 ，即 ，则 有最值 .此时，)(xx)(xf)(0xf导函数 的根 即是函数 最根 .)(xf0)(f0（3）若导函数 有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存)(xg在性.11、多种方法综合运用例 28、求函数 y= 的值域32x解：令 t= （t0） ，则 x+3= +12x2t（1） 当 t0 时，y= = ， 当且仅当 t=1，即 x=-1 时取等号12tt/所以 0y 。（2） 当 t=0 时
20、，y=0 。综上所述，函数的值域为：0， 。21注：先换元，后用不等式法。例 29、求函数 y= 的值域。x4231解：y= + = +x42423)(2x21令 x=tg ，则 = ， = sin ，2)1(2cos22y= + sin =- + sin +1cosin1=- +)4(i267当 sin = 时， = 。当 sin =-1 时，y =-2。1maxy1min此时 tg 都存在，故函数的值域为：2， 。167注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用 sin 的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数
21、单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。学生巩固练习 1 函数 y=x2+ 1 (x )的值域是( )A( , 47B 47,+) C 23,+) D(, 322 函数 y=x+ 21的值域是( )来源:学+科+网 Z+X+X+KA ( ,1B (,1 C R D 1,+ )3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/ 小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 千米，为了安全，两列货车间距离不得小于( 20)2 千米 ，那么这批物资全部运到 B 市，最快需要_小时(不计货车的车身长) 4 设 x1、x 2 为方程 4x24mx+ m+2=0 的两个实根，当 m=_时
22、，x 12+x22有最小值_ 5 某企业生产一种产品时，固定成本为 5000 元，而每生产 100 台产品时直接消耗成本要增加 2500 元，市场对此商品年需求量为 500 台，销售的收入函数为 R(x)=5x 21x2(万元)(0x 5),其中 x 是产品售出的数量(单位 百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数 f(x)=lg(a 21)x 2+(a+1)x+1来源:学科网(1)若 f(x)的定义域 为(,+)，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(x)的值域为(,+),求实数 a 的取值范围 7 某家电生
23、产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120 个工时计算) 生产空调器、彩电、冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 60 台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调器 彩电 冰箱工时 21341产值(千元) 4 3 2问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？( 以千元为单位)8 在 RtABC 中，C=90 ，以斜边 AB 所在直线为轴将ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为 S1，ABC 的内切圆面积为 S2，记ABC=x (1)求函数 f(x)= 21S的解析式并求 f(x)的定义域 (2)求函数 f
24、(x)的最小值 参考答案 1 解析 m 1=x2 在( , 21）上是减函数，m 2= x1在(, 21）上是减函数，y= x2+ 在 x(, )上为减函数,y=x 2+ (x )的值域为 47，+ ) 答案 B2 解析 令 x21=t(t0),则 x= 21t y=2t+t= (t1) 2+11值域为(,1 答案 A3 解析 t= V40+16( 2)2/V= 40+ 162 =8 答案 84 解析 由韦达定理知 x1+x2=m,x1x2= 4,来源 :Zxxk.Comx 12+x22=(x1+x2)22x 1x2=m2 =(m )2 167,又 x1,x2 为实根，0 m1 或 m2，y=
25、(m 4)2 67在区间(,1 ）上是减函数，在 2，+ )上是增函数，又抛物线 y 开口向上且以 m= 为对称轴 故 m=1 时，ymin= 21 答案 1 25 解 (1）利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x) 之差，由题意，当 x5 时，产品能全部售出，当 x5 时，只能销售 500 台，所以y= )1( 25.0150.74)5(2.05()215().2 xxxx(2）在 0x5 时，y = 1x2+4 75x0 5,当 x= ab=4 75(百台）时，y max=10 78125(万元） ，当 x5(百台）时，y120 255=10 75(万
26、元） ，所以当生产 475 台时，利润最大 (3）要使企业不亏本，即要求 025.105.7.421xx或解得 5x4 75 56.0 1(百台）或 5x 48(百台）时，即企业年产量在 10 台到 4800 台之间时，企业不亏本 6 解 (1）依题意( a21）x 2+(a+1)x+10 对一切 xR 恒成立，当 a210 时，其充要条件是 135,0)(4)(022 a或或即，a1 或 a 35 又 a= 1 时， f(x)=0 满足题意，a=1 时不合题意 故 a1 或 a为 所求 (2）依题意只要 t=(a21)x 2+(a+1)x+1 能取到(0，+）上的任何值，则 f(x)的值域为
27、 R，故有 02,解得 1a 35,又当 a21=0 即 a=1 时，t=2x+1 符合题意而a=1 时不 合题意，1 a 为所求 7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台，由题意得 x+y+z=360 1204321x0,y0,z60 假定每周总产值为 S 千元，则 S=4x+3y+2z,在限制条件之下，为求目标函数 S 的最大值，由消去 z,得y=3603x 将代入得 x+(3603x)+z =360,z=2x z60,x30 再将代入 S 中，得 S=4x+3(3603x)+22x,即 S=x +1080 由条件及上式知，当 x=30 时，产值 S 最大，最大值
28、为来源:学科网S=30+1080=1050( 千元） 得 x=30 分别代入和得 y=36090= 270,z=230=60 每周应生产空调器 30 台，彩电 270 台，冰箱 60 台，才能使产值最大，最大产值为 1050 千元 8 解 (1）如图所示 设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h= cab,S 1=ah+bh= ,)2(),(2Sbca,f(x)= 22)(4又 )1(222xcabcba代入消 c，得 f(x)= 在 Rt ABC 中，有 a=csinA,b=ccosA(0A 2),则x= cba=sinA+cosA= 2sin(A+ 4) 1x (2)f(x)= )1()2x +6,设 t=x1,则 t(0, 21),y=2(t+ 2)+6在(0， 21 上是减函数，当 x=( 1)+1= 2时，f(x )的最小值为 6 2+8 abCBcA
