1、数学驿站 http:/例说求函数的最大值和最小值的方法例 1.设 x 是正实数，求函数 的最小值。xy32解：先估计 y 的下界。55)1(3)1(22xx又当 x=1 时，y =5，所以 y 的最小值为 5。说明 本题是利用“配方法”先求出 y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。 “举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计： 77)1(3)1(22xxy但 y 是取不到7 的。即7 不能作为 y 的最小值。例 2. 求函数 的最大值和最小值。123x解 去分母、整理得：(2y1) x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当 时，这是一个关于 x 的二次方
2、程，因为 x、y 均为实数，所以21=2(y+1)24(2y1)(y+3)0, y2+3y-40,所以 4y1又当 时，y=4;x= 2 时，y=1.所以 ymin=4，y max=1.3x说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。数学驿站 http:/例 3.求函数 ，x0,1的最大值152y解：设 ，则 x=t21,1txy= 2(t21)+5t= 2t2+5t+1原函数当 t= 时取最大值169,45x即 83例 4 求函数 的最小值和最大值2,52xy解：令 x1=t ( )1t则 tty42ymin= 51,7max例 5.已知实数 x,y 满足 1x2+y24,求 f(x)=x2+xy
3、+y2 的最小值和最大值解： )(2 6)(23),( 22yxyxyf又当 时 f(x,y)=6，故 f(x,y)max=6又因为 )212xy 21)(1),( 2yxyf数学驿站 http:/又当 时 f(x,y)= ，故 f(x,y)min=2,yx121例 6.求函数 的最大值和最小值24)1(5xy解：原函数即 1)(22xy令 (0t1) 则 y=5t2t+112xt当 x=3 时，函数有最小值 ，当 x=0 时，函数取最大值 5019例 7.求函数 的最大值|2|)(xf解：设 ，则1,21nxf(x)= |由于 01,故 f(x) ，又当 x= (k 为整数)时 f(x)=
4、,211221故 f(x)max=例 8.求函数 的最大值11362424 xxxy解：原函数即 2222 )()0()()() xf在直角坐标系中，设点 P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则f(x)=|PA|PB|AB|= 10数学驿站 http:/又当 时，f(x )= 6137x0故 f max (x) = 0例 9.设 a 是实数,求二次函数 y=x24ax+5a23a 的最小值 m，当 0a24a210 中变动时，求m 的最大值解：y=x 24ax+5a23a=(x2a)2+a23a由 0a24a210 解得： 或 a66故当 a=6 时，m 取最大值 18例 10.已知函
5、数 f(x)=log2(x+1)，并且当点( x,y)在 y=f(x)的图象上运动时，点 在 y=g(x)2,3(x的图象上运动，求函数 p(x)=g(x)f(x)的最大值。解 因为点(x,y )在 y=f(x)的图象上，所以 y=log2(x+1)。点 在 y=g(x)的图象上，所以)2,3(故)32gy)13(log2)(,xx 2222 )1(3log)1(log)3(log)()( xxxfp令 ， 则 2)1(3xu 89)4()1()1( 222 xxxu当 ，即 时， ，所以438989maxu数学驿站 http:/从而 。89log21)(maxp例 11.已知函数 的最小值是
6、 2，最大值是 6，求实数 a、b 的值。62xby解：将原函数去分母，并整理得(ay) x2+bx+(62y)=0.若 y=a，即 y 是常数，就不可能有最小值 2 和最大值 6 了，所以 y a。于是=b24(ay)(62y)0,所以 y2(a+3)y+3a 0.8b由题设，y 的最小值为 2，最大值为 6，所以(y2)(y-6)0, 即 y28y+120.由(1)、(2)得 解得：1832ba6,5ba例 12.求函数 的最小值和最大值。48)(22xxf解 先求定义域。由 最 6x8.01482x8,68)6(8)( xxxf当 x6,8，且 x 增加时， 增大，而 减小，于是 f(x
7、)是随着 x 的增加而减小，即 f(x)在区间6，8上是减函数。所以fmax(x)=f(8)=0, fmin(x)=f(6)=0 32例 13.设 x,y,z 是 3 个不全为零的实数，求 的最大值22zyx数学驿站 http:/分析：欲求 的最大值，只须找一个最小常数 k，使得 xy+2yzk(x2+y2+z2)22zyx x 2+y22 xy (1)y2+z22 yz1 x 2+y2+z22 xy+2 yz令 2 = ,则=15解： yzyxyx54,222 )2(522 yzxzyx即 22zyx又当 x=1,y= ，z=2 时，上面不等号成立，从而 的最大值为5 22zyx25例 14
8、.设函数 f:(0,1)R 定义为 求 f(x)在区qpqpxqpxf 0,1)(,1)(当 是 无 理 数 时当间 上的最大值)98,7(解：(1)若 x 且 x 是无理数，则)98,7(f(x)=x数学驿站 http:/(2) 若 x 且 x 是有理数，设 ，其中(p,q)=1,0pq,由于)98,7(x9187819788 qpqqp所 以63q+964q8，q17因此 17698819)( qqpqfxf176)5(ff(x)在区间 上的最大值)98,(176)5(f作业：1.若 3x2+2y2=2x,求 x2+y2 的最大值2.设 x,y 是实数，且 求 u=x+y 的最小值0622yx3.已知 x1,x2 是方程 x2(k2)x+k2+3k+5=0 (kR)的两个实数根，求 x12+x22 的最大值和最小值4.求函数 的最小值y43
