1、键入文字键入文字六年级拔尖数学目 录第 1 讲 定义新运算第 2 讲 简单的二元一次不定方程第 3 讲 分数乘除法计算第 4 讲 分数四则混合运算第 5 讲 估算第 6 讲 分数乘除法的计算技巧第 7 讲 简单的分数应用题（1）第 8 讲 较复杂的分数应用题（2）第 9 讲 阶段复习与测试（略）第 10 讲 简单的工程问题第 11 讲 圆和扇形第 12 讲 简单的百分数应用题第 13 讲 分数应用题复习第 14 讲 综合复习（略）第 15 讲 测试（略）第 16 讲 复杂的利润问题（2）第一讲 定义新运算在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用
2、“ #”“*”“”等多种符号按照一定的关系 “临时”规定的一种运算法则进行的运算。例 1：如果 A*B=3A+2B，那么 7*5 的值是多少？例 2：如果 A#B 表示 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？3BA例 3：规定 求 21010 的值。YX例 4：设 M*N 表示 M 的 3 倍减去 N 的 2 倍，即 M*N=3M-2N（1） 计算（14 *10）*6（2） 计算 （ * ） *（1 * ）584例 5：如果任何数 A 和 B 有 AB=AB-（A+B）求（1）107（2） （53）4（3）假设 2X=1 求 X例 6：设 PQ=5P+4Q，当 X9=91 时，1/5（X
3、1/4）的值是多少？例 7：规定 X*Y= ，且 5*6=6*5 则（3*2）*（1*10）的值是多少？XYA例 8：表示一种运算符号，它的意义是 ） （ AYXY11已知 那么 200882009=？ 32121） （ A巩固练习 1、已知 23=2+22+222=246； 34=3+33+333+3333=3702；按此规则类推（1） 32 （2）53 （3）1X=123，求 X 的值2、已知 14=1234；53=567计算（1） （42）+（53） （2） （35）（44）3、如果 A*B=3A+2B，那么（1）7*5 的值是多少？ （2） （4*5）*6 （3） （1*5）*（2*4
4、）4、如果 AB，那么 A，B=A ；如果 AB，那么A，B=B ；试求（1） 8，0.8 （2） 1.9，1.9011.195、N 为自然数，规定 F（N）=3N-2 例如 F（4）=34-2=10试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+F （100）的值6、如果 1=1！12=2！123=3！1234100=100!那么 1！+2！+3！+100！的个位数字是几？（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）7、若“+、- 、=、 （） ”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4” 。下面四个算式（1）87=8（2）777=6（3） （7+8+3）9=39（4）33=3那么应
5、该是我们通常的哪四个算式？8、如果 2*4=2345 5*3=567，请按此规定计算（1） （3*4）-（5*3） （2） （4*4）（3*3）9、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5= （11）=1+1=2则计算（1） （56489） （2） （92045）+（905）（12）10、规定 64=222222 表示成 F（64）=6；243=33333 表示成 G（243）=5；试求下面各题的值（1） F（128）= ( )（2） F（16）= G（ ）（3） F（ ）+ G( 27 )=611、如果 1=1！12=2！123=3！试计算（1）5！ （2）X
6、！=5040，求 X12、有一种运算符号“”使下列算式成立23=7 53=13 45=13 97=25 求 995 9=？13、A*B= 在 X*（5*1）=6 中，X 的值是多少？BA14、对于任意的整数 X、Y 定义新运算“￥”X￥Y= （其中 M 是一个固定的YX26值）如果 1￥2=2，那么 2￥9=？ 第二讲 二元一次不定方程一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有
7、的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。三、例题解析：（一）基本方法例 1、小明要买一只 4 元 9 角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各 10枚，请问他可以怎样付钱？分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。设小明付了 X 枚贰角和 Y 枚伍角列方程，得 2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49 是奇数，2X 是偶数，那么 5Y 必定是奇数。这样，Y只能取 1，3，5，7，9 这五个数。2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而 X 至多为 10，那么 5Y 不小于 49219=29，这样，可得 Y 大于 6。方法二 观察系数的特点，
8、利用尾数（个位数）解答。由例 1 可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决例 2、大汽车能容纳 54 人，小汽车能容纳 36 人，现有 378 人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件以后，答案的变化。试一试：一个同学把他生日的月份乘以 31，日期乘以 12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？例 3、现有铁矿石 73 吨，计划用载重量分别为 7 吨和 5 吨的两种卡车一次运
9、走，且每辆车都要装满，已知载重量 7 吨的卡车每台车运费 65 元，载重量5 吨的卡车每台车运费 50 元，问需用两种卡车各多少台运费最省？分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。例 4 、一个同学发现自己 1991 年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生 1991 年时多少岁？分析与解：设他出生于 19XY 年，那么199119XY=1+9+X+Y1991（1900+10X+Y）=10+X+Y9110XY=10+X+Y（二）能力拓展例 5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数 xy,过了一小时路标上的数字变为 yx，又行驶了
10、一小时路标上的数字是一个三位数 x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。试一试：一个两位数，如果把数字 1 放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为 414，求原来的两位数。例 6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长宽高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到 9 个长方体，这 9 个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多 624 平方厘米，求原来长方体的体积。分析与解：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，分析可得，横切两刀，增
11、加了 4ab 的面积，竖切两刀增加了 4ac 的面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。练习一、基本题1、求方程 6x+9y=87 的自然数解。2、求方程 2x+5y=24 的自然数解3、大客车有 48 个座位，小客车有 30 个座位。现在有 306 名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要 11 元，小盒每盒要 8 元，妈妈用了 89 元，问大小盒子各买了多少个？5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多 54，求原来的两位数。
12、6、一个两位数，各位数字之和的 6 倍比原数大 3，求这个两位数。7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装 12 个，每个小盒子装 5个，恰好装完。如果弹子数为 99，盒子数大于 10，问两种盒子各有多少个？二、综合题8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字 6 以后，所得的三位数比原数大 870，那么原数是多少？9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足 70 人）来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。结果平均每个学生坐 1.35 个座位。求有多少个学生？思考题10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、
13、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？第三讲 分数乘除法计算分数乘除法的计算方法用字母表示为：（a，c 都不等于 0） ；bd（a，c 都不等于 0） 。bdbacd一、课前准备：1、计算下列各题：（1） 10 （2） （3） 356173511857932（3） 9 （4） （6） （ + ）8217253524132、在或里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？（1） 25 = ( )167 78（2） =( ) 58 23 815（3） (15 )= ( )229 2931（4） 25 4= + 34（5） 7 = 78（6） 1 25= 45（7） 54( - )= 8
14、9 56二、例题讲解例 1：计算： ； 。43751526【分析】认真观察这两道题的数学特点：第(1)题中的 与 1 只相差 ，如果把写4545成 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。同样，第（2）题中的1()4527 可以写成（26+1） 。练习：“挑战自己！”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？26 32 23 15 25 56例 2：计算： 132745分析仔细观察因数的特点可知， 可转化为 ，这样就可以利用乘法的分1275395配律进行简算了。练习：计算： 1347613274例 3：计算： 25979【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。在本题中
15、，把 与 的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、179结合律就可以很快算出结果。例 4：计算： ； 。164202034【分析】同学们都会计算带分数除法。不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成假分数太繁了。如果我们动一下脑筋，就会发现：可以把题(1)中的 分成一个162041 的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题（2)中的化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。2034例 5：计算： 10379例 6：计算：一、基本练习1、下面各题，怎样简便就怎样算。29841651）（ 5321）（ 68517432 3942.
16、 “考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？101- 99 + 710 710 89 89 89 89 35 353 25 36 ( - )45 3435 56 59 185( + ) + - 47 89 225 1521 34 1021 34 344. 分数四则混合计算：（1） （ ）1000 （2） （ ） 0153646123（3） （4） （0.19 +0.19 ）0.0587541268365二能力提高（4） （5） 2098第四讲 分数四则混合运算一、课前准备：9 （ ）3527991806234516 （ ）2410374533146二、例题讲解例 1：计算： %2360125.98
17、练习： )8725.4(326.51329例 2：计算：（598.137 59816.26）1 190521730例 3、 761564153421 例 4；计算； 25143761854. 练习：1. 下面各题怎样算简便就怎样算。（ ）27 （ ） 983527325414 5 132 4255427471322. 用简便方法计算。113100 91 1.14 40.95 4.09139972119273、计算下面各题。56561258701546123）（ 87543）（65145314 18963）（52147 %312.087.13）（35.6075.4710813510%5.1283
18、6.15 970.41259.07241. 25.146.7928.05第五讲 估 算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一法） 。其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概” ； （2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。一、去尾法和收尾法（进一法）例 1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行 4 时，飞去时速度为 900千米/时，飞回时速度为 850 千米/时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？（精确到
19、1 千米）解：设该飞机最远能飞出 x 小时，依题意有此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到 x1749，当飞机真的飞出 1749 千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。例 2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往 70 米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为 7 米/秒。已知导火线燃烧的速度是 0.112 米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到 0.1 米）此题采用收尾法。如果你的答案是 1.1 米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。二、放缩法与省略尾数法例 3、有三十个数：1.64，1.64+ ，1.64+ ，1.64+ 1.64+
20、，301230289如果取每个数的整数部分（例如：1.64 的整数部分是 1，1.64+ 的整数部分是 2） ，并将这些整数相加，那么其和是多少？分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是 2例 4、 A=1234567891011121331211101987654321，求 A 的小数点后前 3 位数字。分析：本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。方法一：放缩法：A12343122=0.3952A123531210.3957所以 0.3952A0.3957方法二：省略尾数法：近似值：将被除数、除数同时舍去 13 位，各保留 4位，则有12343121例 5、老师在黑板上
21、写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数） ，小明计算出的答数是 12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么？分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40 与 12.50 之间。原来 13 个数的总和最小应该是 12.4013=161.2，最大应该是 12.5013=162.5 之间，从而可求出这 13 个自然数的总和，从而知道正确答案例 6、 已知：S= ，求 S 的整数部分。1919821980分析与解：如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几，就能知道它的值在某个范围内。当这个范围很小时，就容易判断出 s 的整数部分了。
22、设 A=说明：本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。上面的“分析”中，我们采用了“放大缩小”的方法，就是先把 s 的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大） ，再都看成最小的一个（缩小） 。练一练：求 )2019189716( A的整数部分。练习一、基本题1、 （1+ ）+（1+ 2）+（1+ 3）+（1+ 10）9219921921+（1+ 11）的结果是 x，那么，与 x 最接近的整数是多少？9212、求算式 0.123450510.51504321 的小数点后前二位数字是多少？3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入 300 米 3石料，以截断河流。如果每台大
23、型运输车一次可运石料 17.5 米 3，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？4、用 5 米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布 2 米，求这块布料可以做几件上衣？5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是 21.83，正确答案应是多少？6、求下式中 S 的整数部分：二、综合题7、 计算：（提示：注意 385= 5711，可以先用乘法分配律化简，再估算。 ）三、思考题：8、在 1， ， ， ， 中选出若干个数，使得它们23910的和大于 3，至少要选几个数？ 第六讲 分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，
24、还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。（一）一般分数乘除法的计算：（二）分数的简便计算1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律） ，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。例 3、计算：2.约分法：例 4、计算：分析：仔细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出123，分母的每一项都可以分解出 135。把它们作为公因数提出来后，括号内的和是相等的。例 5、计算： 3625481分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分毋中的被减数 3
25、62548 可以变形为：（3611)548=36 1548548，同时发现 548186=362。这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子，简化运算。例 6、计算：例 7、计算： 2、分组法例 8、计算：分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。4、代数法例 9、练习：200520032004第七讲 简单的分数应用题（一）一、基础知识：1、分数应用题的一般关系式是：表示单位“1”的量（标准量）分率=分率的对应量。2、解题思路：一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1” 。分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1” （分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数
26、之间的一种倍数关系。 ）单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1” 。表示单位“1”的量是已知的，则该题用“” 。表示单位“1”的量是未知的，则该题用“”或方程。解题的关键是：寻找“与数量对应的分率” ， “与分率对应的数量” 。二、例题解析：（一）基本方法例 1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。一只鸡的重量是鸭的 。把( )平均分为 3 份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的 2 份，2/3 对应的数量是（ ） 。甲的 相当于乙。把( )平均分为 5 份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的 3 份，3/5 对应的数量是（ ） 。现
27、价是原价的 。把( )平均分为 40 份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的 3 份，3/40 对应的数量是（ ） 。现价比原价少的部分对应的分率是（ ） 。小红的书比小明少 。把( )平均分为 8 份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的 7 份，7/8 对应的数量是（ ） 。小明的书对应的分率是（ ） 。例 2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 （1）白兔只数的 是黑兔的只数。 （2）已经修了公路全长的 。125 210（3）二班植树棵数相当于一班的 。 （4）今年棉花产量比去年增加210 85。 （4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜 。 （6）还剩
28、这堆煤的 。517157例 3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是 1 元，钢笔的价格比本子的价格多 ，钢笔的价格是多少元？例 4、一条裤子比一件上衣便宜 25 元。一条裤子是一件上衣价格的 2/3，一件上衣多少元？例 5、商店运来一批水果，运来苹果 20 筐，梨的筐数是苹果的 3/4，梨的筐数同时又是桔子的 3/5。运来桔子多少筐？例 6、学校买来 54 本新书，其中科技书占 1/6，文艺书占 1/3，文艺书比科技书多多少本？（二）能力拓展例 7、小强看一本故事书，每天看 16 页,看了 5 天后，还剩全书的 3/5 没有看，这本故事书有多少页？分析：把全书看作单位“1” ，是未知的，
29、可以用除法或方程解答。3/5 与没有看的页数相对应，看了的已知量 165 与 13/5 相对应。例 8、客车由甲城开往乙城要 10 小时,货车由乙城开往甲城要 15 小时, 两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇？如果相遇时客车走了 600 千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?分析：本题的关键是要求相遇时间，我们知道相遇时间=相遇距离速度和，而本题要求的就是相遇距离，怎么办？可以假设全程为单位“1” 。练一练：一项工作,由甲单独做需要 10 天；由乙单独做需要 12 天.如果两人合做,几天才能完成?练习：一、基本题1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。白兔是黑兔的 。把( )平均分为 6
30、份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的 5 份， 对应的数量是（ ） 。一种毛衣现价是原价的 4/7。把( )平均分为 7 份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的 4 份,4/7 对应的数量是（ ） 。现价比原价少的部分对应的分率是（ ） 。九月份的产量比八月份增加了 。单位“1”：（ ） 。九月份的产量对应分率（ ） 。2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 （1）妈妈年龄的 是女儿的年龄。 （2）已经用这根绳子的 。125 19（3）男生人数占总数的 。 （4）今年车祸比去年减少 。 0 85（4）现价比原价增加 。 （6）没有看的占这本书的 。10
31、7 1573、六年级有男生 100 人，女生有 80 人。（1）男生人数是女生的几分之几？（2）女生是男生的几分之几？（3）女生是全年级学生的几分之几？（4）男生人数比女生多几分之几？3、某生产队挖一条长 300 米的水渠，第一天挖了全长的 1/4，挖了多少米？还剩多少米？4、某车间五月份生产零件 3000 个，六月份比五月份多生产了 ，六月份生产了多少个零件？分析：把（ ）看作单位“1” ，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。 对应的数量是（ ） ，六月份生产的对应分率是（ ） 。解答：5、某小学有学生若干人，其中女生占 3/8，还已知该校男生有 240 人，这所小学共有多少人？分析：把（ ）
32、看作单位“1” ，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。男生的对应分率是（ ） 。解答：6、小亮在银行存了 240 元，小华存的钱是小亮的 5/6，小华存的钱是小新的2/3，小新存了多少元？7、某粮店共有大米 2800 千克，第一天卖了 4/7，粮店还有大米多少千克？8、商店有红气球和黄气球，共有 48 只，其中黄气球的只数是红气球的 3/5 。红气球和黄气球各多少只?9、一只大雁由北方飞往南方要 6 天, 一只野鸭由南方飞往北方要 8 天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇?二、综合题：10、王琳看一本连环画共 80 页，第一天看了全书的 1/5，第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看？11、本站有一批货物，上午运走了总数的 2/5，下午运走了总数的 3/8 ，还剩下 2700 吨没有运，这批货物一共有多少吨？12、一袋大米吃了 1/3 后又加入 8 千克，这时袋里的大米恰好是 22 千克。这袋大米原来有多少千克？13、小刚读一本书，先读了全书的 ，又读了全书的 ，已读的比没读的多523170 页，这本书共有多少页？14、根据算式写出问题。 （说明：35%=7/20）还剩下全长的 1/3 没有修完，？（1）24001/4 ？（2）240035% ？
