1、1全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算 _，其中区域 由直线 与两坐标轴()ln(1dDyxx D1yx所围成三角形区域.2设 是连续函数，且满足 ，则 _.)(f 20()3()dfxfx()f3曲面 平行平面 的切平面方程是 _.2xzy2zy4设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且 ，则)(9ln)(fef 1f_.2dxy二、 （5 分）求极限 ，其中 是给定的正整数.xenxx )(lim20三、 （15 分）设函数 连续， ，且 ， 为常数，求)f10(gftdAxf)
2、(lim0并讨论 在 处的连续性.()gx(四、 （15 分）已知平面区域 ， 为 的正向边界，试,|),yxyDLD证：（1） ；LxLxy eeddsinsinsinsin（2） .2sisi 5yyx五、 （10 分）已知 ， ， 是某二阶常系数xe1xexxey23线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、 （10 分）设抛物线 过原点.当 时， ，又已知该抛cbayln22100y物线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ，使此图形绕 轴旋转一周而成x1cba,x的旋转体的体积 最小.V七、 （15 分）已知 满足 ，且 ，求函数项级数)(xun 1(),2nxnue ne
3、u)1(之和.1)(nxu2八、 （10 分）求 时，与 等价的无穷大量.1x02nx2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 （25 分，每小题 5 分）（1）设 ，其中 求22()1()nnxaa |1,lim.nx（2）求 .2limxxe（3）设 ，求 .0s0(1,2)sxnnIed（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 .()ft 1,()rxygfr2gxy（5）求直线 与直线 的距离.10:xylz213:4zl二、 （15 分）设函数 在 上具有二阶导数，并且 ，()f,)()0fx，lim()0xf，且存在一点 ，使得 . 证明：方程 在 恰有两lixf
4、0x0()fx()0fx(,)个实根.3、 （15 分）设函数 由参数方程 所确定，且 ，()yf2(1)ty2d34(1)yxt其中 具有二阶导数，曲线 与 在 出相切，求函数 .()t()yt213tuedt四、 （15 分）设 ，证明：10,nnkaSa（1）当 时，级数 收敛；1n（2）当 且 时，级数 发散.()ns1naS3五、 （15 分）设 是过原点、方向为 ， （其中 的直线，均匀椭球l(,)221)（其中 ，密度为 1）绕 旋转.221xyzabc0cbal（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值.(,)六、(15 分) 设函数 具有连续的导数，在围
5、绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲)x C线积分 的值为常数.42d(0LyA（1）设 为正向闭曲线 ，证明 ；2()1xy42d()0LxyA（2）求函数 ；()（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 .C42d()Cxy42011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）求 ；1cos0inlmxx（2）.求 ；li.12nn（3）已知 ，求 .arctttxey2dyx二、 （本题 10 分）求方程 的通解.41d0y三、 （本题 15 分）设函数 在 的某邻域内具有二阶连续导数，且()fx0均不为
6、 0，证明：存在唯一一组实数 ，使得0,ff 123,k.1230 0limhkffhff四、 （本题 17 分）设 ，其中 ， ， 为 与212:xyzabcabc22:zxy1的交线，求椭球面 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.2五、 （本题 16 分）已知 是空间曲线 绕 轴旋转形成的椭球面的上半部分（S2310xyz） （取上侧） ， 是 在 点处的切平面， 是原点到切平面 的距离，0z(,)P(,)xyz表示 的正法向的方向余弦. 计算：,S（1） ；（2）d,Szxy3dSzxyzS六、 （本题 12 分）设 是在 内的可微函数，且 ，其中 ，()fx(,)()()fx
7、mf01任取实数 ，定义 ，证明： 绝对收敛.0a1ln,2,.a11na5七、 （本题 15 分）是否存在区间 上的连续可微函数 ，满足 ，0,2()fx(0)21f，()1fx?请说明理由.20df2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限 .21lim(!)n（2）求通过直线 的两个互相垂直的平面 和 ，使其中一个平面过320:54xyzl 12点 .(4,31)（3）已知函数 ，且 . 确定常数 和 ，使函数 满足方(,)axbyzue20uab(,)zxy程 .20
8、zxy（4）设函数 连续可微， ，且 在右半平面与路径()ux(2)1u3(2)d()dLxyuxuy无关，求 .,y（5）求极限 .13sinlimdcoxxt二、 （本题 10 分）计算 .20ixe三、 （本题 10 分）求方程 的近似解，精确到 0.001.1sin50四、 （本题 12 分）设函数 二阶可导，且 ， ， ，求()yfx()0fx()f(0)f6，其中 是曲线 上点 处的切线在 轴上的截距.30()limsinxfu()yfx(,)Pfxx五、 （本题 12 分）求最小实数 ，使得满足 的连续函数 都有C10()df()f.10()fxdC六、 （本题 12 分）设 为
9、连续函数， . 区域 是由抛物面 和球面()fx0t2zxy所围起来的部分. 定义三重积分 ，22xyzt0 2()()dFtfzv求 的导数 .()Ft()t七、 （本题 14 分）设 与 为正项级数，证明：1na1nb（1）若 ，则级数 收敛；lim0nnb1na（2）若 ，且级数 发散，则级数 发散.11linnanb1na2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题 6 分，共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限 .2lim1sin4nn2.证明广义积分 不是绝对收敛的.0dx3.设函数 由 确定，求 的极值.()y323y()yx4.过曲线
10、上的点 作切线，使该切线与曲线及 轴所围成的平面图形的面积30xA为 ，求点 的坐标.4A二、 （满分 12 分）计算定积分 .2sinarctd1oxxeI三、 （满分 12 分）设 在 处存在二阶导数 ，且 .证明：级数f0(0)f0limxf收敛 .1nf7四、 （满分 12 分）设 ，证明 .(),()0()fxfmaxb2sin()dbafxm五、 （满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分.试确定曲面 ，使积分 的值最小，并求333d2ddIxyzyzzy I该最小值.六、 （满分 14 分）设 ，其中 为常数，曲线 为椭圆 ，2()aaCxIry C
11、22xyr取正向.求极限 .limr七、 （满分 14 分）判断级数 的敛散性，若收敛，求其和.12nn2014 年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分）1.已知 和 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .1xye1x2.设有曲面 和平面 . 则与 平行的 的切平面方程是 .2:Szy02:zyxLLS3.设函数 由方程 所确定.求 .()yx1sind4xt0dxy4.设 ，则 .1()!nknlim5.已知 ，则 .130lixxfe20)(lixf二、 （本题 12 分）设 为正整数，计算 .n21d1coslnn
12、eIxx8三、 （本题 14 分）设函数 在 上有二阶导数，且有正常数 使得 ，()fx1,0 ,AB()fxA. 证明：对任意 ，有 .|“()|fxB2|)(|Axf四、 （本题 14 分） （1）设一球缺高为 ，所在球半径为 . 证明该球缺体积为hR，球冠面积为 ；（2）设球体 被平面2)3(hRR 12)()1()(2zy所截的小球缺为 ，记球缺上的球冠为 ，方向指向球外，求第二型曲6:zyxP面积分.ddIxyzxzy五、 （本题 15 分）设 在 上非负连续，严格单增，且存在 ，使得f,ba ,baxn.求 .banndxxf)(1)( nlim六、 （本题 15 分）设 ，求 .
13、2221n nA nnA4lim2015 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分）（1）极限 .222sinisinlm1n（2）设函数 由方程 所决定，其中 具有连续偏导,zxy,0zFxy ,Fuv数，且 则 .0uvFz（3）曲面 在点 的切平面与曲面所围区域的体积是 .21zxy,3M9（4）函数 在 的傅立叶级数在 收敛的是 .3,5,0xf, 0x（5）设区间 上的函数 定义域为 ，则 的初等函数表达,ux20xtuedux式是 .二、 （12 分）设 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.M三、 （12 分）设
14、 在 内二次可导，且存在常数 ，使得对于 ，有fx,ab,xab，则 在 内无穷次可导.fxfffx,四、 （14 分）求幂级数 的收敛域及其和函数.3021!nn五、 （16 分）设函数 在 上连续，且 . 试证：fx,1100,fxdfxd（1） 使 ；0,1x04（2） 使 .1fx五、 （16 分）设 在 上有连续的二阶偏导数，且 . ,y222xyffM若，证明： .0,0,0xyfff21,4xyfd2016 年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）1、填空题（每小题 5 分，满分 30 分）1、若 在点 可导，且 ，则 _.fxa0fa1limnnfa2、若 ， 存在，求
15、极限 .0f1f 20sicotan3l1ixxfxIe103、设 有连续导数，且 ，记 ，若 ，求 在 的表达fx12f2xzfeyzfx0式.4、设 ，求 ， .sin2xfe0na40f5、求曲面 平行于平面 的切平面方程. zy2xyz二、 （14 分）设 在 上可导， ，且当 ， ，试证当fx0,10f0,1x1fx， . 0,1a2300ddaaffx3、 （14 分）某物体所在的空间区域为 ，密度函数为 ，22:yzxyz22xyz求质量 . 22dMxyzx四、 （14 分）设函数 在闭区间 上具有连续导数， ， ，f0,10f1f证明： . 101lim2nnkfxdf5、
16、（14 分）设函数 在闭区间 上连续，且 ，证明：在 内存在f0, 10dIfx0,1不同的两点 ，使得 . 12,x12fxfI6、 （14 分）设 在 可导，且 .用 Fourier 级数理论f,23fxffx证明 为常数.fx2017 年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、1. 已知可导函数 满足 ，则 =_.() xxtdff01sin)(2)(cos ()f2 求 .nn2silm113. 设 具有二阶连续偏导数，且 ，其中 为非零常数. 则(,)wfuv=+uxcyv， c=_.21xyc4. 设 有二阶导数连续，且 ，则()f (0),“(0)6ff=_.240si
17、nlmx5. 不定积分 =_.sin2(1)xeId6. 记曲面 和 围成空间区域为 ，则三重积分2zy24zxyV=_.Vdxy二、 （本题满分 14 分) 设二元函数 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度 ，(,)fxy 定义一元函数.()cos,in)gtft若对任何 都有 且 . 证明 是 的极小值. 0dt20dt0,(f(,)fxy三、(本题满分 14 分) 设曲线 为在， ，221xyzxz,z上从 到 的一段. 求曲线积分 .(1,0)A(,)BxdyI4、(本题满分 15 分) 设函数 且在实轴上连续，若对任意实数 ，有()0fxt，则 ， .|(1txefd,ab2baad五、(本题满分 15 分) 设 为一个数列， 为固定的正整数。若np，limn其中 为常数，证明 .linap
