1、1 2专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式： 当且仅当 a = b 时，“=”号成立；，、 )(222 Rbaabba 当且仅当 a = b 时，“=”号成立；，、 )( 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立；，、 )(333 Rcbaabccba ,当且仅当 a = b = c 时,“=” 号成立.)(3 、注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“ 等”； 熟悉一个重要的不等式链： 。ba122ab2二、函数 图象及性质()(0)bfxa、(1)函数 图象如图：f、(2)函数 性质：0)(baxf、值域： ；),2,单调递增区间： ，
2、；单调递减区间： ， .(,ba, (0,ba,0)三、用均值不等式求最值的常见类型类型：求几个正数和的最小值。例 1、求函数 的最小值。21()yxx解析： 21()yxx21()()x211()2()xx，32(1)x35当且仅当 即 时，“= ”号成立，故此函数最小值是 。2()2x52评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值： 23(3)0)2yxx2sinco(0)2yx解析： ，, ，2()(32)yxxx3()1x当且仅当 即 时
3、，“ =”号成立，故此函数最大值是 1。31 ，则 ，欲求 y 的最大值，可先求 的最大0,sin0,cos 0y2y值。,242sincoyx2sisx221(insco)xx 2231sincos4()7x 当且仅当 ，即 时 “=”号成立，22ico0)tatar故此函数最大值是 。39评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若 x、y ，求 的最小值。R4()fx)10(x解法一：（单调性法）由函数 图象及性质知，当 时，函数ba、
4、(0,1x是减函数。证明：任取 且 ，则4()fx1,(,x120xxab2aboy3 4，1212124()()()fxfxx2112()4x 124()x ， ，则 ，12012120,1212()0()()ffff即 在 上是减函数。故当 时， 在 上有最小值4()fx(,x4fx,5。解法二：（配方法）因 ，则有 ，01x4()fx2()易知当 时， 且单调递减，则 在 上也是减函数，01x2x2()4fx(0,1即 在 上是减函数，当 时， 在 上有最小值 5。4()f(0,1xf,解法三：（拆分法） ，)fx)(3(12x5当且仅当 时“=”号成立，故此函数最小值是 5。1评析：求
5、解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型：条件最值问题。例 4、已知正数 x、y 满足 ，求 的最小值。81y2xy解法一：（利用均值不等式） ,816()0xyxy16028xy当且仅当 即 时“=” 号成立，故此函数最小值是 18。816xy2,3解法二：（消元法）由 得 ，由 ，则81xy8x0088xyx又。2xy2(8)16162(8)0xxx162(8)08x当且仅当 即 时“= ”号成立，故此函数最小值是 18。,3y此 时解法三：（三角换元法）令 则有28sin1coxy28sin1coxy则： 28sincoxyx2
6、22222se8(t)(ta)108cotanxxxx，易求得 时“=”号成立，故最小值是 18。210(t)(a)181,3y此 时评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。82()28xyxyx类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、已知正数 满足 ，试求 、 的范围。、 3yx解法一：由 ，则 ，0,xyx2y即 解得 ，2()013yx(舍 )或当且仅当 即 时取“=” 号，故 的取值范围是 。3xy且 xy9,)又 ，23()2()4()0y2()6xxy舍 或当且仅当 即 时取“=” 号，故 的取
7、值范围是 。xy且 xy,)解法二：由 ， 知 ，0,3(1)3yyx1则： ，由 ，31yx0x则： ，22()5()4(1)51x 42(1)59x当且仅当 ，并求得 时取 “=”号，故 的取值范围是 。41(0)3xx即 3yy,)5 6，314441()2(1)26xyxxx当且仅当 ，并求得 时取 “=”号，故 的取值范围是 。41(0)即 3yy9,)评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例 1. 求函数 的最值。yx9错解： xx413623612365xx当且仅当 即 时取等号。所以当 时，y 的最小值为 25，此函数
8、没有最大值。36分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数 的定义域为 ，所以须对 的正负加以分类讨论。yx49， ，0x正解：1）当 时，x025361361xxy当且仅当 即 时取等号。所以当 时， ymin252）当 时， ， x0x360， xx3636112)(13y当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时， .x6xx6ymax132例 2. 当 时，求 的最小值。0y492错解：因为 xxx622，所以当且仅当 即 时， 。49243yxmin2183分析：用均值不等式求“和” 或“ 积”的最值时，必须分别满足“ 积为定值”或“和为定
9、值”，而上述解法中 与 的积不是定值，导致错误。4x92正解：因为 yxxx04929329362，当且仅当 ，即 时等号成立，所以当 时， 。236ymin3例 3. 求 的最小值。yxR254()错解：因为 ，所以xxx222224141ymin2分析：忽视了取最小值时须 成立的条件，而此式化解得 ，无解，22 x23所以原函数 取不到最小值 。y正解：令 ，则txt24yt1()又因为 时， 是递增的。所以当 ，即 时， 。1tt2x0ymin52例 4.已知 且 ，求 的最小值.Ryx,yxyxu错解： , , 的最小值为 .44182xyu8分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条
10、件分别为 和 ，而这两个式子不能同yx41时成立，故取不到最小值 .8正解： 9455)41( xyyxu当且仅当 即 时等号成立. 的最小值为 .6,3u9综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；7 8二可定：必须满足“和为定值”或“ 积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值 ”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项例 1：已知 ，求函数 的最大值。54x1425yx解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进0 1(42)5xA42x行拆
11、、凑项， ， ，,50xx3yx1当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。1541maxy技巧二：凑系数例 2. 当 时，求 的最大值。(82)yx解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。2(8)x()yx当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。(82)x技巧三： 分离例 3. 求 的值域。710()y解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元
12、，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(+054=5ttty t）当 ,即 t= 时, （当 t=2 即 x1 时取“”号）。9yt技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。()afx例：求函数 的值域。254xy解：令 ，则24()xt254xy221(2)4tx因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,ttt1t,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。y,2,52y所以，所求函数的值域为 。5,2技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 ，且 ，求
13、的最小值。0,xy19xyxy解： ，,19106yx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。9yxxy4,2min16xy巩固练习：1、已知： 且 ，则 的最大值为( )bnma22,anm(A) (B) (C) (D)b2b2ba2、若 ，且 恒成立，则 a 的最小值是( )Ryxa, yxx(A) (B) (C)2 (D)123、已知下列不等式： ； ；)(3R,(3235 Rbab .其中正确的个数是( )1(2b(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个4、设 ，则下列不等式中不成立的是( )Rba,(A) (B) (C) (D)4)( ab2221abab5、设
14、 且 的最大值是( ), 24,1Sb(A) (B) (C) (D)12226、若实数 满足 ，则 的最小值是( )a, ba3(A)18 (B)6 (C) (D)2439 107、若正数 满足 ，则 的取值范围是 .ba,3baa8、若 ,且 ，则 的最小值为 . 基本不等式Ryx12yxyx知识点：1. (1)若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取ba, ab2R,2baba“=”）2. (1)若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取*,R*,“=”）(3)若 ，则 (当且仅当 时取“=”）*,ba2baba3.若 ，则 (当且仅当 时取“=”）0x1x1x若 ，则 (当且仅当 时取
15、“=”）2若 ，则 (当且仅当 时取“=”）x-2xx即 或 ba4.若 ，则 (当且仅当 时取“=”）若 ，则0abab 0ab(当且仅当 时取“=”）2-2即 或 ba5.若 ，则 （当且仅当 时取“=”）Rba,)(2ba注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1） y3 x 2 （2） y x12x 21x解：(1)y3x
16、 2 2 值域为 ，+）12x 2 6 6(2)当 x0 时，yx 2 2；1x当 x0 时， yx = （ x ）2 =21x1x值域为（，22 ，+）解题技巧技巧一：凑项例 已知 ，求函数 的最大值。54x1425yx解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进0 1(42)5xA42x行拆、凑项，5,4xx142354yxx21当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。1 maxy技巧二：凑系数例： 当 时，求 的最大值。(82)yx解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将(82
17、)x凑上一个系数即可。(82)yx当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。(82)yx变式：设 ，求函数 的最大值。30)3(4y解： 2x0x 2932)3(2xxx11 12当且仅当 即 时等号成立。,23x23,04技巧三： 分离技巧四：换元例：求 的值域。2710()xyx解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(+05=ttty t）当 ,即 t= 时, （当 t=
18、2 即 x1 时取“”号）。49yt技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 的单调性。()afx例：求函数 的值域。254xy解：令 ，则2()t254xy221(2)4tx因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,ttt1t,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。y,2,52y所以，所求函数的值域为 。5,2技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy19xyxy错解： ，且 ， 故 , 199212xyxy。min12xy错因：解法中两次连用均值
19、不等式，在 等号成立条件是 ，在2xyxy等号成立条件是 即 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利192xy19x用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解： ，190,xy19106yxxyx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。4,2min16xy技巧七例：已知 x， y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2 前面的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：
20、x 即 x x 34 1 y 2 2342技巧八：已知 a， b 为正实数，2 b ab a30，求函数 y 的最小值.1ab13 14分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一： a ， ab b30 2bb 130 2bb 1 2 b 2 30bb 1由 a0 得，0 b15令 t b+1，1 t16 ， ab 2（ t ）34 t 2 8 2
21、t 2 34t 31t16t16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3， a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30 ab a2 b a2 b2 30 ab22 ab 2 ab令 u 则 u22 u300， 5 u3ab 2 2 2 3 ， ab18， yab 2118点评：本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；如何ab2）（ R,由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间30a）（ ,abab与的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进）（ ,而解得 的范围.b技巧九、取平方例: 求函数 的最大值。152()2yxx解析：注意到 与 的和为定值。
22、52(1)4(2)4(1)(52)8xx又 ，所以0yy当且仅当 = ，即 时取等号。 故 。21x5x32max2y应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知 a、b、c ，且 。求证：R1abc18abc分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘，又，可由此变形入手。12abc解： a、b 、 c ， 。 。同理 ，R1c2abc12acb。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得12c。当且仅当 时取等号。128bcababA13abc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。0,xy19xyxym解：令 ，,0,k191.k091yxk。 ，103216,6应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则 的大小关系是 .)2lg(),l(g21,lg,1 baRbaQbaPba RQP,分析： 015 16（21Qpbabalg)lgRQP。QR21l(
