1、极值点偏移的问题 2121()ln,(12()3(),fxaxafmfxxe.已 知 为 常 数 ）（ ） 若 函 数 在 处 的 切 线 与 轴 平 行 ， 求 的 值 ；（ ） 当 时 ， 试 比 较 与 的 大 小 ；（ ） 有 两 个 零 点 证 明 ： 21212()ln(), .fxaf xe变 式 ： 已 知 函 数 ， 为 常 数 。(1)讨 论 的 单 调 性 ；2若 有 两 个 零 点 ， 试 证 明 ： 2 012120()+sin,(1);()()(),.xfxaaffxffxx2.已 知（ 1） 若 在 定 义 域 内 单 调 递 增 ， 求 的 取 值 范 围 ；（
2、 ） 当 =-时 ， 记 取 得 极 小 值 为 若 求 证 212121121()ln-,()=()()() 5, 0,fxaxRfgfgxaxffxx 3.已 知（ 1） 若 ） 0， 求 函 数 的 最 大 值 ；（ 2） 令 -求 函 数 的 单 调 区 间 ；（ 3） 若 ,正 实 数 满 足 （ ） 证 明 ： 21212(1)(1)1,xxxxe4.设 a0,函 数 f()=ln-a,g()ln-证 明 ： 当 时 ， 0恒 成 立 ；（ 2） 若 函 数 f()无 零 点 ， 求 实 数 的 取 值 范 围 ；（ 3） 若 函 数 有 两 个 相 异 零 点 求 证 ：1212
3、 312()ln,12, 8fxaxaRf xa5.已 知 常 数 。（ ） 求 的 单 调 区 间 ；（ ） 有 两 个 零 点 ， 且 ；(i)指 出 的 取 值 范 围 ， 并 说 明 理 由 ； （ i)求 证 ：6.设函数 ，其图象与 轴交于 ， 两点，()e()xfaRx1(0)Ax， 2()Bx，且 12x（1 ）求 的取值范围；a（2 ）证明： （ 为函数 的导函数） ；120fx()fx()fx（3 ）设点 C 在函数 的图象上，且ABC 为等腰直角三角形，记 ，()yf 21xt求 的值(1)at【解】 （1） ()exfa若 ，则 ，则函数 是单调增函数，这与题设矛盾所以
4、 ，令0a 0f()fx 0a，则 ()fxlna当 时， ， 是单调减函数； 时， ， 是单调增l()fx()fxlnxa()fx()fx函数；于是当 时， 取得极小值 lnxa()fx因为函数 的图象与 轴交于两点 ， (x1x 2)，()e)faRx1(0)Ax， 2B，所以 ，即 .ln2l)0fa2e此时，存在 ；1l(f，存在 ，33lnln)lnafaa， 320a又由 在 及 上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 为所()fxl)， (l， 2ea求取值范围. （2 ）因为 两式相减得 12e0xa， 21exa记 ，则 ，设21(0)xs1212112e(e)xxx sf
5、s ，则 ，所以 是单调减函数，()esgs()0sg()g则有 ，而 ，所以 ()012exs12xf又 是单调增函数，且()exfa1212xx所以 120（3 ）依题意有 ，则 eixia(1)e0ixia12i（ ， ）于是 ，在等腰三角形 ABC 中，显然 C = 90，所以1212()x，即 ，1202， 0()yfx由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，210xy所以 ，即 ，210xy12 2112e()xa所以 ，11212()()0xa即 21()()xaxx因为 ，则 ，10221110xx又 ，所以 ， 21xt22()()attt即 ，所以 at(1).t7.已知函数
6、)xfcR（）求函数 的单调区间和极值；(（）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明)ygx()yfx1x当 时，1x(f（）如果 ，且 ，证明2x12()ffx12x（）解：f ()xfe令 f(x)=0,解得 x=1当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X ( ),11 ( )1,f(x) + 0 -f(x) A极大值 A所以 f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。,11,函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= e（）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x令 F(x)=f(x)-g(x),即 ()(
7、)xF于是 2()1xFxe当 x1 时，2x-20,从而 (x)0,从而函数 F（x）在-0,Fxe又 所 以1,+)是增函数。又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).-1e0， 所 以 1时 ， 有)证明：（1）若 2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。（2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。根据（1） （2）得 1212(),.xx不 妨 设由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而)fg2()f-)2f(x)2- .因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f(x)在区间（-)1f(x)2-2xx，1）内事增函数，所以
8、,即 2.12128. 已知函数 （12 分）xaxf)(ln)(2（I）讨论 f(x)的单调性；（II）设 a0，证明：当 时， ；ax10)1()(xaff（III）若函数 y= f(x)的图像与 x 轴交于 A、B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f(x0)0 时 f(x) f(x)即可。1)(112222 xexexexf 。)(0,)( xxgg令 ,0422 2exhexh令 )(0)( hy） 上 单 调 递 减，在 （gxxg） 上 单 调 递 减，在 （ .001)(122 yxxeey 时） 上 单 调 递 减 ， 但，在 （ )(0)( ffxf.0)(21
9、2121 x时 ，且所 以 ， 当10.已知函数 lnfxax.（1 ）当 2时，求函数 ()yf在,2上的最大值；（2 ）令 ()gxfax，若 gx在区间 (0,3)上不单调，求 a的取值范围；（3 ）当 a时，函数 ()hfm的图象与 x轴交于两点 12(,0),AxB，且120x，又 是 的导函数.若正常数 ,满足条件 .证明：x()0h解（1） ,2)( xxf函数 )(xfy在 21,1是增函数，在1,2是减函数，3 分所以 1ln2ma ff 4 分（2 ） 因为 axxg2l)(，所以axg2)(， 5 分因为 在区间 3,0上不单调，所以 0在（0，3）上有实数解，且无重根，
10、由 )(xg，有 12xa=)29,(4)1(x， （ )3,0(x） 6 分又当 8时， 0)(g有重根 ， 7 分综上 a)29,0(8 分（3 ） mxh)(，又 0)(xf有两个实根 21,x， 0ln2211x，两式相减，得 )()()ln(2212121 xm， )()l(2121xm, 10 分于是)()ln(2)()( 212112121 xxxxxh )()ln( 122121x 11 分0)(, 1x要证： 0)(21 xh，只需证：0)ln(2211x只需证：ln211(*) 12 分令),0(2tx，(*)化为 0ln1tt，只证01ln)(ttu即可 在（0，1）上单调递增，01ln,0)1(tut，()ut即0ln2xtx )(21xh14 分
