1、2004 年全国高中数学联合竞赛试题(1 试)第 一 试 时间：10 月 16 日一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1、设锐角 使关于 x 的方程 有重根，则 的弧度数为（ ）24cost0xA. B. C. D. 651r512or122、已知 。若对所有2(,)|3,(,)|MxyNxymb，则 b 的取值范围是（ ）,mRN均 有A. B. C. D. 6,26,223(,23,3、不等式 的解集为（ ）3212logl0xxA. B. C. D. ,)(,4)(2,44、设 O 点在 内部，且有 ，则 的面积与 的面积的ABC30OABCABOC比为（ ）A. 2 B.
2、C. 3 D. 3255、设三位数 ，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则n这样的三位数 n 有（ ）A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心， ，垂足为 B， ，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的BOP中点，则当三棱锥 OHPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A. B. C. D. 5325363263二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7、在平面直角坐标系 xoy 中，函数 在一个最小正周期长的()sinc
3、o(0)fxaxa区间上的图像与函数 的图像所围成的封闭图形的面积是_。2()1gxa8、设函数 ，且对任意:,0fRf满 足 ,xyR都 有，则 =_。(1)()(2fxyyx()f9、如图、正方体 中，二面角1ABCD的度数是_。1A10、设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 也是2pk一个正整数，则 k=_。11、已知数列 满足关系式 ，则 的值012,.,.na10(3)68,3nnaa且 1nioa是_。12、在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M（1，2）和 N（1，4） ，点 P 在 X 轴上移动，当 取最大值时，点 P 的横坐标为_。MPN三、解答题（本题满分 60 分
4、，每小题 20 分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 ，则算过关。问：2n（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。 ）14、在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点 ，点 P 到直线 BC 的距离(0,)1,(,0)ABC是该点到直线 AB，AC 距离的等比中项。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过 的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的
5、ABC斜率 k 的取值范围。15、已知 是方程 的两个不等实根，函数 的定义,2410()xttR2()1xtf域为 。（）求 ；()ma()in()gtfxf（）证明：对于 ，若 (0,)1,23)iui123sinisin1,uu。1236(tan)(t)(tan)4ggu则二四年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准
6、适当划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1、解：因方程 有重根，故24cost0x21cos4t0得0,t(in1)sin，于是 。 故选 B。526或 52或2、解： 相当于点（0，b）在椭圆 上或它的内部MN23xy。 故选 A。61,32b3、解：原不等式等价于 2231log1l00xx设 解得 。22log1,txt则 有 1t即 。 故选 C。20l,4x4、解：如图，设 D，E 分别是 AC，BC 边的中点，OB CAED则 2(1)()4OACDBE由（1） （2）得，3(2)0O即 共线，OD与且 ， 故选
7、C。332|2| ,2AECABCOOSS5、解：a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即 ,1,2.9abc（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 ，由于三位数中三个数码都相同，所1n以， 。19nC（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为 ，由于三位数中只有 2 个2不同数码。设为 a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有 。9C但当大数为底时，设 ab，必须满足 。此时，不能构成三角形的数码是2baa 9 8 7 6 5 4 3 2 1b 4，32，1 4，32，1 3，21 3，21 1，2 1，2 1 1共 20 种情况。
8、同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有 种情况。23C故 。 综上， 。22399(0)6(1)56nCC1265n6、解： ,ABOPABOHPB又。PH面 面C 是 PA 中点， C最大，OHS当 时也即 最大。OPCHV PAB OHC此时，故选 D。00262,3,tan3HOPHOBP1故 =二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7、解： ，它的最小正周期为 ，振幅为2 1()sin(),rctfxax其 中 a。由 的图像与 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为21ag、宽为 的长方形，故它的面积是 。2 21a8、解： ,(1)()(,xy
9、Rfxyfyfx对 有 2y有 =()()2fxyfx()()fyxf即 。,0,1令 得9、解：连结 ，垂足为 E，延长 CE 交 于 F，则 ，连结1DC1作 B1AB1EBDAE，由对称性知 是二面角 的平面角。,AEFAD连结 AC，设 AB=1，则 112,3.B中， ，1RtAD在 12ADE在 222413cosCAECC中 ,的补角， 。012,AEFEA而 是 06F10、解：设 ，从而2*224,pnkpnNkpnk则是平方数，设为24pn2 2,()mm则 CED1 C1A1 B1A BD F22113,4pmmnpppn是 质 数 ， 且 解 得。 （负值舍去）22(1
10、)(1),244mkk故11、解：设 1,0,.(3)(68,n nnbab则即 1 1136.2,2()3n nb故数列 是公比为 2 的等比数列，b。11002()()(2)333nnnnn ba。11 2012()()(3nni niioba 12、解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3x 上，设圆心为S（a，3a） ，则圆 S 的方程为： 222()(3)(1)xaya对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过 M，N，P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 aP值必须满足 解得 a=1
11、或 a=7。22(1)(3,a即对应的切点分别为 ，而过点 M，N， 的圆的半径大于过点10)(,)和 pM，N，P 的圆的半径，所以 ，故点 P（1，0）为所求，所以点 P 的横坐P标为 1。三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（）因骰子出现的点数最大为 6，而 ，因此，当 时，n 次出现的452,65点数之和大于 已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为 0。所以最多只能连过 42n关。 5 分（）设事件 为“第 n 关过关失败” ，则对立事件 为“第 n 关过关成功” 。nAnA第 n 关游戏中，基
12、本事件总数为 个。6n第 1 关：事件 所含基本事件数为 2（即出现点数为 1 和 2 这两种情况） ，1A过此关的概率为： 。11()()63PA第 2 关：事件 所含基本事件数为方程 当 a 分别取 2，3，4 时的正整数解组数之2 xy和。即有 （个） 。113C过此关的概率为： 。 10 分22265()()1PA第 3 关：事件 所含基本事件为方程 当 a 分别取 3，4，5，6，7，8 时的正整3xyz数解组数之和。即有 （个） 。22234567102CC过此关的概率为： 。 15 分33()1()PA故连过前三关的概率为： 。 20 分2526743PA（说明：第 2，3 关的
13、基本事件数也可以列举出来）14、解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为 。点(1),(1),0yxyxy到 AB、AC、BC 的距离依次为 。(,)Pxy123|43|4|55ddd依设， ，即222213,|6(3)|dxyy得，化简得点 P 的轨迹方程为2 26(4)50,()0xy或圆 S： 5 分2 178y2与 双 曲 线 T:8x（）由前知，点 P 的轨迹包含两部分圆 S： 230xy与双曲线 T： 2178y8因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。的内心
14、D 也是适合题设条件的点，由 ，解得 ，且知它在圆 S 上。A123d1(0,)2D直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为12ykx（i）当 k=0 时， L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 平行于 x 轴，表明 L12y与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 10 分（ii）当 时，L 与圆 S 有两个不同的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能0k有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率 ，直线 L 的方程为12k。代入方程得
15、，解得 。表明直线 BD 与(2)xy(34)0y54(,)3E或 F(-,)曲线 T 有 2 个交点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 15 分1k情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即 ） ，因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以 L1k与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 有且只有一组实数解，28780xyk消去 y 并化简得 25(817)04kx该方程有唯一实数解的充要条件是 2817k或 22(5)4()kk解方程得 ，解方程得 。3172k综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 。
16、20 分13420,715、解：（）设 22121,4,10,xxtxt则221224()()0,()t则 11212122()() xtxxfxf又 1212121221()()0()0txxtxfxf故 在区间 上是增函数。 5 分f,4t22()()()max()in()1tgtffxf10 分225181(5)6tt（）证： 222281(3)4coscoss16416(tan) (1,3)16699cos9cos9iiiii i i ii uug uu15 分33 32 211 1(cos)(16)sin)(tan)6i ii ii ugu ，而均值不等式与3 33221 11s,(
17、0,),sin(i)ii ii iu 且柯西不等式中，等号不能同时成立，20 分12313(759)6(tan)(t)(tan)46gugu2004 年全国高中数学联赛加试试卷一、 （50 分）在锐角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H，以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点，FG 与 AH 相交于点 K。已知BC=25，BD=20 ，BE=7 ，求 AK 的长。解：由题设可知： ，90,ADBECADBEC: 10 分EC又 BC=25，BD=20 ，BE=7 ，故 CD=15，CE=24.P由可解得：AD=15，AE=18. 20
18、分于是点 D 是 的斜边 AC 的中点，DE=15.RtAEC连接 DF,因为点 F 在以 DE 为直径的圆上， ，90DFE故点 F 为线段 AE 中点，AF=9. 30 分因为 G、F、E、D 四点共圆，D 、E、B 、C 四点共圆，所以 ，于是 ，延长 AH 交 BC 于 P，G:故： 40 分AKP又 H 为 的垂心，故 ， ，AP=CE=24，BCAPBC25,ABCE于是 50 分924165F二、 （50 分）在平面直角坐标系 XOY 中， 轴正半轴上的点列 与曲线yn上的点列 满足 ，直线 在 轴上的截距为 ，20yxnB1nOABABxna点 的横坐标为 。nB*,nbN（）
19、证明 ；*14,a（）证明有 ，使得对 都有 。*0n0n3121 204nbb（）证明：依题设有： ，由 得：1,nnnABb nOB，2 *22,nnbbN又直线 在 轴上的截距为 满足nABxna1020nnnbb10 分12nnba2 210,nnnb20 分22112412nnnn nnnba b，22n显然，对于 ，有 30 分10*14,naN（）证明：设 ，则*1,nnbc22 2222222 221 11111n ncnnn40 分2 *210,ncN设 ，则当 时，*2,nnSccN 1k2311343422nkk kk 。21312k所以，取 ，对 都有：409n0n03
20、1212 491204nbbS 故有 成立。 50 分3121 2n三、 （50 分）对于整数 ，求出最小的整数 ，使得对于任意正整数 ，集合4fnm的任一个 元子集中，均有至少 3 个两两互素的元素。,1,mn fn解：当 时，对集合 ：4,1,Mm若 ，则 两两互素；若 ，则 两两互素。于是 M2,232,12m的所有 元子集中，均有至少 3 个两两互素的元素，于是 存在且 。10 分n fnfn设 ，则 是集合 的子集，且该集合中任意1,tTt且 或 nT,33 个元素均不能两两互素，因此 。1f由容斥原理知： ，从而必有：236n20 分11fn因此， 。下证4,5,65,76,87,
21、98ffffff65f设 为 中的 5 个数元素，若这 5 个数中有 3 个奇数，123,xx1m则它们两两互素；若这 5 个数中有两个奇数，则必有 3 个偶数，不妨设 为偶数，12,x为奇数，当 时， ，所以 中至多有一个能被 3 整除，45,xij2,4ijx123,x至多有一个能被 5 整除，即至少有一个既不能被 3 整除又不能被 5 整除，不妨设此数为 ，x则 ， 两两互素，这就是说这 5 个数中有 3 个数是两两互素，即 。 3x4, 65f30 分又由 知：,1,1,mnmnm ，所以 ，fnf4565,76,87,98ffffff因此，当 时， 。 49123fn40 分假设当 时式成立，那么当 时：9nk1nk,1,1,65,5mmmk 由归纳假设知 时式成立，故：65k2211136kfkff 由知，当 时也成立。nk综上可知，对于任意整数 ，都有 。42nnf
