1、2007.5 12 2007.5第二章 位场球谐分析的基本理论球谐分析是卫星重力和磁场数据分析解释主要工具。地球外部的重力场可以表示成球谐级数形式，同时，通过不同阶次的球谐展开，可以对地球重力场进行分析，以达到显示地球重力场特征，进而研究地球重力异常各种成因的目的。本章主要介绍论文所涉及的球谐分析的一些基本理论。2.1 位场拉普拉斯方程的解可以证明，地球外部引力场是调和的，其满足拉普拉斯方程。在不同的坐标系中，拉普拉斯方程有不同的形式，为了便于讨论，本节分别对直角坐标系和球坐标系中拉普拉斯方程的求解进行讨论。2.1.1 直角坐标系中拉普拉斯方程的解假设 V 表示地球引力位，其为直角坐标系中空间
2、点(x, y, z)的调和函数，则有 2V=0，即(2-1)022zyx用分离变量法解方程，令 )()(,(zZyYxXzyxV代入方程（2-1）则有 0 ZYX式中 X, Y, Z分别为 X, Y, Z 对 x, y, z 的二次导数。2007.5 3解方程，得 V(x, y, z)的一般表达式 )exp()sincos()sincos(, 2/120 zkykDykCxkBkAZYX nmnnmmm 其中 为待定常数，根据边界条件来确定。nDCB,2.1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的解在球坐标系中，引力位 V 可表示为空间点(r, , )的函数，即 V(r, , )，其中 r 为点的坐标径
3、向距离， 为余纬度， 为经度，如图 2-1 所示。引力位 V 的拉普拉斯方程可表示成 (2-2)0sin1sini11 2222 rrrr PX YZO rP 图 2-1 球坐标系同理，可以用分离变量法解方程(2-2)，即令 )()(LTrRV4 2007.5代入方程(2-2) ，则有(2-2a)01sinisin 222 LTTrR上式中只第三项与 有关，则第三项是一常数。令(2-3)221mL其中 m 是整数，可解得 BAsinco代入方程(2-2) ，则有(2-4)22 sinsiin11 mTTrR从上式可以看出，左边第一项只与 有关，第二项只与 有关，则两项都是常数。r令(2-5)n
4、rR221这里 n 为整数。解方程(2-5) ，可得 )1(nnDrCR当 r 时，V 有限，可知 C=0. 将(2-4) 和(2-5)代入方程(2-2a)，则有(2-6)nmTT2sisini12007.5 5方程(2-6) 解的形式为 )(cosmnPKT其中 为连带勒让德函数，其中 m 是整数， 是常参数。mnK当 m, n 取不同的整数值时，方程(2-3) 和(2-5)的解是特解，考虑到位场的叠加性质，将所有这些特解累加起来， 的一般表达式可写成),(rV(2-7)(cos)sicos)1),(0 mnnnmmnPrV其中 和 是常参数。mn可以证明，地球外部引力位的球谐表达式可以写成
5、(2-8) )(cossincos1),(20 mnmnPSCrarGMV其中 和 是通常所称的球谐系数。mnCS2.2 勒让德函数与连带勒让德函数2.2.1 勒让德与连带勒让德函数的一般形式及其递推公式勒让德函数球谐函数的核心组成部分。根据上一节方程(2-6)，把解代入，可得)(cosmnPkT 0)(cossin)(cosisi1 22 mmn P当 m0 时，把 x = cos 代入，可得到勒让德方程，即（2-90)()2)(1( 22 xPnPnn6 2007.5）解方程(2-9) ，可得勒让德函数表达式，即 nnndxxP)1(!2)(2显然，勒让德函数的级数表达形式为(2-10)s
6、lnnEssn xsxP2)2(0 )!(!21其中 为 中最大的整数值。)2(如图 2-2 所示，勒让德函数具有以下性质：(1) 当 是偶数时 是偶函数， 是奇数时 是奇函数;l)(xPl l)(xPl(2) 在1 ，+1的区域内有 个零点。)(xl图 2-2 (a) 函数 P0(x)P6(x)在区间-1,1上的图形；(b) 函数 P6(x)在球面上的图形，其中 x=cos ，灰色和白色分别代表正负区域。2007.5 7当 m 0 时，把 x = cos 代入，方程 (2-9)变成连带勒让德方程，即 0)(1()2)()1( 222 xPmlxPx lmll解方程可得连带勒让德函数微分表达式
7、为 lmml dxPxP)()1()2连带勒让德函数级数展开形式可写成(2-11)msllmlEssml xslxP 2)2(0 )!()!211()利用(2-10) 及(2-11)式可以计算勒让德函数。然而，计算高阶勒让德多项式时不方便的，需要导出其递推公式。由(2-12)(cos1)(cos12)(cos1 lll PlP(2-13)1mlmlml l(2-14)(cossin)(cosin)(co11 lll P由此可知，把 m0 代入(2-13)即可得到(2-12)，因此(2-13)是一个通式。由此可得，与勒让德多项式导数有关的四个基本递推公式为(2-15)(cos)1(cos)(co
8、s1 lll PPP(2-16)1 lll (2-17)(cos)2()(cos)(cos1 lll8 2007.5(2-18)(cos)(cso)(cssin12 lll PP其中 表示对多项式的求导。k与连带勒让德函数有关的四个基本递推公式为(2-19)(cos)1()(cos)()(cos)12( 1 mlmlml PlPPl (2-20)sin1 lll(2-21)(cos)1)()(cos2)(cos)2( 1 mlmlml PlPl(2-22)inssin)()(s1mllldP当 时，则令 。ml0)(co1ml2.2.2 球函数的规格化勒让德函数与连带勒让德函数在-1，1区间都
9、是非规格化的正交系。可以证明，勒让德函数 和连带勒让德函数 随着 增大函数值也增大，对于连带勒让德函数)(xPn )(xPkn来所，特别是当 时，更是如此，这对实际应用是不方便的。为了避免这种knk现象，总是将它规格化，即使得 1sinco)(412dkPkn这里 是规格化后的连带勒让德函数。规格化前后有下列关系为)(coskn )(cos)!(12)(s knkkn PnP2007.5 9式中 为克罗内克符号，当 k = 0 时值为 2，当 k 0 时值为 1.k假如有一个函数 ，它在整个单位球面上（ ）函数值时),(f 2,已知，如果展成 N 阶球谐函数，则有(2-23)(cos)sinc
10、o(),(0 kNnkknnk PBAf其中knkknAA)!(12 knkknBB)!(12上式即为规格化前后的球谐系数之间的互换关系。2.3 球谐变换 从前面的讨论可知，若已知球谐系数，就可以确定球谐函数。但如果已知球谐系数，也可以通过积分获得球谐系数，这种互换的过程通常称为球谐变换。2.3.1 球谐系数的求取根据方程(2-23)，球函数 展开成球谐级数，其中 区间为0, 2 ， 区),(f 间为0, ，其表达式为(2-23a) cossincos,10, mnmmnPbaf其中 为规格化连带勒让德函数， ， 为规格化球谐系数。cosnPna,m,10 2007.5假设 为两个与 有关的参
11、数，根据求取傅立叶级数系数的原理，有)(,mba(2-24)dfm20cos,(2-25)mfb20in,再利用勒让德转换，得(2-26)dPamnnmcos0,(2-27)bnn0,积分式(2-24), (2-25)和(2-26), (2-27)就是利用球谐函数 确定球谐系数 与),(f nma,的过程，此过程称为球谐正变换。nmb,2.3.2 球谐函数的求取用球谐系数 与 计算球谐函数 的过程，是与上述用球谐函数计算球谐nma,b, ),(f系数的过程相反，被称位球谐逆变换，若将 在球面作 N 阶球谐展开，其步骤为：(1) 求函数 和(2-28)cos,mnNnmPa(2-29),nmnb
12、(2) 根据已获得的 和 ，利用傅立叶级数展开式可求取球谐函数，即amb2007.5 11(2-30)Nmmbaf0sincos, 显然，球谐系数计算中，勒让德转换是十分重要的。实现勒让德转换方法有许多种，常见的有：标准法、直接法、快速多极法等。2.3.3 勒让德转换实现假设一个离散化的球函数 ， ， ，其截断阶次分别),(,ijiflonN.1latj.1为 ，其余纬度必须满足 . lonlatN, 0cos0iNP首先求取满足 的 ，可采用牛顿二分法计算。若 是等间距的，求球)(0jNj i谐系数第一步即采用公式(2-24) 和(2-25) ，第二步即采用公式 (2-26)和(2-27)。
13、离散化的求解球谐系数公式(2-26)和(2-27) 可写为：(2-31)jmnjNjnmwPalt )(1, (2-32)jnjjnblat1,其中 是加权，区间为-1，1。jw勒让德转换可在高斯网格上进行转换，也可以在任意网格上进行转换。首先来看高斯网格上求解过程。求解权函数的步骤如下：由(2-33)(cos1)( , imnNnjNjjilonim Pafaltl (2-34)i,1, inmnjjjloni bfblatl用矩阵表示，即12 2007.5(2-35)SmFa(2-36)FTSW其中 ， ， 是 维加权矩阵，TNmFmlata)().1TNmnSma.,Wlatlt， 是
14、维矩阵，即jjw,)1lt )(cos)(cos11latlat NmNmP勒让德综合表达式为 。与连续勒让德函数一样，离散化勒让德函数在WFTm高斯积分下也是正交的，即 )()(NmTmIWP则可反推得， ，TI0 10)(TPNIF0即有(2-37)100,0 )(cos)(s)(Nk jkijiT (2-38)ji jNiNjNiNjiT PPsn)(cos)()(14)( 0010102,0 (2-39)(cos)(coscos)( 0100012,0 iNiNiiiiT Pd从(2-39) 式中选择满足 的 ，矩阵 是一个对角矩阵，其余各项)(0jNPj jiT,0为零，即有2007
15、.5 13)()(cos14)(002, iNiNii PdW按照勒让德相关的推导公式可以推出其它计算 的表达式。iW,)(下表为截断阶次 N=8,m=1 时系数之差，其中 coeff ，经过公式计算出 ，nma, )(ma然后通过公式计算新系数 newcoeff。表 21 截断阶次 N=8,m=1 时系数之差coeff newcoeff Coeff- newcoeff1 1 1.554E-152 2 -2.665E-153 3 -8.882E-154 4 -7.105E-155 5 -4.441E-156 6 -2.665E-157 7 -6.217E-15等角网格上的勒让德转换满足纬度数据
16、是截断阶数的 2 倍，即令：。有Nlatlon2(2-40)(cos21)( , imnNnjNjjiim Paf (2-41)(i)( ,1, inmnjjji bfbjnjNjmnwPa)(21, jnjjnb)(21,其中权函数14 2007.5)412)(sin124)(sin20NkjkNjwj 表 2-2 为截断阶次 N=8,m=1 时系数之差，其中 coeff ，经过公式计算出 ，nma, )(ma然后通过公式计算新系数 newcoeff。表 22 截断阶次 N=8,m=1 时系数之差coeff newcoeff Coeff- newcoeff1 1 -2.068E-082 2
17、-2.558E-083 3 -6.67E-084 4 -4.25E-085 5 -1.271E-076 6 -3.07E-087 7 -2.739E-078 7.963435 0.0365655从表 2-1 和 2-2 可以看出，相同截断阶次 N=8，而 m=1 时，所求系数与原来系数之差所处的数量级不在同一水平上，高斯网格法所求精度为 ，而等角网格法所求精度为150，特别是最后一个系数相差较大。因此高斯网格法优于等角网格法。7102007.5 15第三章 卫星重力异常处理方法研究由于重力异常所反映的密度不均匀体来自于上自地表，下至上地幔的多种因素叠加的结果，此外，测量数据还存在着各种干扰和误
18、差；而我们所研究的对象往往是相对具体的、明确的。所以，在开展解释工作之前，需要对重力异常数据进行适当的处理。重力异常资料处理主要包括三个方面的内容：压制误差与干扰、异常区分、异常转换，其目的都是为突出研究对象的信息（信号） 、压制其它方面的影响。对于局部（或一定范围上区域）重力资料而言，可以将重力观测面近似为平面，所有资料处理问题都可作为直角坐标系中问题进行理论推导和计算。然而，对于更大区域内的，乃至全球问题，重力观测面已不能近似为平面，而是一个球面问题，需要用球坐标进行表达。这时，建立在直角坐标系的数据分析与处理方法已不能适用。3.1 场源外部重力异常的表达3.1.1 直角坐标系中的重力异常
19、重力异常的实质就是目标地质体与其周围岩石密度差异所形成的“剩余质量”对测点处所产生的附加引力在重力方向上的分力（或投影） ，因此，异常重力可以通过对场源积分获得，如图 3-1 所示。异常引力位积分表达式可写成（3-dzyxGzdmdGzyxV2121)()()(,)()()(),( 22221）式中 dm 为剩余质量积分元， (, ) 为剩余密度或密度差。根据定义，重力异常为异16 2007.5常重力位沿重力方向的导数，在直角坐标系中，重力方向可视为 Z 轴方向，即重力异常积分表达式为（3-dzyxGzVyxg 23)()()(,),( 222）当地质体为均质时，其密度为常数，即(3-2)式可
20、写成（3- dzyxGzVyxg 23)()()(),( 223）图 3-1 直角坐标系中场源积分示意图根据(3-2) 或(3-3)式，若已知地质体或剩余密度的的空间分布，便可计算出空间任意一点的重力异常。通常情况下，由于地质体或剩余密度是未知的，无法利用(3-2)或(3-3) 式计算空间重力异常，但通过地面上测量到重力异常值进行外推。按照斯托克斯定理，地面以上空间任意一点的引力值可以通过对包围场源的曲面积分2007.5 17而获得。根据位场边值问题狄义赫利问题的解，若已知边界面上重力值异常，便可以给出场源外部空间任意一点的重力异常表达式。假设地面是水平的，且与 XOY 平面重合，如图 3-2
21、 所示，不难得出平面以上空间任意一点重力异常，即（3-dzyxgzdzyxg23)()(,2),(),( 234）式中为无限平面，且有 z0，即 P 点在 XOY 平面以上。理论上，确定空间重力异常，需要对整个无限平面上的异常场值进行积分。图 3-2 直角坐标系中平面积分示意图3.1.2 球坐标系中的重力异常在球坐标系中，同样可以给出(3-3)或(3-3) 式类似的异常引力位积分表达式，即18 2007.5（3-rdrGrVsin),(),( 25）当异常体为均质时，有（3-6）rdrGrVsin1),( 2显然，当异常体可近似为一个点源时，同样可以给出场源外部重力异常的积分表达式。但当场源不
22、能近似为点源时，在给出具体异常体形态之前，各处的引力方向无法确定，以致不能直接给出重力异常的表达式。如图 3-3 所示，根据斯托克斯定理，若已知地球面表的（异常）引力位，同样可以给出地球球面（异常）引力位的积分表达式，即（3-7）dRrVrV32),(41),(上式称为泊松积分公式。图 3-3 球坐标系中球面积分示意图就地球重力场而言，重力位 W 与正常重力位 U 之差被称为扰动位 。 物理上，扰动位是指由对地球内部物质密度偏离“正常”密度（或平均密度）而成形的剩余质量以及地球表面相对地球椭球面起伏的物质共同产生的引力位。对于地球外部任一点 P (r, , )，扰2007.5 19动位 T 可
23、用球谐函数表达 21，即（3-)(cossinco),(02 knkkn PSCrRGMr8）式中 R 表示地球椭球长半轴， ， 分别为规格化的球谐系数， 为规格化knS )(coskn的连带勒让德函数。对于卫星重力数据而言，R 可近似为地球平均半径。根据 Molodensky 边值问题的边界条件，具有球体近似的重力异常球谐表达式为（3-)(cossinco)1(),( 02 knkkn PSCrRrGMrg 9）可见重力异常球谐表达式与（3-8）式的扰动位表达式具有相类似的形式。利用球函数的正交性和规格化的定义，可根据球面 上重力值异常 g(, )，计算球谐系数 21，即（3-dPkgnGM
24、RSCnknkn )(cossic),()1(42 10）需要说明，(3-9)式没有考虑垂向偏差，将大地水准面近似为地球椭球面。从(3-10) 式可知，球谐系数 和 可通过已知的地球表面上的异常 g(, )积分来确定。若 为knCS已知空间某一球面（如所有卫星轨道确定的球面等） ，则球面半径变成 r ，(3-10)式中球面重力异常应改为 g(r, )。3.2 傅立叶波数域谱与球谐函数谱的特征3.2.1 傅立叶变换及其性质20 2007.5傅立叶变换(FourierTransformation)被广泛运用于各种信号处理与分析。对位场资料而言，直角坐标系中的许多数据分析与处理的解析表达，都可以映射
25、到傅立叶频率域中。也可用频谱(波谱)表示，在频率域(波数域)中表达一般比空间域简单。若把位场异常的空间变化视为周期无限大的周期函数，于是可把位场异常分解成为各种频率的谐波，这些谐波幅度不是随时间变化，而是随空间变化。各种频率的谐波又具有各不相同的振幅和初位相，因此我们可以把位场异常看成是这种谐波所组成。这些谐波的振幅和初位相是频率的函数，此种关系分别称为振幅谱和相位谱，它们又统称为频谱。我们把位场异常转换成频谱来进行解释的方法称为频谱分析法。由于这里信号不是以时间尺度而是空间尺度进行描述，所以，在后面叙述中将“频率”改为“波数” 。用一组空间谐波来表示位场异常，在数学上称为傅里叶展开。假设在一
26、条长为 2L 的剖面上测得异常为 f (x)，f (x)是以 2L 为周期的周期函数。最简单的空间波为正弦波 (或余弦波，无本质差别)可写为 f (x) = A sin(x+ )，其中 A 为振幅； 为初位相； 为角波数(与角频率相当)， =2 f， f 为波数( 与频率相当)，f =1/2L，2L 为波长（与周期相当） 。任一复杂的异常 f (x)可以由不同频率的简单正弦波叠加而成，故 f (x)可表示为（3-)sin()(0kkAf 11）经展开后得傅立叶级数，即（3-10sinco2)(kkxbaxf 12）其中 ak, bk 称为傅立叶级数系数，它们与振幅 Ak 及 k 之间的关系为k
27、kkk kkkkbabaAArctn, cos,si,220如果在一条长为 2L 的剖面上测得异常为 f (x)，则可确定傅立叶系数，即2007.5 21（3-LkLk dxkxfbkfa)sin()1),3210()cos()13）由此可以计算出 Ak 及 k (k=0, 1, 2, 3,)。 数列A k和 k分别称为 f (x)的振幅谱和相位谱。应用欧拉公式，(3-12)式可写成复数形式：（3-kxikeCxf)(14）式中（3-,i,i,),32,10()(210 kkkLxikk baCbaCdef 15）上面我们假定了异常 f (x)是以 2L 为周期的函数，这样做往往与实际情况不符
28、合。一般 f (x)在剖面 2L 以外是为零的，即,0)(Lxff这时 x 的变化范围就可以是(, )，即为非周期函数。由于异常 f (x)绝对可积，且在任何一个区间内都是有界的，只有有限个不连续点和有限个极值点，故可表示成傅里叶积分。由傅氏级数的复数形式(3-14)式出发，考虑到 2L；经变换后，到傅里叶积分形式22 2007.5（3-deFxfxi)(21)(16）其中 F ()称为 f(x)的谱函数，即（3-defxi)()(17）由此称 f (x) F ( )为的傅立叶变换，记作 F f (x)，称 F () f (x) 为傅立叶逆变换记作 F -1 F ( )。考虑到 =2 f，(3
29、-16)和(3-17) 式可表示成（3-18）fdefFxfxifi2)()由于 F ()是复函数。有实部和虚部，故其模 A (f ) 称为振幅谱，其幅角 (f ) 称为相位谱，即（3-)(ImRearctn)()(I)()( 22fFf fFfffA19）由(3-18) 式说明，异常 f (x) 可分解为无穷多个频率 f 谐波叠加，这些谐波的振幅和初相位由(3-18) 表示。以下是几个傅立叶变换的性质：(1)叠加性若异常为 N 个异常叠加而成，即ixff1)()(2007.5 23即其谱也可叠加，则有（3-Ni xfiiNi deffFf121)()()( 20）(2)微分定理若异常函数 f
30、 (x)的谱函数为 F (f )，对异常函数求导 ，其谱的形式为dxf)(（3-dxefFfidxffi2)()(21）(3)褶积对于两个任意函数 f1 (x)和 f2 (x)，其褶积函数 f (x)定义为（3-dffxf )()()( 212122）褶积函数 f (x)的谱为（3- dxefFdxefFff fifi 22211 211 )()()()()(23）以上讨论的是一维空间异常场的问题。实际上，我们更多地需要研究二维甚至三维空间的问题。对于二维空间异常 f (x, y)，可以证明其傅立叶变换为24 2007.5（3-dvuevuFyxf yxyxfvuyxivui)(2)(2),)
31、,(),(),(23）式中 u, v 分别为 x, y 方向上的波数，F ( u, v)为 f (x, y)的二维谱。对于三维空间异常 f (x, y, z)，则傅立叶变换一般表达式可写成 28（3-dvuewvuFzyxf yxxfvwzvyuxiwzvyuxi)(2)(2),(),(),(),(24）通常，我们总是假设观测面为水平地面，异常数据是在 XOY 平面上，三维空间异常是利用二维空间异常 f (x, y)进行外推而。所以，来由于，三维空间异常 f (x, y, z)可以通过二维空间异常 f (x, y)换算得到。相应的傅立叶变换也可以通过这个途径获得，其过程如下：由于场源外部位场异
32、常 f (x, y, z)满足拉普拉斯方程，则有（3- 222220yfxzfzfyxf25）对于 f (x, y, 0)同样满足上式。由叠加性质(3-20) 式和微分定理(3-21)式可知（3-)0,()2F22 vuFyfx26）令 w = (u2+v2)1/2，并考虑(3-25)式，则(3-26) 式可写为2007.5 252222 )0,()(F zfFvuwyfx因此，位场异常 f (x, y, z)的谱可表示为 F (u, v, 0) e 2 w z (z0)。空间异常 f (x, y, z)的三维傅立叶变换由(3-25)式变成（3- dvuevuFzyxf dyxeyxfwvuz
33、vyuxizwvyuxizvyuxi 2)(2)(22)()0,(,),(0,(, 27）显然，位场异常 f (x, y, z)对 x, y, z 的导数及空间 z = -h 平面上的谱分别为（3- 22)0,(1),(F,)( vuhzyx evFuvihff 28）对(3-28) 式右边作逆变换便可得到异常对各方向上的导数和空间延拓结果，这就是利用傅立叶变换波谱分析法对异常进行分析处理。与(3-14) 和 (3-15)式类似，二维傅立叶级数形式为26 2007.5（3-),32,10,( )sin()i(ico)s()sin(co),(1)0,(,1OR,2)0(,41)sin()cos(
34、i),(, ,0, , nmdyxLmxLnxymyxfLdcbanmnLydLymxbxayxf yyxnmnnnnmn nn 29）其中 -Lx x L x ，-L y y L y 为函数 f (x, y)定义域，其复数形式为（3-),32,10,()(exp21),()(ep),(, nmdxLiCLyniyfmxiCyfnxnmLynnmy29a）2007.5 273.2.2 球函数谱的概念全球的重力场或重力异常场通常是通过球谐函数表达的，如(2-8)和(3-9) 式。对于球函数(2-23a)式，球谐系数可根据球面场值计算出来，如(2-24), (2-25)和(2-26), (2-27
35、)。这与二维位场异常傅立叶级数展开形式(3-29a)式所给出的形式类似，因此，球函数谱的概念也可以类似地给出 29。对于二维傅立叶谱 F (u, v)而言，当 v 不变时，F (u, v)相当于函数 f (x, y)在 x 方向上谱，而当 u 不变时，F (u, v)相当于函数 f (x, y)在 y 方向上谱 28，所对应的振幅谱 Ax (v), Ay (u)以及径向振幅谱 A 分别为（3-222222)()(),( ,Im,Re),(),(uAvuAvFuvyxyx30）用级数形式给出，即有（3-31）2, 2,2, nmnmnnnmnmVUAdcba其中 分别为在 x, y 方向上和径向
36、上的振幅谱。nn,根据球函数理论 29，函数 f (, )可展开成（3-),(),(0,nmnYcf28 2007.532）其中 为球谐函数，C m,n 为复球谐系数，即),(mnY（3-mnmnnneYbaci, )(),(33）式中 am,n, bm,n 为球谐系数。现在讨论一下球函数的几何意义。从前面的讨论可知，n 阶球函数可以写成（3-)(cos)sin()cos()(cos),(10, mnnmmnn PbaPY34）图 3-4 连带勒让德函数 (k=0,1,2,7)曲线簇2007.5 29下面我们分三种情况来讨论。1) 先讨论 Pn (cos)。根据 Pn (x)的性质可知，它在-
37、1, +1区域内具有 n 个零点，即有n 个不等的实根，因此它将球面划分成 n+1 个环带，但各环带的余纬度角间距不相等，其间距取决于 Pn (x)的零值间距。在这些环带上 Pn (x)的数值正负交错。对于偶阶的 Pn (x)来说，因为它是偶函数，所以它的数值对称于赤道。对于奇阶的 Pn (x)来说，因为它是奇函数，所以它的数值表现为南北半球不对称。由于 Pn (x)具有这样的性质，因此称它为带球函数，相应的系数 an 称为带系数，实际上， ， 。00na2) 再来讨论下面连带球函数对于 n = m 的情况。或 )cos(siPmn )si(cosi由于连带球函数是由勒让德连带函数与 的正弦(
38、或余弦)函数的乘积所组成，当 n = m 时，勒让德连带函数只在 0 和 1 处为零，如图 3-4；由此，连带球函数值是否为零，取决于 sin(n) 或 cos(n)函数何处取零值。显然， sin(n) 或 cos(n)在 的区间0, 2内有2n 个零值，使连带球函数为零；对应着的这些经线将球面划分为 2n 个扇区，各扇区经度角间距相等。在扇区内 sin(n) 或 cos(n)是正负交错的；这种类型的连带球函数称为扇球函数，相应的系数 称为扇系数。nba,图 3-5 连带球函数的几何意义示意图30 2007.53) 现在讨论第三种情况，即对于 n m (0 m n) 的连带球函数情况。根据勒让
39、德多项式的性质，方程 0)(xPdnm有 n - m 个实根，使函数为零，如图 3-4；这相当于 在 nm 个卯酉圈上使连带求函数为零，如此将球面划分成 nm+1 个正负相间的环带，此外，根据前面的讨论，又有 2n 个子午圈将球面划分为 2m 个正负相间的扇区，如此经纬网将球面划分为若干个球面四边形，形如“田”字状，但在两极地带为球面三角形；各个球面四边形（或球面三角形）之间正负交错，这种连带球函数称为田球函数(或格球函数) ，相应的系数 称为田系数。nmba,以上三种情况的几何意义见图 3-5，图中阴影处为负值区。综上所述，第 n 阶球函数共有 2n+1 项，其中有一个带函数，两个扇函数以及
40、 2(n-1)个田函数。如果把函数 f (, ) 从 0 阶展开到 n 阶，则其项数共有 1+3+5+(2n+1) = (n+1)2项。从上述球函数的几何意义可以更清楚的看出，所谓将函数展开成球谐级数，就是用具有上述几何意义的各种简单的周期性函数的迭加来近似地表示它。各种球函数前的系数分别称为带、扇和田球函数系数，它们的大小分别确定了各种球函数在带、扇以及田之间正负交错量的数值大小。由此可见，各种球谐系数与(3-31)式给出傅立叶级数系数类似，都是对应阶次上的幅值。若令(3-33)式给出球谐复系数 cm, n，的模为振幅 30，则有 （3-2, nnmbacK35）序列 即为函数的球谐振幅谱。),321,03,210(, nmnm 3.2.3 球函数谱与波长从二维傅立叶波数域的谱和球谐函数谱的讨论中不难发现，直角坐标系中的二维傅立叶波数域的谱反映了平面上不同波长的振幅或能量，而球谐振幅谱则反映了球面上不同角距的振幅或能量。（3-)(),(yyxx LkvALkuA
