1、第一讲 整数问题第 1课 数的整除一、知识要点1. 整除因数、倍数2. 相关基础知识点回顾（1）0 是任何整数的倍数。 （2）1 是任何整数的因数。3. 数整除的性质性质 1：如果 a、b 都能被 m 整除，那么它们的和与差也能被 m 整除。即：如果 ma，mb，那么 m（ab） 。例如：如果 210，26，那么 2（106），并且 2（106）。性质 2：如果 a 能同时被 m、n 整除，那么 a 也一定能被 m 和 n 的最小公倍数整除。即：如果 ma，na，那么 m，n a 。例如：如果 636，936，那么6，936。性质 3：如果 m、n 都能整除 a，且 m 和 n 互质，那么 m
2、 与 n 的积能整除 a。即：如果 ma，na，且（m，n）=1，那么（mn）a。例如：如果 272，972，且（2，7）=1，那么 1872。性质 4：如果 a 能整除 b，b 能整除 m，那么 a 能整除 m。即：如果 ab，bm ，那么 am。 必要条件：（1）a、b、c 三个数是整数（2）b0（3）ab=c 结论：整数 a能被整数 b整除，或 b能整除 a，则 a叫做 b的倍数，b叫做 a的因数。记作：ba整数 a 除以整数 b（b0）等于 c（c 是整数且没有余数） ，那么说 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a，a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的因数。例：如果 714，142
3、8，那么 728。4. 数的整除特征（1）能被 2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是 2、4、6、8、0），那么它必能被 2整除。（2）能被 5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0或 5，那么它必能被 5整除。（3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，那么它必能被 3（或 9）整除。（4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4（或 25）整除，那么它必能被 4（或 25）整除。例：1864 能否被 4整除？解：1864=1800+64，因为 464， 4 是 1864的因数，1864 是 4
4、的倍数，所以 41864。（5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被 8（或 125）整除，那么它必能被 8（或 125）整除。例：29375 能否被 125整除？解：29375=29000+375，因为 125375，125 是 375的因数，375 是 125的倍数，所以 12529375。（6）能被 11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被 11整除，那么它必能被 11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位)例：判断 13574是否是 11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与
5、偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0。因为 0是任何整数的倍数，所以 110。因此 13574是 11的倍数。例：判断 123456789这九位数能否被 11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是 97531=25，偶数位上的数字之和是 864220.因为25205，又因为 11 5，所以 11 123456789。（7）能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。例：判断 1059282是否是 7的倍数？解：把 1059282分为 1059和 282两个数。因为 1059-282777，又因为
6、 7777，所以 71059282。因此 1059282是 7的倍数。例：判断 3546725能否被 13整除？解：把 3546725分为 3546和 725两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821分为 2和 821两个数，因为 8212819，又 13819，所以 132821，进而 133546725。二、典型例题详解猜猜会是什么数？【例 1】：一个 856 五位数，能被 3、4、5 整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？解：先将 856 ，看做 856ab。3856ab，则 38+5+6+a+b，319+a+b，a+b=2 或 a+b=5或 a+b=8。4856ab，则
7、 4ab，ab=偶数5856ab，则 b=0或 b=5，又ab 为偶数，b=0a+b=2 或 a+b=5或 a+b=8，且 b=0，a=2 或 a=5或 a=8当 a=2，b=0 时，这个数为 85620；当 a=5，b=0 时，这个数为 85650；当 a=8，b=0 时，这个数为85680。答：五位数中最小的一个是 85620。【例 2】：一本老账本上记着：72 只桶，共 67.9 元，其中处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。解：先将 67.9 ，看做整数 a679b。72=89，且（8，9）=1，8a679b，且 9a679b。若 8a679b，则 879b，所以 b=2。若 9a679
8、b，b=2，则 9a6792，9a+6+7+9+2，9a+24，所以 a应是 3。所以这个数应是 答：这笔账应是 元。【例 3】：173 是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6 整除。先后填入的三个数字的和是多少？方法一 试商法解： 方法二 倍数特征解：三、课后作业1. 在 中填入适当的数字，使所组成的数能够被4整除。78 4 7653 8633. 一个六位数 2356 是 22的倍数，那么这样的六位数中，最大的一个是多少？2. 71450至少加上多少后就能被 4整除？4. 如果两个数的和是 64，这两个数的积可以整除 4875，那么这两个数的
9、差是多少？5.一位采购员买了同样的 72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只能看出： 173. 元。你能算出热水杯的单价吗？第一讲 整数问题第 2课 倍数与因数（一）一、知识要点1. 质数与合数质数：一个数除了 1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。 （素数）合数：一个数除了 1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1 不是质数，也不是合数。2. 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：30 分解质因数。解：30=2 35 答：2、3 、5 是
10、30 的质因数。分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数100 以内的质数（要会背的）：2、3、5、7、 11、13、 17、19、 23、29、 31、37、 41、43、 47、 53、59、 61、67、 71、73、 79、 83、89、 97.3. 公因数与公倍数公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。一个数的因数的个数是（ ）的，倍数的个数是（ ）的。几个数的公因数的个数是（ ）的，公倍数的个数是（ ）的。4. 最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。a、b
11、 的最大公因数=(a，b)最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。a、b 的最小公倍数=a、b1 83 02933 5用公有的质因数2除用公有的质因数3除除到两个商是互质数为止15（18，30）=23=6 18，30=2335=90二、典型例题详解【例 1】五年级三个班分别有 30、24、42 人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？解： 30=23524=232242=237（30，24，42）=23=6（人）306=5（个）246=4（个）426=7（个）547=16（个
12、）答：每组最多可以分 6人，一共可以分 16个组。【例 2】有一种长 16厘米，宽 12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？用短除法计算：解：16=222212=22316，12=22223=48（厘米）4816=3（块）4812=4（块）34=12（块）答：最少需要 12块扣板。【例 3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的 7倍，过几年是你的 6倍，再过若干年就分别是你的 5倍、4 倍、3倍、2 倍。 ”求出甲、乙现在的年龄。解：甲现在的年龄是乙的 7倍，则甲的年龄比乙大 6倍；当甲的年龄是乙的 6倍时，则甲的年龄比乙大 5倍；当甲的年龄是乙的 5倍时，则甲的年龄比乙大
13、 4倍；当甲的年龄是乙的 4倍时，则甲的年龄比乙大 3倍；当甲的年龄是乙的 3倍时，则甲的年龄比乙大 2倍；当甲的年龄是乙的 2倍时，则甲的年龄比乙大 1倍；甲、乙的年龄差是 6、5、4、3、2 的公倍数。6，5，4，3，2=65432=60（岁）60（7-1）=10（岁）10+60=70（岁）答：甲的年龄是 70岁，乙的年龄是 10岁。【例 4】写出三个小于 20的自然数，它们的最大公因数为 1，但两两均不互质，共有几组?解：假设这三个数分别是 a、b、ca、b、c 两两不互质，且 a20，b20，c20，则两两间的质因数互不相同且乘积小于 20（a，b）=2 或（a，b）=3 或（a，b）
14、=5；（a，c）=2 或（a，c）=3 或（a，c）=5；(b，c）=2 或 (b，c）=3 或 (b，c）=5；a，b，c 三数有可能是 23=6，25=10，35=15，26=12，36=18。又 （a，b，c）=1；（6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=答：共有三组，分别是（6、10、15） ， （10、12、15） ， （10、15、18） 。三、课后习题用短除法计算：1. 求 56，36，284 的最小公倍数。3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45 秒钟、1 分 15秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在
15、起点相会？5. 把一张长 120cm，宽 80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？2. 有 336个苹果、252 个梨子、210 个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？4. 有一个表，每走 9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午 12点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？6. 用一个数去除 31，61，76 都余 1，这个数最大是多少？第 3课 倍数与因数（二）一、知识要点1. 最小公倍数与最大公因数之间的关系定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。即：如果（a
16、，b）=d，那么（ad，bd ）=1定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即：a，b （a， b）=a b定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数二、典型例题详解【例 1】甲数是 36，甲、乙两数的最大公因数是 4，最小公倍数是 288，求乙数。解：设乙数是 a36a=4288a=428836a=32答：乙数是 32。【练一练】甲数和乙数的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，且小数不能整除大数，求这两个数。【例 2】已知两数的最大公因数是 21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：设这两个数分别为 a、b12621=66=32 或 6=16a=
17、321=63 a=121=21b=221=42 b=621=12663+21=84 21+126=147答：这两个数的和是 84 或 147。【练一练】两个自然数的和是 56，它们的最大公因数是 7，求这两个数。【例 3】两个自然数的和是 50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。解：设这两个自然数分别是 5a、5b5a+5b=50 a+b=10(a，b)=1 且 a+b=10 或 91ba73当 时，5a=5，5b=45 5b-5a=40当 时，5a=15 ，5b=35 5b-5a=2073ba答：这两个数的差是 40 或 20.【练一练】已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公因数是
18、 31，求这两个数。【例 4】两个自然数的和是 54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是 114，求这两个自然数。解：设这两个数是 A、B 。且 A=am；B=bmA+B=54 ，则 am+bm=54 m(a+b)=54(A、B)=m ；a、 b 为 A、B 两数的非有公因数， (a、b)=1A、B=mabA、B(A、B)=114，则 mabm=114m(ab1)=114m(a+b)=54 且 m(ab1)=114则 m 是 54 和 114 的公因数又（54，114 ）=6，6=16=23m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3如果 m=1，则 1(a+b)=54，a+b=54；1(ab1
19、)=114，ab=115115=1115 或 115=523115+154 且 5+2354m1如果 m=6，则 6(a+b)=54，a+b=9 ；6(ab1)=114，ab=20(a、b)=1，则 20=120 或 20=451+209，4+5=9则 m=6，a=4 ，b=5；A=46=24，B=56=30如果 m=2，则 2(a+b)=54，a+b=272(ab1)=114，ab=58(a 、b)=1，则 58=158 或 58=2291+5827 且 2+2927m2（接【例 4】 ）如果 m=3，则 3(a+b)=54， a+b=183(ab1)=114，ab=39(a 、b)=1，则
20、是 39=139 或 58=3131+3918 且 3+1316m3答：这两个自然数是 24 和 30。【练一练】两个数的差是 4，最大公因数与最小公倍数的积是 252，求这两个数。三、课后作业（1 ）某数与 24 的最大公因数是 4，最小公倍数是168，这个数是多少？（2 ）已知两个自然数的最大公因数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数。（3 ）两个数的和是 70，它们的最大公因数是 7，求这两个数的差是多少？（4 ）已知两个自然数的差为 48，它们的最小公倍数为 60，求这两个数。（5 ）两个数的最大公因数是 18，最小公倍数是180，两个数的差是 54，求两个数的和。 （6 ）已知两
21、个自然数的差为 30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 450，求这两个自然数。（7 ）两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 72，这两个数的和是多少？（8 ）两个自然数的差是 3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是 180，求这两个数。复习练习 第 2课 （1 ）有一种地砖，长 20 厘米，宽 15 厘米，至少需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？（2 ）一箱鸡蛋，四个四个数多 3 个，五个五个数多 4 个，七个七个数多 6 个，这箱鸡蛋至少有多少个？（10 ）已知 a 与 b、a 与 c 的最大公因数分别是 12和 15， a、b、c 的最小公倍数是 120，求 a、b、c
22、。（3 ）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐 10 人，如果减少一辆车，正好每辆车坐 15 人，这个班共有多少人？（4 ）一条路长 96 米，从一端起，每隔 4 米栽一棵树（路两旁都栽） 。现要再每隔 6 米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？第二讲 图形的面积第 1课 巧求图形面积一、知识要点1. 基本平面图形特征及面积公式特征 面积公式正方形四条边都相等。四个角都是直角。有四条对称轴。S=a2长方形对边相等。四个角都是直角。有二条对称轴。S=ab平行四边形两组对边平行且相等。对角相等，相邻的两个角之和为 180平行四边形容易变形。S=ah三角形两边之和
23、大于第三条边。两边之差小于第三条边。三个角的内角和是 180。有三条边和三个角，具有稳定性。S=ah2形 只有一组对边平行。中位线等于上下底和的一半。 S=(a+b)h22. 基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。二、典型例题详解【例 1】已知平行四边表的面积是 28 平方厘米，求阴影部分的面积。【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）【例 2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。 （单位：厘米）【练
24、一练】求图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）【例 3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大 6 平方厘米，求 CE 的长度。【练一练】直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8 厘米，已知阴影部分的面积比三角形 EFG 的面积大10 平方厘米。求 CF的长。平行四边形 ABCD 的边长 BC=10 厘米，【例 4】两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示） ，求另两个三角形的面积各是多少？（单位：厘米）【练一练】下面的梯形 ABCD 中，下底是上底的 2倍，E 是 AB 的中点，求梯形 ABCD 的面积是三角形 EDB 面积的多少倍？【练一练】 【练一
25、练】计算下面图形的面积。一个长方形的草坪，中间有两个人行道。高是 14求草坪的面积。(单位：厘米)3228B三、课后作业1 3.求图中阴影部分的面积。单位：厘米2.5. 4.梯形 ABCD 的面积是 45 平方厘米，高 6 厘米。三角形 AED 的面积是5 平方厘米，BC=10厘米，求阴影部分的面积。6.求图形中梯形 ABCD 的面积。 （单位：厘米）下面的梯形中，阴影部分面积是 150平方厘米，求梯形的面积。正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，已知 DE 是 EC 长度的 2 倍，求：（1 ） 三角形DEF 的面积。（2 ） CF 的长。正方形 ABCD 的面积是100 平方厘米，AE=
26、8 厘米，CF=6 厘米，求阴影部分的面积。第 2课 等积变形求面积一、知识要点三角形平行四边形等底等高 的 面积相等如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的 2倍，大三角形高是小三角形高的 。如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的 3倍，大三角形高是小三角形高的 。如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的 4倍，大三角形高是小三角形高的 。如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的 n倍，大三角形高是小三角形高的 。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 2倍，大平行四边形高是小平行四边形高的 。如果两个平行四边形形底相等，
27、大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 3倍，大平行四边形高是小平行四边形高的 。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 4倍，大平行四边形高是小平行四边形高的 。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 n倍，大平行四边形高是小平行四边形高的 。二、典型例题分析【例 1】四边形 ABCD 中，M 为AB 的中点，N 为 CD 的中点，如果四边形 ABCD 的面积是80 平方厘米，求阴影部分BNDM 的面积是多少？【练一练】如图，六边形 ABCDEF 的面积是 16 平方厘米，M 、N、P、Q 分别是 AB、CD、DE、AF 的中点。求图中
28、阴影部分的面积。【例 2】如图，平行四边形 ABCD 中，AE=EF=FB，AG=2CG，三角形 GEF 的面积是 6 平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？【练一练】如图，在一个等边三角形中任意取一点 P，连接 PA、 PB、PC，过 P 点作三角形的垂线，E、F、G 分别为垂足。三角形ABC 被分成 6 个三角形。已知三角形 ABC 的面积为 40平方厘米，求图中阴影部分的面积。【例 3】下图中正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，长方形 DEFG 的长 DG=5 厘米，问长方形的宽 DE 为多少厘米？【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。 （单位：分米）【例 4
29、】两个正方形拼成一个图形，其中小正方形的边长是 4 厘米，求阴影部分的面积。【练一练】 如图， AE=ED，AF=FC，已知 ABC 的面积为 100 平方 厘米，求阴影部分的面积。三、课后作业1.平行四边形的面积为 50平方厘米，P 是其中任意一点，求阴影部分的面积。2. 长方形 ABCD，三角形 ABG 的面积为 20 平方厘米，三角形 CDQ 的面积为 35 平方厘米，求阴影部分的面积。3.ABCD 是直角梯形，其中AD=12 厘米，AB=8 厘米，BC=15 厘米，且三角形ADE、四边形 DEBF 及三角形 CDF 的面积相等，三角形 EBF（阴影部分）的面积是多少？4.如图，AD=2
30、AB，CF=3AC，BE=4BC，已知 ABC 的面积为 5 平方厘米，求 DEF 的面积。5.如图，AB=4 厘米，BC=6 厘米，AC=2CD，BE=BD，求三角形 ADE 的面积。6.图中 BD=2DC，AE=BE ，已知三角形 ABC 的面积是 18 平方厘米，求四边形 AEDC 的面积是多少？第三讲 分数的基本性质第 1课 分数的认识一、知识要点1. 分数的意义和性质分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。（分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把 1 平均分成分母份，表示这样的分子份。 ）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表
31、示其中一份的数，叫做分数单位。分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。2. 分数的分类真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数大于 1。假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于 1 或等于 1。带分数：带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。带分数与假分数的互换：带分数 假分数：分母不变,分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和。例： = =753726假分数 带分数：分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数。例： = =31432带分数 真分数3. 计算方法：分数加减法（1） 同分母分数相加减，分母
32、不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要化成最简分数。例： = =731573（2） 异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要化成最简分数。例： = = =2154630154152430分数乘除法（1） 分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。例： = =695310（2） 分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。例： = =7214（3） 分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后要化成最简分数。例： = =49892（4） 分数除以
33、整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后要化成最简分数。例： = =692127（5） 分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。例： = =3二、典型例题分析【例 1】分母是 91 的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【练一练 1】分子、分母的乘积是 420 的最简真分数共有多少个？【例 2】把一个最简分数的分子加上 1，这个分数就等于 1。（1 ）如果把这个分数的分母加上 1，这个分数就等于 ，原分数是多少？98（2 ）如果把这个分数的分母加上 2，这个分数就等于 ，原分数是多少？【练一练 2】一个分数约分成最简分数是 ，原分
34、子、73分母的和是 90，原分数是多少？【例 3】分数 的分子和分母都减去同一个整数，167所得的分数约分后是 ，求那个整数是多少？92【练一练 3】一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上 4，这个分数约分后是 ，原32来这个分数是多少？【例 4】分数 的分子减去某数，而分母同时加上65这个数后，所得的新分数化简后为 ，求某数。134【练一练 4】一个分数，分子加上 1 可约分为 ，分3子减去 1 可约分为 ，求这个分数。5【练一练 5】分数 的分子、分母同时加一个自然12数，新分数化简得一个分数 ；求这个自然数。【练一练 6】 是最简真分数， 可取的整数共487aa有多少个？
35、三、课后作业【1 】 分母是 51 的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【2 】 一个最简分数的分子缩小 5 倍，分母扩大 9 倍后是 ，原分数是多少？27【3 】 的分子、分母同时加上多少后可以约分为 ？1 31【4 】 一个分数，如果分子加上 16，分母减去 166，那么约分后是 ；如果分子加上 124，分母加上43340，那么约分后是 ，求原分数是多少？21【5 】 填空题：（列式、计算、填空）(1)一个最简真分数的分子、分母之积是 30，这个最简真分数是 。(2)分母是 85 的真分数共有 个，分母是 85的最简真分数共有 个。(3)一个最简真分数，把它的分母扩大 5 倍，而分子缩小
36、 4 倍，化简后是 ，求这个最简真分数是 521。（4 ）一个最简真分数，分子、分母之和是 15，这个最简真分数是 。【6 】 一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上 3 后，这个分数约分为 ，求原分数是43多少？【7 】 分数 的分子、分母同时加同一个自然数，新12分数化简后得 ，求这个自然数。第 2课 比较分数大小一、知识要点1. 分数的基本性质分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。2. 比较分数大小的基本方法 分母相同：分母相同的分数，比较分子，分子大的分数大。 分子相同：分子相同的分数，比较分母，分母小的分数大。 假分数与真分数：假
37、分数大于真分数。3. 分子、分母都不同的两个分数：先通分，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。4. 比较分数大小的巧算： “通分子” 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 倒数比较大小。分数 m 和 n，如果 ，那么 mn。1 大分数比较大小若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母与分子相加得到的和较大的分数比较大；若两个假分数的分
38、子与分母的差相等，则分母与分子相加得到的和较小的分数比较大。 借助第三个数比较大小对于分数 m 和 n，若 m-kn-k ，则 mn 。对于分数 m 和 n，若 mk ，kn，则 mn。对于分数 m 和 n，若 k-m k-n，则 mn 。5. 典型 8 例题【例 1】把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列。（1 ） 、 、 、52701638，12，20，60=120= = = =8151270127= = = =2060364 174127 85603（2） 、 、 、71130，15，20，12=60= = = =2305460345260= = = =1711【练一练 1】把下面的分数
39、按从小到大的顺序排列：、 、 、35207635分数 、 、 、 、 中，哪一个最大？175963074615 516024560 7312【例 2】比较 和 的大小5871 = 1 =743874 5875【例 3】已知 a= ，b= （m ，n 都是非零自然n1数，且 mn ） ，a，b 的大小关系是（ ）A. 可能 a=b B. a 一定大于 b C. 有时 ab D. a 一定小于 b如果 a= ，b= = ， ，b a21321如果 a= ，b= = ， ，b a87987【练一练 2】比较 和 的大小45397【练一练 3】下列分数中最大的是（ ）A. B. C. D. 9898【
40、例 4】比 大，比 小，分子是 17 的分数共有多7231少个？2，1，17=34= = = =729431402172=34 1192=591 1022=51答：分母可以是：51， 52， 53，54，55 ，56，57，58，59 共 8 个。【练一练 4】在下面的 中填入适当的整数，使不等式成立。 57170【练一练 5】在 、 、 、 这四个分？146530974、数中，最大的是哪个？最小的是哪个？【练一练 6】写出三个大于 而小于 的最简真分数。734【练一练 7】分子是 3，比 小，但与 最接近的657分数是哪一个？【练一练 8】已知 ，、 为连续自然数，1954求和。二、课后作业
41、【1 】 将 、 、 、 、 、 从小到大排4367029483125948列，排在第三个位置上的数是多少？【2 】 把五个分数 、 、 、 、 按从小5712947016239到大的顺序排列。【3 】 设 a= ，b= ，试1234567892081345679比较 a 与 b 的大小。【4 】 在下面的 中填入适当的整数，使不等式成立。里应填的整数有哪些？0.25 0.2617【5 】 比较 和 的大小。490873【6 】 比 大，比 小，分母是 40 的最简分数有多4107少个？【7 】 比较 与 的大小。2108743【8 】 有七个数， ， ， ， ， 是，24.0736142.0
42、61其中的五个，已知从小到大排的第三个是 ，求从大到小排的第三个数。第四讲 行程问题第 1课 行程中的追及问题一、知识要点1. 行程中的基本数量关系：路 程 =速 度 时 间2. 追及问题中的基本数量关系：路 程 差 （ 追 及 路 程 ） =速 度 差 追 及 时 间路 程 差 （ 追 及 路 程 ） 速 度 差 =追 及 时 间路 程 差 （ 追 及 路 程 ） 追 及 时 间 =速 度 差3. 追及问题中的应注意的规律：追 赶 者 所 用 的 时 间 =被 追 赶 都 所 用 的 时 间 =追 及 时 间二、典型例题【例 1】一辆面包车的速度是每小时 60 千米，在面包车开出 30 分钟
43、后，一辆小轿车以每小时 84 千米的速度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车，多长时间能追上？追及时间追 及 路 程 【练一练 1】一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两人同时从甲地出发去乙地。自行车每小时行 18 千米，摩托车每小时行 45 千米。自行车先出发 1.5 小时，摩托车沿着同一条路线追赶自行车，追上自行车时，摩托车行了多少千米？面包车小轿车追及时间先行 30 分钟60（ 3060）=30（千米）30（84-60）=1.25 （小时）1.25 小时=1 小时 15 分钟答：小轿车需要 1 小时 15 分钟追上面包车。解题过程中用到的公式路程差（追及路程）速度差=追及时间【例 2】
44、甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 35 千米。途中甲车因故障修车用了 3 小时，结果甲车比乙车迟 1 小时到达目的地。两地间的路程是多少千米？35（3-1）=352=70（千米）70（40-35）=70 5=14（小时）4014=560（千米）答：两地间的路程是 560 千米。【练一练 2】红星小学组织学生步行去郊游，步行的速度是每分钟 60 米，队尾的老师以每分钟 150 米的速度赶到排头，然后立即返回共用的了 10 分钟，学生的队伍有多长？【例 3】兄弟两人同时离家去上学，哥哥每分钟走 90米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时，发现忘了带课
45、本，立即沿原路回家去取，行到离学校 180 米处与妹妹相遇，他们家离学校有多远？1802（90-60）=36030=12（分钟）9012-180=900（米）答：他们家离学校 900 米。【练一练 3】小红每分钟行 80 米，小英每分行 60 米，两人在同一地点同时相背而行，走了 3 分钟后，小红掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？【例 4】小华、小丽和小霞三人都要从甲地到乙地，早上 6 时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小时走 5 千米，小丽每小时走 4 千米。小霞上午 8 时才从甲地出发。傍晚 6 时，小华和小霞同时到达乙地。小霞什么时间追上小丽的？【练一练 4】小明从家里出发，步行去公园。 10 分钟后，爸爸骑自行车从家里出发，在离家 800 米的地方追上小明，发现忘了带照相机，立即回家去拿。拿到后立即追赶小明，在离家 1200 米的地方又追上小明，求两人的速度各是多少？
