1、- 1 -12.3 空间几何体的直观图斜二测画法提出问题美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系问题 1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观，不一定问题 2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形为增加直观性问题 3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同导入新知1用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两
2、轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x轴和 y轴， 两轴相交于点 O，且使 x O y45(或 135)，它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴或 y轴的线段(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半2用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可(2)画 z轴， z轴过点 O，且与 x轴的夹角为 90，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示化解疑难1画水平放置
3、的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可2用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画 45(或 135)- 2 -水平放置的平面图形的直观图例 1 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图解 画法：(1)在图中作 AG x 轴于 G，作 DH x 轴于 H.(2)在图中画相应的 x轴与 y轴，两轴相交于点 O，使 x O y45.(3)在图中的 x轴上取 O B OB， O G OG， O C OC， O H OH， y轴上取 O E OE，分别过 G和 H作 y轴的平行线，并在相应的平行线上取
4、12G A GA， H D HD.12 12(4)连接 A B， A E， E D， D C，并擦去辅助线 G A， H D， x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A B C D E(如图)类题通法1在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点2画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段活学活用如图是水平放置的由正方形 ABCE 和正三角形 CDE 所构成的平面图形，请画出它的直观图解：画法：(1)以 AB 边
5、所在直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴，两轴相交于点 O(如图)，画相应的 x轴和 y轴，两轴相交于点 O，使 x O y45(如图)- 3 -(2)在图中，以 O为中点，在 x轴上截取 A B AB；分别过 A， B作 y轴的平行线，截取 A E AE， B C BC；在 y轴上截取 O D OD.12 12 12(3)连接 E D， D C， C E，并擦去辅助线 x轴和 y轴，便得到平面图形ABCDE 水平放置的直观图 A B C D E(如图)空间几何体的直观图例 2 用斜二测画法画棱长为 2 cm 的正方体 ABCD A B C D的直观图解 画法：(1)画轴如图，画 x
6、 轴、 y 轴、 z 轴，三轴相交于点 O，使 xOy45， xOz90.(2)画底面以点 O 为中心，在 x 轴上取线段 MN，使 MN2 cm；在 y 轴上取线段 PQ，使PQ1 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A， B， C， D，四边形 ABCD 就是正方体的底面 ABCD.(3)画侧棱过 A， B， C， D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm长的线段 AA， BB， CC， DD.(4)成图顺次连接 A， B， C， D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方
7、体的直观图(如图)类题通法画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于 x 轴、 y 轴、 z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于 x轴、 y轴、 z轴的线段(2)平行于 x 轴、 z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来- 4 -的 .12活学活用如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图解：(1)画轴如图，画 x 轴、 y 轴、 z 轴，使 xOy45， xOz90.(2)画底面由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面 ABCD，在 z 轴上截取 OO，使 O
8、O等于三视图中相应高度，过 O作 Ox 的平行线 O x， Oy 的平行线 O y，利用 O x与 O y画出上底面 A B C D.(3)画正四棱锥顶点在 Oz 上截取点 P，使 PO等于三视图中相应的高度(4)成图连接 PA， PB， PC， PD， A A， B B， C C， D D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图.直观图的还原和计算问题例 3 如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图若A1D1 O y， A1B1 C1D1， A1B1 C1D12， A1D123O D11.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积解 如图，建立直角坐标系 xOy，在 x
9、 轴上截取OD O D11， OC O C12.- 5 -在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA2 D1A12.在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB A1B12.连接 BC，即得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB2， CD3，直角腰长度为 AD2.所以面积为 S 25.2 32类题通法由直观图还原为平面图的关键是找与 x轴、 y轴平行的直线或线段，且平行于 x轴的线段还原时长度不变，平行于 y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可活学活用如图，Rt O A B是一平面图形的直观图，直角
10、边O B1，则这个平面图形的面积是_答案： 23.解 答 平 面 图 形 直 观 图 还 原 问 题 的 易 错 点典例 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形 OA B C的面积 为，则原梯形的面积为( )2A2 B. 2C2 D42解析 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高原梯形的高 OC 是直观图中 OC长度的 2 倍， OC的长度是直观图中梯形的高的 倍由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 倍，故其面积是2 2- 6 -梯形 OA B C面积的 2 倍，梯形 OA B C的面积为 ，所以原梯形的面积是
11、4.2 2答案 D易错防范1原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样原梯形的高 OC是直观图中 OC的长度的 2 倍， OC长度是直观图中梯形的高的 倍，此处易出错22解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积 S与原图形面积 S满足 S S.24成功破障如图所示， A O B表示水平放置的 AOB 的直观图，B在 x轴上， A O和 x轴垂直，且 A O2，则 AOB 的 边OB 上的高为( )A2 B4C2 D42 2答案：D随堂即时演练1关于斜二测画法，下列说法不正确的是( )A原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x轴，长度不变B原图形中平行于
12、 y 轴的线段，其对应线段平行于 y轴，长度变为原来的12C在画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 x O y时， x O y必须是 45D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案：C2利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的是( )两条相交直线的直观图是平行直线；两条垂直直线的直观图是垂直直线；正方形的直观图是平行四边形；梯形的直观图是梯形A BC D答案：B3.已知 ABC 的直观图如图所示，则原 ABC 的面积为- 7 -_答案：94.如图所示，一个水平放置的正方形 ABCD，它在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A B
13、C D中，顶点 B到 x轴的距离为_答案：225画边长为 1 cm 的正三角形的水平放置的直观图解：(1)如图所示，以 BC 边所在直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在直线为 y 轴，再画对应的 x轴与 y轴，两轴相交于点 O，使 x O y45.(2)在 x轴上截取 O B O C0.5 cm，在 y轴上截取 O A AO cm，连接 A B， A C，则 A B C即为正三12 34角形 ABC 的直观图课时达标检测一、选择题1如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )答案：A2水平放置的 ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形 A B C，
14、则 ABC 是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形答案：C3如图所示的正方形 O A B C的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )- 8 -A6 cm B8 cmC(23 ) cm D(22 ) cm2 3答案：B4.如图所示的水平放置的三角形的直观图中， D是 A B C中 B C边的中点，那么 A B， A D， A C三条线段对应原图形中线段 AB， AD， AC 中( )A最长的是 AB，最短的是 AC B最长的是 AC，最短的是 ABC最长的是 AB，最短的是 ADD最长的是 AD，最短的是 AC答案：C5已知正三角形 A
15、BC 的边长为 a，那么正三角形 ABC 的直观图 A B C的面积是( )A. a2 B. a234 38C. a2 D. a268 616答案：D二、填空题6.如图，水平放置的 ABC 的斜二测直观图是图中的 A B C，已知A C6， B C4，则 AB 边的实际长度是_答案：107在如图所示的平面直角坐标系中，得到的边长为 1 的正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是_- 9 -答案：(3)8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD，如图所示， ABC45，AB AD1， DC BC，原平面图形的面积为_答案：222三、解答题9.如图， A B C是水平放置
16、的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形解：画法：(1)如图，画直角坐标系 xOy，在 x 轴上取 OA O A，即 CA C A；(2)在图中，过 B作 B D y轴，交 x轴于 D.在图中，在 x 轴上取OD O D，过 D 作 DB y 轴，并使 DB2 D B.(3)连接 AB， BC，则 ABC 即为 A B C原来的图形，如图.10已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)解：画法：(1)如图，画 x 轴、 y 轴、 z 轴，三轴相交于点 O，使 xOy45， xOz90.(2)在 x 轴上取线段 OB8 cm，在 y 轴上取线段 OA2 cm，以 OB 和 OA为邻边作平行四边形 OBB A.(3)在 z 轴上取线段 OC4 cm，过 C 分别作 x 轴、 y 轴的平行线，并在平行线上分别截取 CD 4 cm， CC2 cm.以 CD 和 CC为邻边作平行四边形 CDD C.- 10 -(4)连接 A C， BD， B D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图)
